【解析版】泉州市中远中学2014-2015年八年级下期中数学试卷

福建省泉州市中远中学2014-2015学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对得3分，答错或不答一律得0分.
1．（3分）当分式有意义时，字母x应满足（）
A．x≠﹣1 B．x=0 C．x≠1 D．x≠0
2．（3分）下列各式：，，，，，中，是分式的共有（）
个．
A．2B．3C．4D．5
3．（3分）若把分式的x、y同时扩大3倍，则分式值（）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．扩大9倍
4．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的为（）
A．y=2x+1 B．C．D．2y=x
5．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（）
A．36°B．108°C．72°D．60°
6．（3分）下列说法中属于平行四边形判别方法的有（）
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②平行四边形的对角线互相平分③两组对边分别相等的四边形是平行四边形④平行四边形的每组对边平行且相等⑤两条对
角线互相平分的四边形是平行四边形⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A．6个B．5个C．4个D．3个
7．（3分）如图，M是平行四边形ABCD的一边AD上的任意一点，若△CMB的面积为S，△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2，则下列大小关系正确的为（）
A．S＞S1+S2B．S＜S1+S2C．S=S1+S2D．无法确定
二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
8．（4分）计算：=．
9．（4分）若分式的值为零，则x的值是．
10．（4分）若，则=．
11．（4分）若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是．12．（4分）正比例函数y=﹣3x的图象经过（0，）和（1，）．
13．（4分）点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是．
14．（4分）在▱ABCD中，若∠A+∠C=120°，则∠A=度，∠B=度．
15．（4分）已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长是．16．（4分）如图，▱ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC大8cm，则AB=，BC=．
17．（4分）观察下列各式：
，
将你猜到的规律用一个式子来表示．
三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
18．（9分）计算：．
19．（9分）先化简，再选择一个适当的数代入求值：．
20．（9分）解分式方程：．
21．（9分）如图，在▱ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连接CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形．
22．（9分）已知，如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．
求证：AE=CF．
23．（9分）如图所示：四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC．试证明∠E=∠F．
24．（9分）某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．25．（12分）探索：（1）如果，则m=；
（2）如果，则m=；
总结：如果（其中a、b、c为常数），则m=；
应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
26．（14分）如图1，已知双曲线与直线y2=k'x交于A，B两点，点A在
第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为；当x满足：时，y1＞y2；
（2）过原点O作另一条直线l，交双曲线于P，Q两点，点P在第一象限，
如图2所示．
①四边形APBQ一定是；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．
福建省泉州市中远中学2014-2015学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对得3分，答错或不答一律得0分.
1．（3分）当分式有意义时，字母x应满足（）
A．x≠﹣1 B．x=0 C．x≠1 D．x≠0
考点：分式有意义的条件．
分析：分式有意义，分母不为零．
解答：解：当x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义；
故选C．
点评：本题考查了分式有意义的条件．（1）若分式无意义，则分母为零；（2）若分式有意义，则分母不为零．
2．（3分）下列各式：，，，，，中，是分式的共有（）
个．
A．2B．3C．4D．5
考点：分式的定义．
专题：探究型．
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答：解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，分母中含有字母，因此是分式．
故选B．
点评：本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
3．（3分）若把分式的x、y同时扩大3倍，则分式值（）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．扩大9倍
考点：分式的基本性质．
分析：将x，y扩大3倍，即将x，y用3x，3y代替，就可以解出此题．
解答：解：，
∴分式值扩大3倍．故选A．
