安徽省滁州市2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷(含答案)

数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|1}A x x =>，2
{|20}B x x x =-<，则A B =I （ ） A ．(01)， B ．(12)， C ．(02)， D ．(1)+∞， 2.复数(1)(2)z i i =-+，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A.1 B.4 C.1- D.4-
3.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ） A ．
44π- B ．4
π C ．34π- D ．2
4π-
4.将函数sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移6π个单位后，得到函数()f x 的图象，则
12f π⎛⎫
⎪⎝⎭
（ ）
5.若31log 2a =，2log 3b =，3
12c ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．b c a >> C.b a c >> D ．c a b >>
6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥ B ．若m α⊂，αβ∥，则m β∥ C.若n β⊥，αβ⊥，则n α∥
D ．若m α⊂，n β⊂，l αβ=I ，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥ 7.若执行如图所示的程序图，则输出S 的值为（ ）
A．1
3
B．
1
4
C.
1
5
D．
1
6
8.若0
a>，0
b>，26
a b
+=，则
2a b
ab
+
的最小值为（）
A．
2
3
B．
4
3
C.
5
3
D．
8
3
9.榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（）
A．10 B．12 C.14 D．16
10.已知cos2cos()
2
π
απα
⎛⎫
+=-
⎪
⎝⎭
，则tan
4
π
α
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
（）
A.4
- B.4 C.
1
3
- D.
1
3
11.已知实数x，y满足
2
2
36
x y
y x
x y
+
⎧
⎪
-
⎨
⎪--
⎩
≤
≥
≥
记该不等式组所表示的平面区域为Ω，且
1
2
z x y
=-，
2
1
4
y
z
x
+
=
-
，
22
3
(1)
z x y
=-+，现有如下说法：
①()
x y
∀∈Ω
，，
1
1
z≤；②()
x y
∃∈Ω
，，
2
1
3
z≤-；③()
x y
∃∈Ω
，，
3
2
z≤.
则上述说法正确的有（ ）个.
A.0
B.1
C.2
D.3
12.若关于x 的不等式1
1x ke x x
+->在(0)(0)-∞+∞U ，，上恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A.25()e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，， B.23(2)e e ⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，
C.215()e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，
D.223()e e ⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
U ，，
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量(2)a k k =-+r ，，(23)b =-r ，，若(2)a a b +r r r
∥，则实数k = ． 14.若函数230
()20x x f x x x ⎧-=⎨->⎩
，，≤且()1f a =，则a = ．
15.若ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 3sin b A a B =，则sin A = ．
16.已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，若122PF PF a -=，
2PM MF =u u u u r u u u u r
，且2OMF △为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，1a ，31a a -，81a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和n S ，求满足36
25
n S >的最小的n 的值. 18. 随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续300亿立方米的年增量.进口LNG 和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约.未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在80亿方以内.为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续200天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：
（1）根据上图完成下列表格 空气质量指数（3
/g m μ）
[0,50)
[50,100)
[100,150)
[150,200) [200,250)
天数
（2）计算这200天中，该市空气质量指数的平均数；
（3）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在101~150以及151~200的等级中抽取7天进行调研，再从这7天中任取2天进行空气颗粒物分析，求恰有1天空气质量指数在101~150上的概率. 19. 已知平面四边形PABC 中，PAC PCA ∠=∠中，90BAC ∠=︒，现沿AC 进行翻折，得到三棱锥P ABC -，点D ，E 分别是线段BC ，AC 上的点，且DE ∥平面PAB .
求证：（1）直线AB ∥平面PDE ；
（2）当D 是BC 中点时，求证：平面ABC ⊥平面PDE .
20. 已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上一点P 满足
124PF PF +=，且椭圆C 过点312⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，，过点(40)R ，
的直线l 与椭圆C 交于两点E F . （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点E 作x 轴的垂线，交椭圆C 于N ，求证：N ，2F ，F 三点共线. 21. 已知函数()ln f x mx x =.
（1）若曲线在点(10)，
处的切线经过(23)，，求m 的值； （2）若关于x 的不等式()1f x x -≥在(0)+∞，上恒成立，求m 的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为cos 4πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的普通方程； （2）若曲线1C ，2C 相交于A ,B 两点，求线段AB 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12018f x x =-+.
（1）解关于x 的不等式()2018f x x >+；
（2）若2(43)((4)1)f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围.
参考答案、提示及评分细则
一、选择题
1-5:BCADB 6-10:BABCC 11、12：CA
二、填空题
13.4 14.3
1 三、解答题
17.解：（1）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件得12113
(27)(2)0
a d a a d d d +=⎧⎪
+=⎨⎪>⎩
，∴112a d =⎧⎨=⎩
∴12(1)21n a n n =+-=-. （2）133
(21)(21)n n n b a a n n +=
=-+31122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭
∴311111312335212121n n
S n n n ⎛⎫=-+-++-=
⎪-++⎝⎭L . 由3362125
n n >+得12n >.
