确定函数极限的常用方法

确定函数极限的常用方法
内容摘要
在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。

本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，并展示了利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了重点说明,并以实例进行了具体注解,使方法更具针对性、技巧性和可操作性。

关键词：函数，求极限，基本方法
Common method to determine the limit of function
Abstract
In mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit methods are crucial. This paper mainly discussed, summed up the general method of seeking the limit of a function and demonstrated the use of special methods for Integral limit, and the characteristics of each method and precautions were highlighted, and specific examples to comment, make way more and targeted, skill and operability.
keyword：Function, Limit, The basic method
目录
一、引言 (1)
二、函数极限的基本知识 (1)
（一）函数极限的定义 (1)
（二）函数极限的性质 (1)
三、函数极限的基本解法 (2)
（一）定义法 (2)
（二）利用极限四则运算法则 (2)
（三）利用迫敛性定理求极限 (3)
（四）利用两个重要极限求极限 (3)
（五）利用左右极限求极限 (4)
（六）幂指函数求极限 (4)
四、函数极限的微积分解法. (5)
（七）利用无穷小量求极限 (5)
（八）利用洛比达法则求极限 (7)
（九）利用单调有界准则求极限 (9)
（十）利用中值定理求极限 (10)
五、小结 (11)
参考文献 (11)
致谢 (11)
确定函数极限的常用方法
一、引言
纵观整个高等数学体系我们可以发现极限问题一直贯穿始末。

因此，极限作为《数学分析》中一个最重要的概念，极限理论与极限解法是我们所必须解理与握掌的，而活灵握、运用求极限的方法更是学好《数学分析》的基础。

但是，由于数学题型是多种多样的，实际问题又是千变万化的，因此求极限的方法也是因题而异、多种多样、变化多端，面对这些题型有时真的感到变幻莫测无从下手。

本文特对一些限极的计算方法进行归纳总结，并通过对一些高等院校历年来研究生入学考试典型试题的特征进行了深刻的分析，借以说明其求解方法与技巧，力求做到灵活应用求极限的方法。

二、函数极限的基本知识
(一)函数极限的定义
（二）函数极限的性质
性质1 ()lim x a
f x →A =的充要条件是()f x 在a 点的左右极限都存在且都为A .
性质2 唯一性 若()lim x a
f x →存在，则它只有一个极限.
性质3 局部有界性 若()lim x a
f x →存在，则()f x 在a 的某个空心领域内有界.
定义：设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0,存在正数
()M a ≥，使得当x M >时有
()f x A ε-<，
则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作
()lim x f x A →∞
= 或 ()()f x A x →→+∞。

特别的，对上述定义，当x 趋于+∞[或-∞或∞]时，()f x 的极限仍然存在；当x 趋于a +（或a -）时，()f x 的左右极限也存在。

三、函数极限的基本解法
（一）定义法
极限的计中，应应义定法来求解是最遍普的一种方法。

虽然它对于求解所有的极极都实用，但是对于复杂的限来说应用定义法算起来会比较非常麻烦，因
些比较简单的题型。

此定义法一般适用于一 例1 按定义证明 1
lim 0x x
→∞=.
证明 任给0ε>，取 1
M ε
=，则当 x M >时有
1110x x M
ε-=<=， 所以 1
lim
0x x
→∞=. )二( 利用极限四则运算法则
1. 若()lim x a
f x A →=，()lim x a
g x B →=，则 ()()lim x a
f x
g x A B →±=±⎡⎤⎣⎦.
()()lim x a
f x
g x AB →=⎡⎤⎣⎦.
2. ()lim x a
f x A →=,()lim 0x a
g x B →=≠,则
()()
lim
x a
f x A
g x B
→=
. 必
是要求参加运算的函数算求函数极限时，首先应用函数极限的四则运性质4 局部保号性 若()f x 在a 点极限为A （0A >），则对任意正数r ，存在a
的一个空心邻域()o U a ，使得对()o U a 中的任意x ，恒有
()0f x r >>.
性质5 不等式 若()lim x a
f x →A =，()lim x a
g x B →=，且有0δ>
()(),f x g x x ≤∀∈(),O U a δ 成立，则A B ≤，即()()lim lim x a
x a
f x
g x →→≤.
性质6 迫敛性（两边夹） 若()()lim lim x a
x a
f x
g x A →→==，且有0δ>，
()()()f x h x g x ≤≤ (),x U a δ∀∈ 则()lim x a
h x A →=.
需是收敛的，其是作为分母的函数的限限不能为0，再次的限限不能为0 .因子消去分子分母的公共零算前，先把所给的商式
例2 求极限 237
lim 5
x x x →+-
解 ()
()22
2333
lim 7737
lim 85lim 535
x x x x x x x →→→+++===----.
例3 求极限
lim
x →∞
解
lim
x →∞
x =
2
2+2
=12
x =
=. )三( 利用迫敛性定理求极限
或放大或缩小，使得放大，可将函数进行适当的当函数极限不易求出时
公共值。