点评：此题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n 或除以n．
4．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的为（）
A．y=2x+1 B．C．D．2y=x
考点：反比例函数的定义．
分析：根据反比例函数的一般形式是（k≠0），找到符合这一类型的函数即可．
解答：解：A、y是x的一次函数，不符合题意；
B、y与x2成反比例函数，不符合题意；
C、y是x的反比例函数，符合题意；
D、y是x的正比例函数，不符合题意；
故选C．
点评：考查反比例函数的定义；熟练掌握常见函数的一般形式是解决本题的关键．
5．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（）
A．36°B．108°C．72°D．60°
考点：平行四边形的性质．
分析：利用平行四边形的内角和是360度，平行四边形对角相等，则平行四边形的四个角之比为，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，则∠D的值可求出．
解答：解：在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，
设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x=360°，
解得x=36°
则∠D=108°．
故选B．
点评：题考查四边形的内角和定理及平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补．
6．（3分）下列说法中属于平行四边形判别方法的有（）
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②平行四边形的对角线互相平分③两组对边分别相等的四边形是平行四边形④平行四边形的每组对边平行且相等⑤两条对
角线互相平分的四边形是平行四边形⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A．6个B．5个C．4个D．3个
考点：平行四边形的判定．
专题：证明题．
分析：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
解答：解：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故①正确；
②平行四边形的对角线互相平分，故②错误；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故③正确；
④平行四边形的每组对边平行且相等，故④错误；
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤正确；
⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故⑥正确；
故选C．
点评：本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判别方法是说明一个四边形为平行四边形的理论依据，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
7．（3分）如图，M是平行四边形ABCD的一边AD上的任意一点，若△CMB的面积为S，△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2，则下列大小关系正确的为（）
A．S＞S1+S2B．S＜S1+S2C．S=S1+S2D．无法确定
考点：平行四边形的性质．
分析：由平行四边形ABCD的面积和△CMB的面积的计算，得出△CMB的面积=S平行
，即可得出结论．
四边形ABCD
解答：解：作MN⊥BC于N；如图所示：
∵S平行四边形ABCD=BC•MN，△CMB的面积=BC•MN，
∴△CMB的面积=S平行四边形ABCD，
∴△CMB的面积=△CDM的面积+△ABM的面积，
即S=S1+S2；
故选：C．
点评：本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积、三角形面积的计算；熟练掌握
平行四边形的性质，得出平行四边形和三角形之间的面积关系是解决问题的关键．
二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
8．（4分）计算：=1．
考点：分式的加减法．
专题：计算题．
分析：根据同分母分式加减，分母不变，只把分子相加减即可．
解答：解：==1．
故答案为：1．
点评：本题考查了同分母分式的加减运算，比较简单，但要注意最后结果一定要化简．9．（4分）若分式的值为零，则x的值是﹣4．
考点：分式的值为零的条件．
专题：计算题．
分析：根据分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．即可解答本题．
解答：解：，
解得x=﹣4．
故答案为﹣4．
点评：此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
10．（4分）若，则=．
考点：分式的基本性质．
专题：整体思想．
分析：由，得a=，代入所求的式子化简即可．
解答：解：由，得a=，
∴=．
故答案为：．
点评：解题关键是用到了整体代入的思想．
11．（4分）若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是m＜1．
考点：反比例函数的性质．
分析：直接根据反比例函数的性质即可得出结论．
解答：解：∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，
∴m﹣1＜0，解得m＜1．
故答案为：m＜1．
点评：本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．12．（4分）正比例函数y=﹣3x的图象经过（0，0 ）和（1，﹣3 ）．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
分析：分别把x=0和x=1代入正比例函数y=﹣3x即可得出结论．
解答：解：∵当x=0时，y=0；当x=1时，y=﹣3，
∴此函数的图象过点（0，0），（1，﹣3）．
故答案为：0，﹣3
