勾股定理单元 易错题难题专项训练学能测试试题

一、选择题
1．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
2．如果直角三角形的三条边为3、4、a，则a的取值可以有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有（）
（1）△ABC是等腰三角形；（2）BF＝AC；（3）BH：BD：BC＝1：2：3；（4）GE2+CE2＝BG2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)()
A．3 B．5 C．4.2D．4
5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）
A．9，7，12 B．2，3，4 C．1，23D．5，11，12
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（）
A．3
4
B．
3
5
C．
4
5
D．
12
5
7．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）
A．5 B7C5D．57
8．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（）
A ．14
B ．13
C ．143
D ．142
9．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝1，BD ⊥BC ，BD ＝BC ，CF 平分∠BCD 交BD 、AD 于E 、F ，则EDC 的面积为（ ）
A ．22﹣2
B ．32﹣2
C ．2﹣2
D ．2﹣1
10．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD ＝3，BE ＝1，则BC 的长是（ ）
A ．32
B ．2
C ．22
D ．10
二、填空题
11．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．
12．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，
45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．
13．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.
15．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.
16．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．
17．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)
①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°
18．四边形ABCD 中AB ＝8，BC ＝6，∠B ＝90°，AD ＝CD ＝52，四边形ABCD 的面积是_______．
19．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．
20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．
三、解答题
21．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒
∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．
（1）出发2秒后，求线段PQ 的长；
（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形；
（3）点Q在边CA上运动时，求能使BCQ
∆成为等腰三角形的运动时间．
22．（1）计算：
1
31224823
3
⎛⎫
-+÷
⎪
⎪
⎝
；
（2）已知a、b、c满足2
|23|32(30)0
a b c
+
-+--=．判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
23．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
25．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．
（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；
（2）延长BD 与EF 交于点G ．
①如图2，求证：60BGE ∠=︒；
②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为
______________．
26．已知ABC ∆中，AB AC =.
（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =
（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；
（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB
的值.
27．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一
点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠；
（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
28．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.
（1）求CD 的长.
（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.
①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.
29．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.
(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).
30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部【详解】
情况一：如下图，△ABC是锐角三角形
∵AD是高，∴AD⊥BC
∵AB=15，AD=12
∴在Rt△ABD中，BD=9
∵AC=13，AD=12
∴在Rt△ACD中，DC=5
∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42
情况二：如下图，△ABC是钝角三角形
在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5
在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9
∴BC=4
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
故选：C
【点睛】
本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求解即可，注意要确认a是直角边还是斜边.
【详解】
解：当a是直角三角形的斜边时,22
345
a=+=；
当a为直角三角形的直角边时,22
437
a-=
故选C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，根据等角的余角相等求出∠A＝∠BCA，再根据等角对等边可得AB＝BC，从而得证；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠A＝∠DFB，推出BD＝DC，根据AAS证出
△BDF≌△CDA即可；
（3）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；
（4）由（2）得出BF＝AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，
即得CE＝AE＝1
2
AC，连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG＝
CG，再由直角△CEG得出CG2＝CE2+GE2，从而得出CE，GE，BG的关系．【详解】
解：（1）∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ，
∵CD ⊥AB ，
∴∠ABE +∠A ＝90°，∠CBE +∠ACB ＝90°， ∴∠A ＝∠BCA ，
∴AB ＝BC ，
∴△ABC 是等腰三角形；
故（1）正确；
（2）∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，
∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，
∴∠A +∠ABE ＝90°，∠ABE +∠DFB ＝90°， ∴∠A ＝∠DFB ，
∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，
∴∠DCB ＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC ， ∴BD ＝DC ，
在△BDF 和△CDA 中
==BDF CDA A DFB BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），
∴BF ＝AC ；
故（2）正确；
（3）∵在△BCD 中，∠CDB ＝90°，∠DBC ＝45°， ∴∠DCB ＝45°，
∴BD ＝CD ，BC
BD ．
由点H 是BC 的中点，
∴DH ＝BH ＝CH ＝
12BC ， ∴BD
，
∴BH ：BD ：BC ＝BH
：2BH ＝1
：2． 故（3）错误；
（4）由（2）知：BF ＝AC ，
∵BF 平分∠DBC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ，
又∵BE ⊥AC ，
∴∠AEB ＝∠CEB ，
在△ABE 与△CBE 中，
==ABE CBE AEB CEB BE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△CBE （AAS ），
∴CE ＝AE ＝1
2AC ， ∴CE ＝12AC ＝12
BF ； 连接CG ．
∵BD ＝CD ，H
是BC 边的中点，
∴DH 是BC 的中垂线，
∴BG ＝CG ，
在Rt △CGE 中有：CG 2＝CE 2+GE 2，
∴CE 2+GE 2＝BG 2．
故（4）正确．
综上所述，正确的结论由3个．
故选C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】
解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：
x 2+42=（10-x ）2，
解得：x=4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】
解：A、因为92+72≠122，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；
C、因为12= 22，所以三条线段能组成直角三角形；
D、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形．
故选C．
【点睛】
此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算．
6．D
解析：D
【解析】
在Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C到AB的距离为h，
即可得1
2
h×AB=
1
2
AC×BC，即
1
2
h×5=
1
2
×3×4，解得h=
12
5
，故选D.
