初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第2章 代数式试题1 新人教版

第2章 代数式
2.1整式的运算
2.1.1★化简()()12311n x x x x x -⎡⎤+-+-++-⎣⎦，其中n 为大于1的事数． 解析
原式()()()1123231n n n x x x x x x x x x --=-+-++-+-+---+-()1n x =+-． 评注 本例可推广为一个一般的形式：
()()1221n n n n n n a b a a b ab b a b -----++
++=-．
2.1.2★计算 （1）()()a b c d c a d b -+----；
（2）()()()
422422816x y x y x x y y +--+．
解析 （2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．
原式()()c b d a c b d a =--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()22c b d a =--- 2222222c b d bd bc cd a =+++---．
（2）()()22x y x y +-的结果是224x y -，这个结果与多项式4224816x x y y -+相乘时，不能直接应用公式，但
()2
4224228164x x y y x y -+=- 与前两个因式相乘的结果224x y -相乘时就可以利用差的立方公式了．
原式()()()23
222222444x y x y x y =--=- ()()()()()2223
22222234344x x y x y y =-+- 642246124864x x y x y y =-+-．
2.1.3★设()2321g x x x =-+，()3231f x x x =--，求用()g x 去除()f x 所得的商()q x 及余式()r x ． 解析1用普通的竖式除法
23232221739
32131
213374133
714739926299
x x x x x x x x x x x x x x --+----
+----+--- 因此，所求的商()1739q x x =-，余式()26299
r x x =--． 解析2 用待定系数法 由于()f x 为3次多项式，首项系数为1，而()g x 为2次，首项系数为3，故商()q x 必为1次，首项系数必为13
，而余式次数小于2，于是可设商式()13q x x a =+，余式()r x bx c =+． 根据()()()()f x q x g x r x =+，得
()()32231
13213x x x x x x a bx c ---⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭ ()32213233x a x b a x a c ⎛⎫⎛⎫=+-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭． 比较两端系数，得 233312131a b a a c ⎧-=-⎪⎪⎪-+=-⎨⎪⎪+=-⎪⎩
解得79a =-，269
b =-，29
c =-，故商式()1739q x x =-，余式()26299r x x =--． 2.1.4★已知当7x =时，代数式58ax bx +-的值为4，求当7x =时，代数式
5322
a b x x ++的值． 解析 比较两个代数式，发现它们的相同与不同．
当7x =时，
()551387222a b x x ax bx ++=+-+ 14792
=⨯+=． 2.1.5★若23y z x =
=，且12x y z ++=，试求234x y z ++的值． 解析 2y x =，3z x =，代入
12x y z ++=
得2x =，故4y =，6z =，所以23440x y z ++=．
2.1.6★★试确定a 和b ，使422x ax bx +-+能被232x x ++整除．
解析 由于()()23212x x x x ++=++，因此，若设
()422f x x ax bx =+-+，
假如()f x 能被232x x ++整除，则1x +和2x +必是()f x 的因式，因此，当1x =-时，()10f -=，即 120a b +++=，①
当2x =-时，()20f -=，即
164220a b +++=，②
由①，②联立，则有
6,
3a b =-⎧⎨=⎩
2.1.7★若()()()32115x x x x bx cx d -++=+++，求b d +的值．
解析()()()()()2321151555x x x x x x x x -++=-+=+--，
所以b =，5d =-．
0b d +=．
2.1.8★将2357x x +-表示成()()222a x b x c -+-+的形式．
解析 ()()22
357