点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（4分）点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（3，5）．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而求出即可．
解答：解：点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是：（3，5）．
故答案为：（3，5）．
点评：此题主要考查了关于y轴对称的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
14．（4分）在▱ABCD中，若∠A+∠C=120°，则∠A=60度，∠B=120度．
考点：平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，再根据已知即可求解．
解答：解：在▱ABCD中，∠A=∠C，若∠A+∠C=120°，则∠A=120°÷2=60°，∠B=（360°﹣∠A﹣∠C）÷2=120°．
点评：在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．
15．（4分）已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长是68．
考点：平行四边形的性质．
分析：由平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，即可求得其相邻两边的长，继而求得它的周长．
解答：解：∵平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，
∴相邻两边长分别为：144÷8=18，144÷9=16，
∴它的周长是：18+16+18+16=68．
故答案为：68．
点评：此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握平行四边形的对边相等与平行四边形的面积等于底乘以高．
16．（4分）如图，▱ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC大8cm，则AB=19cm，BC=11cm．
考点：平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，则AB比BC大8cm，继而可求出AB、BC的长度．
解答：解：∵▱ABCD的周长为60cm，
∴BC+AB=30cm，①
又∵△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，
∴AB﹣BC=8cm，②
由①②得：
AB=19cm，BC=11cm．
故答案为：19cm，11cm．
点评：此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．
17．（4分）观察下列各式：
，
将你猜到的规律用一个式子来表示．
考点：算术平方根．
专题：规律型．
分析：根据所给式子，找到规律，即可解答．
解答：解：
∵
，
∴．
故答案为：．
点评：本题考查了算术平方根，解决本题的关键是根据所给式子，找到规律．
三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
18．（9分）计算：．
考点：分式的乘除法．
专题：计算题．
分析：原式先计算乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果．
解答：解：原式=﹣•
=﹣．
点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（9分）先化简，再选择一个适当的数代入求值：．
考点：分式的化简求值．
专题：开放型．
分析：首先把除法运算转化成乘法运算，进行因式分解和约分，然后进行减法运算，最后代值计算．
解答：解：
=
=
=
当x=1时，（x≠0，2，4）原式=5．
点评：本题主要考查分式的化简求值，把分式化到最简是解答的关键，代值时注意所代的值不能使分母为0．
20．（9分）解分式方程：．
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：3x=5x﹣10，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（9分）如图，在▱ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连接CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：在▱ABCD中，AD∥BC，所以AE∥FC，而AE=CF，所以AFCE是平行四边形
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴AE∥CF．
又∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
22．（9分）已知，如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．
求证：AE=CF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：由平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，推出OA=OC，OE=OF，四边形AECF 是平行四边形，即可得出结论．
解答：证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE
∵▱ABCD
∴OA=OC，OB=OD
∵OF=BF﹣OB，OE=DE﹣OD
BF=DE
∴OE=OF
∵OA=OC，OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AE=CF
点评：本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
23．（9分）如图所示：四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC．试证明∠E=∠F．
考点：平行四边形的性质．