7．D
解析：D
【分析】
分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．
【详解】
当4是直角边时，斜边，
当4是斜边时，另一条直角边=，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
8．D
解析：D
【分析】
24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF 的长．
【详解】
解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长=24-10=14，
∴
=
故选D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
先过点E 作EG ⊥CD 于G ，再判定△BCD 、△ABD 都是等腰直角三角形，并求得其边长，最后利用等腰直角三角形，求得EG 的长，进而得到△EDC 的面积．
【详解】
解：过点E 作EG ⊥CD 于G ，
又∵CF 平分∠BCD ，BD ⊥BC ，
∴BE ＝GE ，
在Rt △BCE 和Rt △GCE 中
CE CE BE GE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BCE ≌Rt △GCE ，
∴BC ＝GC ，
∵BD ⊥BC ，BD ＝BC ，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴∠BDC ＝45°，
∵AB//CD ，
∴∠ABD ＝45°，
又∵∠A ＝90°，AB ＝1，
∴等腰直角三角形ABD 中，BD
＝BC ，
∴Rt △BDC 中，CD 2，
∴DG ＝DC ﹣GC ＝2
∵△DEG 是等腰直角三角形，
∴EG ＝DG ＝2
，
∴△EDC 的面积＝
1
2×DC×EG ＝12
×2×（2）＝2 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形EDG 进行求解．
10．D
解析：D
【分析】
根据条件可以得出∠E ＝∠ADC ＝90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出AD ＝CE ，再利用勾股定理就可以求出BC 的值．
【详解】
解：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，
∴∠E ＝∠ADC ＝90°，
∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．
∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，
∴∠EBC ＝∠DCA ．
在△CEB 和△ADC 中，
E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△CEB ≌△ADC （AAS ），
∴CE ＝AD ＝3，
在Rt △BEC 中，2222BC=BE +CE =1+3=10，
故选D ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题
11．9625
【分析】
将△B´
CF 的面积转化为求△BCF 的面积，由折叠的性质可得CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´
CF ，CE ⊥AB ，可证得△ECF 是等腰直角三角形，EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，由等面积法可求CE 的长，由勾股定理可求AE 的长，进而求得BF 的长，即可求解．
【详解】
根据折叠的性质可知，CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B´CF，CE⊥AB，∴∠DCE＋∠B´CF＝∠ACE＋∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，且CE⊥AB，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，
∵S△ABC＝1
2
AC•BC＝
1
2
AB•CE，
∴AC•BC＝AB•CE，
∵根据勾股定理求得AB＝10，
∴CE＝24
5
，
∴EF＝24
5
，
∵AE 18
5
，
∴BF＝AB−AE−EF＝10－18
5
－
24
5
＝
8
5
，
∴S△CBF＝1
2
×BF×CE＝
1
2
×
8
5
×
24
5
＝
96
25
，
∴S△CB´F＝96 25
，
故填：96 25
．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．
12．5
【分析】
作AD′⊥AD，AD′=AD构建等腰直角三角形，根据SAS求证△BAD≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt△AD′D和Rt△CD′D应用勾股定理即可求解．
【详解】
作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAD′中，
{BA CA
BAD CAD AD AD =∠=∠=''
，
∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），
∴BD=CD′，∠DAD′=90°，
由勾股定理得DD′=22
()4AD AD +='，
∵∠D′DA+∠ADC=90°，
∴由勾股定理得CD′=22(')5DC DD +=，
∴BD=CD′=5
故答案为5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．
13．413
【分析】
延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，结合D 是中点证得△ADC ≌△EDB ，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E ＝90°，再利用勾股定理求得BD 长进而转化为BC 长即可．
【详解】
解：如图，延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，连接BE ，
∵D 是BC 边中点，
∴BD ＝CD ，
又∵DE ＝AD ，∠ADC ＝∠EDB ，
∴△ADC ≌△EDB （SAS ），
∴BE ＝AC ＝6，
又∵AB ＝10，
∴AE 2＋BE 2＝AB 2，
∴∠E ＝90°，
∴在Rt △BED 中，222264213BD BE DE =+=+=，
∴BC ＝2BD ＝413，
故答案为：413．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
14．12
【分析】
延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=
+=，可得AB=BE-AE.