3225227x x x x +-=-++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()23217215x x =-+-+．
2.1.9★已知210a a +-=，求3222a a ++的值．
解析1 由21a a +=，有
()32322222a a a a a ++=+++
()()22222123
a a a a a a =+++=++=+=． 解析2由21a a =-，有
()()()3222222122a a a a a a ++=++=-++
22224a a a a =--+=--
()41413a a a a =---=--+=．
评注 解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法．
这两种方法在整式恒等变形中常用．
2.1.10★★已知x y m +=，33x y n +=，0m ≠，求22x y +的值．
解析 因为x y m +=，所以
()()33333m x y x y xy x y =+=+++
3n mxy =+， 所以233m n xy m
=-． 所以()2
222x y x y xy +=+-
22233m n m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2233m n m
=+． 2.1.11★★若214x xy y ++=，228y xy x ++=，求x y +的值．
解析 把两个方程相加，得()()2
42x y x y +++=，于是有 ()()670x y x y +-++=，
故6x y +=或7x y +=-．
2.1.12★★★已知1x y +=，222x y +=．求77x y +的值．
解析 因为222x y +=，所以()2221222x y x y xy xy =+=++=+，从而12
xy =-．所以 ()()3333x y x y xy x y +=+-+
31513122⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪⎝⎭
． ()2
4422222x y x y x y +=+- 2
2172222⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭． 故()()()3
773344335717112228x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++-+=⨯--⨯= ⎪⎝⎭． 2.1.13★★已知19992000a x =+，19992001b x =+，19992002c x =+，求多项式222a b c ab bc ca ++---的值．
解析 由222a b c ab bc ca ++---
()()()22212a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣
⎦， 又因为1a b -=-，1b c -=-，2c a -=，故 原式()()222111232⎡⎤=-+-+=⎣
⎦．
2.1.14★★已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，求()()2222a b xy ab x y +++的值．
解析 由2a b x y +=+=，得
()()4a b x y ax by ay bx ++=+++=．
因为5ax by +=，所以1ay bx +=-．
因而，()()
2222a b xy ab x y +++
()()5ay bx ax by =++=-． 2.1.15★★已知()77657651031x a x a x a x a x a -=+++
++，试求76510a a a a a +++++的值．
解析 多项式()f x 的系数和，就是()1f ． ()
77651073112128a a a a a +++++=⨯-==．
2.1.16★★求一个关于x 的二次三项式()f x ，它被1x -除余2；被()2x -除余8；并且被1x +整除． 解析 设这个二次三项式为
()2f x ax bx c =++．
则
()()()12,2428,
10,f a b c f a b c f a b c =++=⎧⎪=++=⎨⎪-=-+=⎩①②③
①-③得
代入②、③得
46,1,a c a c +=⎧⎨+=⎩④⑤
④-⑤得
53a =， 代入⑤得 23
c =-． 所求二次三项式为25233
x x +-． 2.1.17★未知数x 、y 满足
()()2222220x y m y x n m y n +-+++=，
其中m 、n 表示非零已知数，求x 、y 的值．
解析 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．
将已知等式变形为
222222220m x m y mxy mny y n +--++=，
()()222222220m x mxy y m y mny n -++-+=，
即()()220mx y my n -+-=．
所以0,0.