，则极限存在，且等于限，若二者的极限相同缩小后的函数易于求极 例4 求极限 2sin lim 4
x x x
x →+∞-
解 由于0sin 1x ≤≤，故0≤2sin 4x x x - 24
x
x ≤-.
又 21
lim lim 04
4x x x x x x
→+∞→+∞==-- 故 2
2+sin 0lim lim 044x x x x x x x →+∞→∞≤≤=-- 即 2sin lim 4
x x x
x →+∞-0=.
)四( 限利用两个重要极限求极
两个重要的极限：1. 0sin lim 1x x x →= 2. 1lim 1x
x e x →∞⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
第一个极限比较简单，是“0
”型，一般可以通过等价无穷小来实现；第二
个极限比较复杂，在计算时应注意它是()
1+无穷大
无穷小，是典型的“1∞”，具有
“外大内小，内外颠倒”的特点。

在利用这两个重要极限求要求的函数极限时，
其关键是在于把要求的函数极限进行转化，转化成重要极限的标准型或重要极限的变形，然后才能进行计算。

例5 求极限
x →
解
0x →
)
)
00sin 41sin 4lim lim 414x x x x x x →→==∙
)
00sin 4lim
lim 4
144x x x
x
→→=∙=.
例6 求极限 21
32lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭
解 21
32lim 31x x x x -→+∞+⎛⎫
⎪-⎝⎭
121
21
133
11lim 1lim 133x x x x x x x x -⎛⎫--∙ ⎪⎝⎭-
→∞→∞⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
--⎝
⎭⎝
⎭
1
2113131lim 113x x x
x x -
⎛⎫-∙ ⎪⎝⎭-
→∞⎛⎫
⎪=+ ⎪ ⎪
-⎝
⎭2e =.
函数()f x 在x a →时极限存在的充要条件是左右极限各自存在且相等，即()()lim lim x a
x a
f x f x -+→→=，这个公式既是求极限的有力的方法，也是证明极限存
的有力工具。

对分段函数求问题应用尤多，而分段函数在分段点上求极限时，必须考虑该分段点的左右极限。

例7 设()f x 6,
10,36,x x ⎧⎪
=⎨⎪+⎩
02223x x x ≤<=<≤ 讨论()2
lim x f x →是否存在.
解 因为()2
2
lim lim 612x x f x x --→→== ()2
2
lim lim (36)12x x f x x ++→→=+=
()()22
lim lim 12x x f x f x -
+→→==
所以 ()2
lim x f x → 存在且 ()2
lim x f x →12=. （六）幂指函数求极限
的极限.
这类极限常用的方法是先取对数，再求指数，把求“幂”的极限化为求“积”
（五）利用左右极限求极限
例8
求极限()1
lim x
x→
解原式
=
1
ln
0 lim x
x
e
→
0000
1ln1
lim ln lim
2
x x x x
x x
→→→→
====-所以，原式
1
2
e-
=.
例9 求极限
1
ln
lim arctan x
2
x
x→+∞
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
π
.
解原式
1
ln arctan
ln2
lim x
x
x
e
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
→+∞
=
π
，其中
2
11
1+x
ln arctan arctan
22
lim lim
1
ln
x x
x x
x
x
→+∞→+∞
⎛⎫
∙-
⎪
⎛⎫⎝⎭
--
⎪
⎝⎭=
ππ
2
1
lim
arctan
2
x
x
x
x
→+∞
-
+
=
-
π
()
()
2
2
22
2
2
12
11
lim lim0
1
1
x x
x x x
x x
x x x
x
→+∞→+∞
+-∙
-
+-
===
+
-
+
，
所以，原式01
e
==
1.利用无穷小量的性质
还是
意有限个无穷小量的和
积仍然是无穷小量，任
无穷小量与有界量的乘
求函数极
倒数也是无穷小量。

在
函数中任一无穷大量的
无穷小量，在同一变量
简便。

小量，从而使计算更加
价无穷小量来代替无穷
限的过程中，也可以等
例10求极限
2
1
lim cos
x
x
x
→∞
解因为
2
1
lim0
x x
→∞
=故x→∞时，
2
1
x
是无穷小量，
而lim cos
x
x
→∞
是有界量所以
2
1
lim cos
x
x
x
→∞
是无穷小量，
四、函数极限的微积分解法
（七）利用无穷小量求极限
即 2
1
lim
cos x x x →∞0=.
法，通常会给解题带来很大的方便。