专题：证明题．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可证得AB∥CD，∠ADC=∠ABC，AD∥BC，又由DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，易证得四边形BEDF是平行四边形，即可判定∠E=∠F．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ADC=∠ABC，AD∥BC，
∴∠2=∠5，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠2=∠ADC，∠4=∠ABC，
∴∠2=∠4，
∴∠4=∠5，
∴DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴∠E=∠F．
点评：此题考查了平行四边形的性质与判定．注意证得四边形BEDF是平行四边形是关键．
24．（9分）某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
考点：分式方程的应用．
专题：方案型．
分析：关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．
再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
解答：解：设规定日期为x天．由题意得
++=1，
．
3（x+6）+x2=x（x+6），
3x=18，
解之得：x=6．
经检验：x=6是原方程的根．
方案（1）：1.2×6=7.2（万元）；
方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；
方案（3）：1.2×3+0.5×6=6.6（万元）．
∵7.2＞6.6，
∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．
25．（12分）探索：（1）如果，则m=﹣5；
（2）如果，则m=﹣13；
总结：如果（其中a、b、c为常数），则m=b﹣ac；
应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
考点：解分式方程．
专题：计算题．
分析：（1）将变形为3+，从而求出m的值；
（2）将变形为5+，从而求出m的值；
将变形为a+，从而求出m的值；
将代数式变形为4+，从而求出满足条件的整数x的值．
解答：解：（1）∵=3+=3+，
∴m=﹣5；
（2）∵=5+=5+，
∴m=﹣13；
总结：∵=a+=a+，
∴m=b﹣ac；
应用：∵=4+，
又∵代数式的值为整数，
∴为整数，
∴x﹣1=1或x﹣1=﹣1，
∴x=2或0．
点评：本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题，可以根据对应项相等的原则解答．
26．（14分）如图1，已知双曲线与直线y2=k'x交于A，B两点，点A在
第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为（﹣3，﹣1）；当x满足：﹣3≤x＜0或x≥3时，y1＞y2；
（2）过原点O作另一条直线l，交双曲线于P，Q两点，点P在第一象限，
如图2所示．
①四边形APBQ一定是平行四边形；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．
考点：反比例函数综合题．
分析：（1）由A和B为正比例函数与反比例函数的交点，得到A和B关于原点对称，由A的坐标即可求出B的坐标；由A和B的横坐标及原点的横坐标0，将x轴分为四个范围，分别为：x＜﹣3，﹣3＜x＜0，0＜x＜3，x＞3，找出一次函数在反比例函数上方的范围即可；
（2）①由OP=OQ，OA=OB，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形APBQ 一定是平行四边形；
②由A得坐标确定出反比例函数解析式，将P得横坐标x=1代入反比例解析式中，求出P 的纵坐标，确定出P的坐标，过P作PN垂直于x轴，过A作AM垂直于x轴，可得出PN，AM，ON，OM的长，进而求出MN的长，根据四边形OPAM的面积﹣三角形AOM的面积表示出三角形AOP的面积，而四边形OPAM的面积=三角形OPN的面积+梯形AMNP的面积，可求出三角形AOP的面积，在三角形ABP中，由O为AB的中点，根据等底同高得到三角形AOP的面积与三角形BOP的面积相等，同理得到三角形BOQ的面积=三角形AOQ 的面积=三角形AOP的面积=三角形BOP的面积，而这四个三角形的面积之和为平行四边形APBQ的面积，即可求出四边形APBQ的面积．
解答：解：（1）由A和B为反比例函数与一次函数的交点，
得到A和B关于原点对称，
∵A（3，1），
∴B（﹣3，﹣1）．
由图象可得：当﹣3≤x＜0或x≥3时，y1≤y2．
故答案为：（﹣3，﹣1），﹣3≤x＜0或x≥3；
（2）①∵OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ为平行四边形；
②过A作AM⊥x轴，过P作PN⊥x轴，如图所示：
由A（3，1）在反比例函数图象上，得到反比例解析式为y=，
∵P的横坐标为1，P在反比例函数图象上，
∴将x=1代入反比例解析式得：y=3，即P（1，3），
∴AM=1，OM=3，PN=3，ON=1，MN=OM﹣ON=2，
则S△AOP=S四边形OPAM﹣S△AOM=S△PON+S梯形AMNP﹣S△AOM
=PN•ON+（AM+PN）•MN﹣AM•OM
=×3×1+×（1+3）×2﹣×1×3
=4，
在△APB中，O为AB的中点，即AO=BO，
∴S△AOP=S△BOP，
同理S△BOQ=S△AOQ=S△AOP=S△BOP，
又∵S平行四边形APBQ=S△BOQ+S△AOQ+S△AOP+S△BOP，
∴S平行四边形APBQ=4S△AOP=16．
故答案为：平行四边形．
点评：此题考查了反比例函数的综合题，涉及的知识有：对称的性质，反比例函数的性质，正比例函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形、梯形面积的求法，利用了转化及数形结合的思想，其中当正比例函数与反比例函数要有交点，必然有两个，且两点关于原点对称，灵活运用此性质是解本题的关键．。