【详解】
如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.
因为三角形COA 是等腰直角三角形
所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°
因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，
所以∠BAO+∠BCO=180°,
又∠BAO+∠OAE=180°
所以∠BCO=∠OAE
所以∆BCO ≅∠EAO
所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA
所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°
所以三角形BOE 是等腰直角三角形
所以()()222210210220BO EO +=+=
所以AB=BE-AE=20-8=12
故答案为：12
【点睛】
考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.
15．15 【分析】 根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案
【详解】
∵8,AB AC AD BC ==⊥
∴点B 与点C 关于AD 对称
过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小
∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥
∴BD=2
在Rt △A BC 中， 222282215AD AB BD =
-=-= ∵S △ABC=1122
BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅ ∴42158CE ⨯=
得15CE =
故此题填15
【点睛】
此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 1671
【分析】
分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差
【详解】
如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，
∴AP 的最大值为A P 1=AB=3
如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，
由折叠的性质有PC=BC=4，
在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，
∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71-- 71
【点睛】
本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.
17．①②③
【解析】
【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形， 60ABC ∴∠=，
∵△BQC ≌△BPA ，
∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，
60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，
∴△BPQ 是等边三角形，①正确.
∴PQ =BP =4，
2222224325,525PQ QC PC +=+===，
222PQ QC PC ∴+=，
90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.
∵△BPQ 是等边三角形，
60PBQ BQP ∴∠=∠=，
∵△BQC ≌△BPA ，
∴∠APB =∠B QC ，
6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.
36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，
90PQC PQ QC ∠=≠，，
45QPC ∴∠≠，
即135APC ∠≠，④错误.
故答案为①②③.
18．49
【解析】
连接AC ，在Rt △ABC 中，∵AB =8，BC =6，∠B =90°，∴AC =22AB BC + =10． 在△ADC 中，∵AD =CD =52，∴AD 2+CD 2=（52）2+（52）2=100．
∵AC 2=102=100，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴S 四边形
ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB •BC +12AD •DC =12×8×6+12
×52×52=24+25=49．
点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．5【分析】
如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ，先证明△ANP ≌△MNG （AAS ），再根据勾股定理求出PN 的值，即可得到线段PG 的长度．
【详解】
如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ．
∵P（1，2），G（7．﹣2），
∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，
∵PA∥GM，
∴∠PAN＝∠GMN，
∵∠ANP＝∠MNG，
∴△ANP≌△MNG（AAS），
∴AN＝MN＝3，PN＝NG，
∵∠PAH＝45°，
∴PH＝AH＝2，
∴HN＝1，
∴2222
215
PN PH NH
=+=+=
∴PG＝2PN＝5．
故答案为5
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
20．2
【分析】
根据三角形等面积法求出
3
2
AC
BC
=，在Rt△ACD中根据勾股定理得出AC2=
1
4
BC2+36，依据
这两个式子求出AC、BC的值.
【详解】
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴1
2
AC•BE＝
1
2
BC•AD，
∵AD＝6，BE＝4，
∴AC
BC
＝
3
2
，
∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，
∴BD＝DC ＝
12
BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，
∴AC 2＝14BC 2+36， ∴22
1364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648
⨯， 解得：BC
＝
∴△ABC 的面积为12
×
cm 2
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．
三、解答题
21．（1）出发2秒后，线段PQ
的长为2）当点Q 在边BC 上运动时，出发
83
秒后，△PQB 是等腰三角形；（3）当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.