mx y my n -=⎧⎨-=⎩ 因为0m ≠，所以n
y m =，2n
x m =．
2.1.18★★已知x 、y 、z 满足x y z xyz ++=，求证：
()()()()()()222222111111x y z y x z z x y --+--+--
4xyz =．
解析 因为x y z xyz ++=，所以
左边()()()
222222222222111x z y y z y z x x z z y x x y =--++--++--+
()222222222222x y z xz xy xy z yz yx yx z zy zx zx y =++--+--+--+
()()()()xyz xy y x xz x z yz y z xyz xy yz zx =-+-+-++++
()()()()xyz xy xyz z xz xyz y yz xyz x xyz xy yz zx =------+++
xyz xyz xyz xyz =+++
4xyz ==右边．
2.1.19★已知222a b c ab bc ca ++=++，证明a b c ==．
解析 因为222a b c ab bc ca ++=++，所以
()()222220a b c ab bc ca ++-++=，
即()()()2220a b b c c a -+-+-=，
因此0a b b c c a -=-=-=，
即a b c ==．
2.1.20★证明：
()()()333222y z x z x y x y z +-++-++-
()()()3222y z x z x y x y z =+-+-+-．
解析 此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令
2y z x a +-=， ①
2z x y b +-=， ②
2x y z c +-=， ③
则要证的等式变为3333a b c abc ++=．
因为
()()3332223a b c abc
a b c a b c ab bc ca ++-=++++---，
所以将①，②，③相加有
2220a b c y z x z x y x y z ++=+-++-++-=，
所以33330a b c abc ++-=，
所以()()()333222y z x z x y x y z +-++-++-
()()()3222y z x z x y x y z =+-+-+-．
2.1.21★★已知44444a b c d abcd +++=，且a 、b 、c 、d 都是正数，求证：a b c d ===． 解析 由已知可得
444440a b c d abcd +++-=，
()()22222222222240a b c d a b c d abcd -+-++-=，
所以
()()()222222220a b c d ab cd -+-+-=．
因为
()2220a b -≥，()2220c d -≥，()20ab cd -≥，所以
22220a b c d ab cd -=-=-=，
所以()()()()0a b a b c d c d +-=+-=．
又因为a 、b 、c 、d 都为正数，所以0a b +≠，0c d +≠，所以
a b =，c d =．
所以
()()220ab cd a c a c a c -=-=+-=，
所以a c =．故a b c d ===成立．
2.1.22★★已知0a b c ++=，求证
()()24442222a b c a b c ++=++．
解析 用作差法，注意利用0a b c ++=的条件．
左-右
()()24442222a b c a b c =++-++
444222222222a b c a b b c c a =++---
()2222224a b c b c =---
()()22222222a b c bc a b c bc =--+---
()()2222a b c a b c ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦
()()()()a b c a b c a b c a b c =-++---++
0=．
所以等式成立．
2.2因式分解
2.2.1★分解因式：
（1）5131214242n n n n n n x y x y x y --+-+-+-；
（2）33386x y z xyz ---；
（3）222222a b c bc ca ab ++-+-；
（4）752257a a b a b b -+-．
解析（1）原式()1422422n n n n x y x x y y -=--+
()()221222222n n n n x y x x y y -⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦
()21222n n n x y x y -=--
()()2212n n n n x y x y x y -=--+．
（2）原式()()()()333232x y z x y z =+-+----
()()2222422x y z x y z xy xz yz =--++++-．
（3）原式()()()()()222
22
22222a ab b bc ca c a b c a b c a b c =-++-++=-+-+=-+．
本小题可以稍加变形，解法如下：
原式()()()
()2
222
222a b c b c ca a b a b c =+-++-++-=-+．
（4）原式()()752257a a b a b b =-+-
()()522522a a b b a b =-+-
()()2255a b a b =-+
()()()()432234a b a b a b a a b a b ab b =+-+-+-+
()()()2432234a b a b a a b a b ab b =+--+-+．
2.2.2★分解因式：66x y -．
解析1
原式()()2233x y =-
()()
()()()()33332222x y x y x y x xy y x y x xy y =+-=+-+-++．
解析2
原式()()33
22x y =- ()()()22222222x y x x y y ⎡⎤=-++⎢⎥⎣
⎦ ()()()22222x y x y x y x y ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦
()()()()2222x y x y x y xy x y xy =+-+++-．
评注 解析2中，
()()42242222x x y y x y xy x y xy ++=+++-