∴满足36
25
n S >
的最小值的n 的值为13 18.解：（1）所求表格数据如下：
（2）依题意，
故所求平均数为250.2750.41250.251750.12250.0595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
（3）依题意，从空气质量指数在101~150以及151~200的天数为5，记为a ，b ，c ，d ，e ，空气
质量指数在151~200的天数为2，记为1，2，则任取2天，所有的情况为()a b ，
，()a c ，，()a d ，，()a e ，，(1)a ，，(2)a ，，()b c ，，()b d ，，()b e ，，(1)b ，，(2)b ，，()c d ，，()c e ，，(1)c ，，(2)c ，，()d e ，，(1)d ，，(2)d ，，(1)e ，，(2)e ，，(12)，，共21种，其中满足条件的有10种，故所求概
率10
21
P =
. 19.（1）证明：因为DE ∥平面SAB ，DE ⊂平面ABC ， 平面SAB I 平面ABC AB =，所以DE AB ∥
因为DE ⊂平面SDE ，AB ⊄平面SDE ，所以AB ∥平面SDE （2）因为D 是BC 的中点，DE AB ∥，所以E 为AC 的中点. 又因为SA SC =，所以SE AC ⊥
又AB AC ⊥，DE AB ∥，所以DE AC ⊥，
DE ，SE ⊂平面SDE ，DE SE E =I ，所以AC ⊥平面SDE .
因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面SDE . 20.解：（1）依题意，1224PF PF a +==，故2a =.
将312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入22214x y b +=中，解得2
3b =，故椭圆C ：22143x y +
=. （2）由题知直线l 的斜率必存在，设l 的方程为(4)y k x =-.
点11()E x y ，，22()F x y ，，11()N x y -，，联立22
(4)
3412
y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22234(4)12x k x +-=. 即2
2
2
2
(34)3264120k x k x k +-+-=，0∆>，21223234k x x k +=+，2122
6412
34k x x k -=+
由题可得直线FN 方程为21
1121
()y y y y x x x x ++=--，
又∵11(4)y k x =-，22(4)y k x =-. ∴直线FN 方程为211121
(4)(4)
(4)()k x k x y k x x x x x -+-+-=
--，
令0y =，整理得2122111212112124424()88
x x x x x x x x x x x x x x x --+-+=
+=+-+-222222641232243434328
34k k k k k k -⨯-⨯++=-+ 2
22
2
2434132243234k k k k -+==--+，即直线FN 过点(10)，
. 又∵椭圆C 的左焦点坐标为2(10)F ，，∴三点N ，2F ，F 在同一直线上. 21.解：（1）()(ln 1)f x m x '=+.(1)f m '=，(1)0f =
切线方程为(1)y m x =-，切线过点(23)，
，∴3m = （2）令()()1ln 1F x f x x mx x x =-+=-+，(0)x ∈+∞，. 若0m <，(2)2ln 210f m =-<，与已知矛盾.
若0m =，则()1f x x =-+，显然不满足在(0)+∞，上()0F x ≥恒成立. 若0m >，对()f x 求导可得()ln 1F x m x m '=+-. 由()0F x '>解得1m m
x e ->，由()0f x '<解得10m m
x e
-<<.
∴()F x 在1(0)m
m
e
-，上单调递减，在1()m m
e -+∞，上单调递增，
∴11min ()()1m m m
m
F x F e
me
--==-
∴要使()1f x x -≥恒成立，须使110m m
me --≥成立.
即11m m
e
m -≤
恒成立，两边取得对数得，11ln m m m -≤，整理得1ln 10m m
+-≤，即须此式成立. 令1()ln 1g m m m =+-，则21
()m g m m
-'=，显然当01m <<时，()0g m '<
，当1m >时，()0g m '>于是函数()g m 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，单调递增. ∴min ()(1)0g m g ==，即当且仅当1m =时，min ()(1)0F x F ==，()1f x x -≥恒成立. ∴1m =满足条件，综上所述，1m =. 22.解：（1）曲线1C 的普通方程为221x y +=. 曲线2C 的普通方程为10x y --=. （2）据22110x y x y ⎧+=⎨--=⎩
得01x y =⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩
所以线段AB = 23.解：（1）()2018f x x >+可化为1x x ->， 所以22(1)x x ->，
所以1
2x <
，所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩
⎭.
（2）因为函数()12018f x x =-+在[1)+∞，上单调递增， 431a -+>，2(4)11a -+≥，2(43)((4)1)f a f a -+>-+.
所以243(4)1a a -+>-+
所以(41)(42)0a a -+--<，所以42a -<，所以26a <<.即实数a 的取值范围 是(26)，。