【分析】
（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ 和PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的长度； （2）设所求时间为t ，则可由题意得到关于t 的方程，解方程可以得到解答； （3）点Q 在边CA 上运动时，ΔBCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．
【详解】
(1)BQ=2×2=4cm ，BP=AB−AP=8−2×1=6cm ，
∵∠B=90°，
由勾股定理得：
===
∴出发2秒后，线段PQ
的长为
(2)BQ=2t ，BP=8−t
由题意得：2t=8−t
解得：t=8 3
∴当点Q在边BC上运动时，出发8
3
秒后，△PQB是等腰三角形；
(3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴AC=22
68
+=10.
①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；
②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒
③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，
∴BE=
6824
105 AB BC
AC
⋅⨯
==，
所以22
BC BE
-=18
5
=3.6，
故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒.
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
【点睛】
本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．
22．（1）42
3
；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，
6
【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；
（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.
【详解】
解：（1）
1
31224823
3
⎛
÷
⎝
=
2
(63343)23
3
÷
=
28
(3)(23) 3
÷
＝42
3
；
（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：
∵a、b、c满足2
|a2332b(c30)0
-+-=，
∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，c300，
∴a＝3，b＝2，c30
∵32303302，3302，
∴以a、b、c为边能组成三角形，
∵a＝3，b＝2，c30
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边能构成直角三角形，直角边是a和b，
则此三角形的面积是
12
⨯. 【点睛】 此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.
23．（1）①见解析；②DE ＝
297；（2）DE 的值为 【分析】
（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．
【详解】
（1）①如图1中，
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，
∴△BAE ≌△CAF ，
∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，
∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，
∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，
∴∠DAE ＝∠DAF ，
∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，
∴△AED ≌△AFD （SAS ）；
②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠B ＝∠ACB ＝45°，
∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，
∴∠DCF ＝90°，
∵△AED ≌△AFD （SAS ），
∴DE ＝DF ＝x ，
∵在Rt △DCF 中， DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，
∴x 2＝（7﹣x ）2+32，
∴x ＝297
， ∴DE ＝
297； （2）∵BD ＝3，BC ＝9，
∴分两种情况如下：
①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．
∵∠BAC ＝∠EAD ＝90°，
∴∠EAB ＝∠DAC ，
∵AE ＝AD ，AB ＝AC ，
∴△EAB ≌△DAC （SAS ），
∴∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝9-3=6，
∴∠EBD ＝90°，
∴DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，
∴DE ＝35； ②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，连接BE ．
同理可证△DBE 是直角三角形，EB ＝CD ＝3+9=12，DB ＝3，
∴DE 2＝EB 2+BD 2＝144+9＝153，
∴DE ＝317，
综上所述，DE 的值为35或317．
【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．
24．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194
时，△BCP 为等腰三角形． 【分析】
（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC
上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12
t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作
PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程
2234352
t --=
⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，
4AC cm ∴=， （1）设存在点P ，使得PA PB =，
此时2PA PB t ==，42PC t =-，
在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，
即：222(42)3(2)t t -+=， 解得：2516
t =， ∴当2516
t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，
此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，
在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，
即：222(24)1(72)t t -+=-，
解得：83
t =， 当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，
∴当83
t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，
当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，
PC BC ∴=，即423t -=，
12
t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，
CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，
如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，
1322BE BC ∴=
=， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194
t =， PB BC =②，即2343t --=，
解得：5t =，
PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，
12
BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，
由射影定理得；2BC BF AB =⋅，
即2234352
t --=⨯， 解得：5310t =
， ∴当15319,5,2104
t =或时，BCP 为等腰三角形． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
25．（1）见解析；（2）①见解析；②2．
【分析】
（1）当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，然后由等边三角形的性质可得∠CBD 的度数，根据
等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD与∠F的关系，进而可得结论；
（2）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根据SAS 证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有
∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论；
②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面积
=1
2
BC CG
⋅，而BC和CG可得，问题即得解决．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
当D、E两点重合时，则AD=CD，∴
1
30
2
DBC ABC
∠=∠=︒，
∵CF CD
=，∴∠F=∠CDF，
∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，
∴∠CBD=∠F，∴BD DF
=；
（2）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，
∴△AHE是等边三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，
∵AE CD
=，CD=CF，∴EH=CF，
又∵∠BHE=∠ECF=120°，∴△BHE≌△ECF（SAS），
∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，
∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，
∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，
∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；
②∵∠BGE=60°，∠EBD=30°，∴∠BEG=90°，
∵EB=EF，∴∠F=∠EBF=45°，
∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE =23， ∴BF =226BE =，232GF =-，
过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形， ∴6BM ME MF ===，
∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =+，266262CF =--=
-， ∴()262312CN FN ==⨯-=-，
∴()
2323131GN GF FN CN =-=---=-=， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ，
∴62CG CF ==-，
∴△BCG 的面积=
()()
116262222BC CG ⋅=+-=． 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．
26．（1）详见解析；（241；（33
【分析】
（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证
1302
FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .
