高考数学压轴专题茂名备战高考《推理与证明》分类汇编含答案

【最新】高考数学《推理与证明》专题解析
一、选择题
1．已知数组1
()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121
n n n n --L ，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )
A ．911
B ．1011
C ．1112
D ．910
【答案】B
【解析】
【分析】
设a 200在第n 组中，则()()1120022
n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：
19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111
=
=-+，得解． 【详解】 由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022
n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 解得：n ＝20，
即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：
19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111
=-+， a 2001011
=
， 故选B ．
【点睛】 本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．
2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )
从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )
A ．100820182⨯
B ．100920182⨯
C ．100820202⨯
D ．100920202⨯
【答案】C
【解析】
【分析】
根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.
【详解】
解：第一行第一个数为：0112=⨯；
第二行第一个数为：1422=⨯；
第三行第一个数为：21232=⨯；
第四行第一个数为：33242=⨯； L L ，
第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；
一共有1010行，
∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；
故选C ．
【点睛】
本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3．已知点(10,3)P 在椭圆22
2:199
x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为
（ ）
A ．
13311
x y += B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110
x y += 【答案】C 【解析】
【分析】 先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程.
【详解】
因为点(10,3)P 在椭圆22
2:199
x y C a +=上， 故可得21009199
a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：
103111099
x y +=，整理可得11133x y +=. 故选：C.
【点睛】
本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.
4．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃．
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D
【解析】
【分析】
假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．
【详解】
假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，
假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，
假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，
假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，
所以是丁打碎了玻璃；
故选：D
【点睛】
本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．
5．若数列{}n a 是等差数列，则数列12n n a a a b n
++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12n n c c c d n ++⋯+=
B ．12n n c c c d n
⋅⋅⋯⋅=
C ．n d =
D ．n d =
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．
【详解】
解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n n a a a a d n -++⋯++=，
∴数列12112
n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列 Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，
则()112121111n n n n n c c c c c q c q c q --⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅ ∴1
21
n n d c q -=
∴n d =
故选：D ．
【点睛】 本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．
6．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）
A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
【答案】C
【解析】
“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.
7．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．
A ．2n
B ．22n n -+
C ．2(1)(2)(3)n n n n ----
D ．325104n n n -+-
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可.
【详解】
由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.
即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-.
累加可得()()()21222224 (2222)
2n n n n f n n -+-=++++-=-+
+=. 故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.
8．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:
2,DC rcosa =①
22,AB rcos a =②
()12,FC r cos a =-③
()22DC r r AB =-④.
其中正确的是（ ）
A ．②③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④ 【答案】D
【解析】
【分析】
在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④.
【详解】
在Rt ADC ∆中，
2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故
DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22AB FC r r a =-
=-， 又C
C AC
D FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得
()
()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.
故选：D.
【点睛】 本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.
9．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队
B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队
D ．任意顺序排队接水的总时间都不变
【答案】B
【解析】
【分析】
表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论
【详解】
事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了 22m t T ++ 2m+2t+T
分钟，共节省了T t - T-t
分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．
故选B.
【点睛】
一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．
10．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）
A ．大于2
B ．小于2
C ．不小于2
D ．不大于2 【答案】B
【解析】
【分析】
把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．
【详解】
解：2a b c ++=Q ，
2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．
则2()ab bc ac ++
222ab ac bc =++
ab ac bc ac ab bc =+++++
()()()a b c c b a b a c =+++++
(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-
222222b b a a c c =-+-+-
()()2222a b c a b c =-+++++
()2224a b c =-+++，
2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，
即()2220a b c -++<，
2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<
即ab bc ac ++的值小于2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．
11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）
A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路
【答案】D
【解析】
【分析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
12．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。

2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的
A．甲辰年B．乙巳年C．丙午年D．丁未年
【答案】C
【解析】
【分析】
按照题中规则依次从年列举到年，可得出答案。

【详解】
根据规则，年是己亥年，年是庚子年，年是辛丑年，年是壬寅年，年是癸卯年，年是甲辰年，年是乙巳年，年是丙午年，故选：C。

【点睛】
本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题
的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。

13．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C
【解析】
【分析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
14．三角形面积为()12
S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ）
A ．13V abc =
B ．13V Sh =
C ．()13V ab bc ac h =
++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413
V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解．
【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，
根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，
可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413
V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．
15．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班
B ．14班、7班、15班
C ．14班、15班、7班
D ．15班、14班、7班
【答案】C
【解析】
【分析】
分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．
【详解】
假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误， 14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；
假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，
7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，
则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；
假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，
7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．
综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．
故选：C ．
【点睛】
本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n
*-
+-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ） A ．
121
k + B ．112224k k -++ C ．122k -+ D ．112122k k -++ 【答案】D
【解析】
【分析】 根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，
比较可得所求．
【详解】 当n k =时，等式的左边为111111234212k k
-+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122
k k k k -+-+⋯+-+--++， 故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是
112122k k -++． 故选：D ．
【点睛】
本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．
17．三角形的面积为1()2
S a b c r =
++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ） A ．13
V abc =
B ．13V Sh =
C ．1()3V ab bc ca h =
++，（h 为四面体的高） D ．()123413
V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）
【答案】D
【解析】
【分析】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.
【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13
=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．
【点睛】
本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆
的面积
S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A
B
． C
D
．【答案】A
【解析】
【分析】 根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得
sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3
A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=
，代入公式=S . 【详解】 由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，
因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-
， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-=
=，所以3bc =，
由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A
【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．0=，则0x y ==，假设为( ) A ．,x y 都不为0
B ．,x y 不都为0
C ．,x y 都不为0，且x y ≠
D ．,x y 至少有一个为0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.
【详解】 0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.
【点睛】
本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.
20．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ）
A ．5748b b b b >
B ．7845b b b b >
C ．5748b b b b +<+
D ．7845b b b b ++<
【答案】C
【解析】
【分析】
类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．
【详解】
在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，
类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，
因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+- 32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，
所以4857b b b b +>+成立．
故选：C
【点睛】
本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．。