关于等价无穷小有一个重要的特点：若
lim 0α=，lim 0β=且'
~αα，'
~ββ，''lim A αβ=，则'
'lim lim A ααββ
==.在计
当0x →时，sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，arctan ~x x ，1~x e x -，
2
2
1cos ~
x x -，()ln 1~x x +，1~ln x a x a -
1~
x n
，()11~a
x ax +-. 例11 求极限 0sin 5lim
tan 4x x
x
→
解 用等价无穷小替换，sin ~x x ，tan ~x x （0x →）
0sin 5lim
tan 4x x x →055
lim 44
x x x →==.
例12 求极限 2
2
lim
sin 2x
t x x e dt
x x
→-⎰
解 用等价无穷小替换，sin ~x x ，1~x e x - （0x →）
2
02
lim
sin 2x
t x x e dt
x x
→-⎰2
2
3
2
01lim
lim 26x
t x
x x x e dt
e x x →→--==⎰ 2
201lim 6x x e x →-=2201
lim 66
x x x →-==-.
()f x ()()()()()1
1
'
()()()()()()!1!
n
n n n f a f f a f a x a x a x a n n ξ++=+-++-+
-+ ， 2.利用等价无穷小量代替来求极限
泰勒公式（1）设()f x 在[],a b 上存在直到n 阶连续导数，在(),a b 内存在1n +阶导数，则
3.利用泰勒公式求极限
等价无穷小通常是针对一些0
型的极限，若恰当的使用等价无穷小这种方
算的过程中，等价无穷小是替换的是分子分母或它们的乘积因子，从而达到简 化极限计算的目的。

其中(),a b ξ∈.
（2）有限增量公式 若()f x 在点a 可导，则
()f x ()()()()'f a f a x a o x a =+-+-.
例13 求极限0
lim
x →22
4
cos x x e
x -
-.
解 0
lim
x →22
4
cos x x e
x --4
540()
1
12lim 12
x x o x x →-+=-.
245cos 1()224
x x x o x =-++ 2
2452
1()212x
x x e o x -=-++
2
4
52
cos ()12
x x x e
o x -
-=-+ 因而求得24
52
4
400()
cos 1
12lim
lim 12
x x x x o x x e x x -→→-+-==-.
1.洛比达法则：
（1）若()lim 0x a
f x →=，()lim 0x a
g x →=.
()f x 和()g x 在a 的某空心邻域()o U a 内可导，()'0g x ≠.
如果当0x x →（或x →∞）时，两个函数()f x 和()g x 都趋于零或无穷大，那么极限()()
lim
x x f x g x →（或()()
lim
x f x g x →∞
）可能存在，这种极限叫做未定式并且分别简记为
型或
∞
∞
型。

对于这类极限，一般可按洛比达法则求解。

（八）利用洛比达法则求极限
本题也可用洛比达法则求解，但是运算过程比较繁琐，因此可用泰勒公式化简计算过程。

考虑到极限分母是4x ，我们用麦克劳林表示极限的分子，取(4n =).
由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。