【详解】
(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，
即∠EAC=∠DAB.
在△ACE 与△ABD 中，
AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，
∴BD CE =；
(2)连接BD
因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，
所以ADE ∆是等边三角形
因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4
因为CE AD ⊥ 所以1302FEA
AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，
所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5
所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=
所以BE=22225441BD DE +=+=
(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=
所以222AB AC AC +
因为AB AC =
所以AE 2=
又因为45CAB ∠=
所以90ABE ∠=
所以()2
22223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=
所以BC=CD, 90BCD ∠=
因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)
所以AD=BE=3AB 所以33AD AB AB AB
==
【点睛】
考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.
27．（1）见解析；（2）27BC =.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，
∴△ABD 是等边三角形.
∴60ADB ∠=︒.
∵CE ∥AB ，
∴60CED A ∠=∠=︒.
∴CED ADB ∠=∠.
（2）解：连接AC 交BD 于点O ，
∵AB AD =，BC DC =，
∴AC 垂直平分BD .
∴30BAO DAO ∠=∠=︒.
∵△ABD 是等边三角形，8AB =
∴8AD BD AB ===，
∴4BO OD ==.
∵CE ∥AB ，
∴ACE BAO ∠=∠.
∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.
∵60CED ADB ∠=∠=︒.
∴60EFD ∠=︒.
∴△EDF 是等边三角形.
∴2EF DF DE ===,
∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.
在Rt △COF 中， ∴2223OC CF OF =-=.
在Rt △BOC 中， ∴22224(23)27BC BO OC =
+=+= 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
28．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=
t v t
(26t ≤<) 【分析】
（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=1
2
BC，然后利用勾股定理
求出AE，再用等面积法可求出CD的长；
（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据
△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；
（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】
解：（1）如图，作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=1
2
BC=25
在Rt△ABE中，
()2
222
AE=AB BE=1025=45
--
∵△ABC的面积=11
BC AE=AB CD 22
⋅⋅
∴
BC AE4545 CD===8
AB
⋅⨯
（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，
∵△ABC的面积=11
AC BF=AB CD
22
⋅⋅，AB=AC
∴BF=CD
在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，
∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）
在Rt △ACD 中，CD=8，AC=AB=10 ∴22AD=AC CD =6-
同理可得AF=6
∴PD=AD=AP=6-t ，QF=AF-AQ=6-2t
由PD=QF 得6-t=6-2t ，解得t=0，
∵t ＞0，
∴此种情况不符合题意，舍去；
当Q 点在FC 之间时，如图所示，
此时PD=6-t ，QF=2t-6
由PD=QF 得6-t=2t-6，
解得t=4，
综上得t 的值为4.
（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，
∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，
∴PD=6-t ，QF=vt-6，
由PD=QF 得6-t=vt-6，
整理得12-=t v t
， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC
∴610<≤vt ，代入12-=t v t
得 61210<-≤t ，解得26t ≤< 所以答案为12-=
t v t (26t ≤<) 【点睛】
本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.
29．（1）见解析；（2）26；（3）33
a +3
（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；
（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12
DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；
（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出
，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.
【详解】
证明：（1）∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE 中，
AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）
∴AD=BE
（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，
∴△DCE 为等腰直角三角形，
∵CM ⊥DE ，
∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点
∴CM=12
DE ， ∴DE=2CM=14，
∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE 中，
AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）
∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE
∴AE=AD+DE=24
如图，设AE ，BC 交于点H ，。