且()()
''lim
x a
f x A
g x →=，则 ()()
()()
''lim
lim
x a
x a
f x f x A
g x g x →→==.
（2）若()lim x a
f x →=∞，()lim x a
g x →=∞.
()f x 和()g x a 的某空心邻域()o U a 内可导，()'0g x ≠.
且()()
''lim
x a
f x A
g x →=，则 ()()
()()
''lim
lim
x a
x a
f x f x A
g x g x →→==.
洛比达法则说明了在一定条件下若不能直接求出函数的极限，则可将函数的
次使用洛比达法则，即对函数极限的分子分母分别进行二次求导
()()
()()
()()
''''
''
lim
lim
lim
x a
x a
x a
f x f x f x
g x g x g x →→→==.这也就是说，可以多次使用洛比达法则.
例14 求极限 ()
2
ln 1lim
x x xe x x
→-+
解 这是
型未等式，用洛比达法则可得 ()
2
ln 1lim
x
x xe x x →-+()0
111lim
2x x x e x x
→+-
+=()()2011lim 21x
x x e x x →+-=+ ()()2
211lim
42
x x
x x e x e x →+++=+3
2
=
. 例15 求极限2
2
2lim x
t x x x e dt
e
→+∞
⎰
解 这是
∞
∞型未等式，用洛比达法则可得 2
2
2lim
x t x
x x e dt
e
→+∞
⎰2
2
222
2
2
2
202222lim
lim
22x
t x
x x x
x x x x x e dt xe e e x e xe
e x e
→+∞
→+∞
+++==+⎰
2
2
22lim 112x x x →+∞+==+ 分子分母先分别进行求导然后在求极限，若还是不能求出函数的极限，则可再 （3）类似有单侧极限的不定式的洛比达法则.
2.其它类型的未定式，如∞-∞，0-∞，1∞，0∞等都可以转化成00型或∞
∞
型，
然后再用洛比达法则进行求解.
例16 求极限 ()011lim ln 1x x x →⎛⎫
- ⎪ ⎪+⎝
⎭ 解 这是一个∞-∞型未等式，先将其转化成0
型未等式，然后再 用洛比达法则可得
()011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭()()0ln 1lim ln 1x x x x x →-+=+()0111lim ln 11x x
x x x
→-
+=++
+ ()()()0011
lim
lim 1ln 1ln 122
x x x x x x x →→===+++++.
必有极限，且极限唯一.
数列两端同时取极限.
例17 给定数列00a =，1
1
121n n n a a a --+=
+，（1
,2,n = ）
证明：lim n n a →∞
存在，并求此极限.
证明 先用数学归纳法证明
1n n a a -≥ 1,2,n = * 当1n =时，00a =，0
100
1211a a a a +=
=>+. 即当1n =时*式成立，归纳总结12n n a a --≥，再证n 时，
()()
1212
11212121201111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ---------++--=
-=≥++++.
利用单调有界准则求极限，首先要证明函数列的极限是存在的，然后再在函 单调有界准则：若函数列是单调增（或减）且有上界（或下界），则函数列 （九）利用单调有界准则求极限
1n n a a -∴≥.
从而*式成立，即{}n a 单调递增. ()1111
2112211n n n n n a a a a a ----++=
≤=++. 即 {}n a 有上界.∴lim n n a l →∞
=存在.且12l <≤ 对 11121n n n a a a --+=
+两端求极限有 121l
l l
+=+，解的
l =
或
l = （舍） lim n n a →∞
∴
=
12
+.
例18 求 sin 0lim sin x x
x e e x x
→--
解 设()f x x e =，由拉格朗日中值定理得，
()[]sin sin 'sin sin (sin )x x x x e e e x x f x x x θ--==-+- ()01θ<<
即 sin sin x x
e e x x
--=[]'sin (sin )f x x x θ+- ()01θ<<
因为 ()'x f x e = 连续，所以0
lim x →[]'sin (sin )1f x x x θ+-=
于是 sin 0lim
1sin x x
x e e x x
→-=-.
例19 求4
lim cos n n xdx →∞⎰π.
2.利用积分中值定理求极限 1.利用微分中值定理
（十）利用中值定理求极限
解 04ε∀<<
π，cos ,4n x ε⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
π，由积分中值定理得 44
00
cos cos cos 1cos 4n
n
n
n n xdx xdx xdx dx εε
εεξ⎛⎫=+≤+- ⎪⎝⎭⎰
⎰⎰⎰ππ
π4εεε⎛⎫
≤+- ⎪⎝⎭
π，
所以，lim
n →∞
40
cos 0n xdx =⎰
π
五、小结
随着近几年教育研究的变革，有关函数极限的求解在高等数学中的应用越
来越广泛。

以上方法是在高等数学里求解函数极限的重要方法。

在做求解函数限极的题目时，仅仅掌握以上方法是不够的，还需要透出清晰地白明上上各法方所需的件条，通过细致分析件，选择选出适当的法法。

这样且仅准确率高更，且，会省去许多不必要的麻烦，到事半功倍的效果。

这就要求学习者要吃透其
精髓，且且多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在题做时得心应手。

从述上的绍中可以看出求函数极限的方法不拘一格， 我们应具体问题具体分析，不能机械地用某某方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多
种方法混合使用
，要且会灵活应用。

参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]贾玉峰. 浅谈高等数学中求函数极限的方法[J].赤峰学院报（自然科学版），2008,24(2).
[3]钱吉林.数学分析题解精粹（第二版）[M].湖北长江出版集团，2009.
[4]薛宗慈.数学习作课讲义[M].北京出版社，1987.
[5]朱匀华.微积分入门指导与思考方法[M].中山大学出版社，1987.
致谢
时间如梭，转眼两个月就过去了，本科毕业论文已接近尾声，在此，我特别感谢我的指导老师任辛喜，本文的写作正是在他的指导和帮助下才得以顺利完成的。

任老师为人和蔼可亲，治学严谨认真，从他身上我不仅学会了基本的学术论文写作及研究方法，还懂得了许多做人的道理。

另外，还要感谢我在大学遇到的每一位老师，是他们帮我打下了坚实的数学基础；最后，感谢对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位师长。

愿每一位老师身体健康，万事如意！。