是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要的．
2.2.3★★分解因式：
()()()333
222222x y z x y z ++--+． 解析 原式中
()22x y +与()22z x -的和等于()22y z +，所以考虑用立方和公式()()3333a b a b ab a b +=+-+变开后，再进行分解．
原式()()()()()33
222222222222223x y z x x y z x x y z x y z =++--+-⋅++--+ ()()()()()33
22222222223y z x y z x y z y z =+-+-+-+ ()()()()22223x y z x z x y z =-++-+．
2.2.4★★分解因式：3333a b c abc ++-．
解析
原式()()3
333a b ab a b c abc =+-++-
()()333a b c ab a b c ⎡⎤=++-++⎣⎦
()()()()223a b c a b c a b c ab a b c ⎡⎤=+++-++-++⎣⎦ ()()222a b c a b c ab bc ca =++++--- 3
评注 3333a b c abc ++-
()()22212222222
a b c a b c ab bc ca =++++--- ()()()()22212
a b c a b b c c a ⎡⎤=++-+-+-⎣⎦． 显然，当0a b c ++=时，则3333a b c abc ++=；当0a b c ++>时，则33330a b c abc ++-≥，即
3333a b c abc ++≥，而且，当且仅当a b c ==时，等号成立．
如果令20x a =≥，30y b =≥，30z c =≥，则有
3
x y z ++ 等号成立的充要条件是x y z ==．这也是一个常用的结论．
2.2.5★★分解因式：
15141321x x x x x ++++++．
解析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项15x 开始，x 的次数顺次递减到0，由此想到应用公式n n a b -来分解．因为
()()161514132111x x x x x x x -=-+++
+++， 所以
原式()()15142111x x x x x x -++
+++=-
161
1
x x -=- ()()()()()
842111111x x x x x x ++++-=-
()()()()8421111x x x x =++++．
评注在本题分解过程中，用到先乘以()1x -，再除以()1x -的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．
2.2.6★分解因式：398x x -+．
解析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
方法1 将常数项8拆成19-+．
原式3919x x =--+
()3199x x =--+
()()()21191x x x x =-++--
()()218x x x =-+-．
方法2 将一次项9x -拆成8x x --．
原式388x x x =--+
()()388x x x =-+-+
()()()1181x x x x =+---
()()218x x x =-+-．
方法3 将三次项3x 拆成3398x x -．
原式339898x x x =--+
()()339988x x x =-+-+
()()()()2911811x x x x x x =+---++
()()218x x x =-+-
方法4 添加两项22x x -+．
原式()()()
()()33222298
98
18118x x x x x x x x x x x x x =-+=-+-+=-+--=-+-．
评注 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
2.2.7★★分解因式：
（1）9633x x x ++-；
（2）()()
22114m n mn --+；
（3）()()()2442111x x x ++-+-； （4）33221a b ab a b -+++．
解析（1）将3-拆成111---．
原式963111x x x =++---
()()()963111x x x =-+-+-
()()()()()36333311111x x x x x x =-+++-++-
()()363123x x x =-++
()()()2631123x x x x x =-++++．
（2）将4mn 拆成22mn mn +．
原式()()
221122m n mn mn =--++
2222122m n m n mn mn =--+++ ()()2222212m n mn m mn n =++--+
()()22
1mn m n =+-- ()()11mn m n mn m n =+-+-++．
（3）将()221x -拆成()()22
22211x x ---．
原式()()()()2244
2212111x x x x =++---+- ()()()()()2
42242121111x x x x x ⎡⎤=+++-+---⎣⎦ ()()()2
2222111x x x ⎡⎤=++---⎣⎦ ()()()()22
2222221313x x x x =+--=++． （4）添加两项ab ab +-．
原式33221a b ab a b ab ab =-++++-
()()()33221a b ab a ab ab b =-+-+++
()()()()21ab a b a b a a b ab b +-+-+++
()()()211a a b b a b ab b =-+++++⎡⎤⎣⎦
()()211a a b ab b =-+++⎡⎤⎣⎦
()()2211a ab b ab =-+++
评注（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加ab ab +-，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是无将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在．
2.2.8★分解因式：4322221x x x x ++++．
解析原式()()
4232122x x x x =++++
()()222121x x x =+++ ()()22112x x x =+++
()()2
211x x =++ 2.2.9★★分解因式：
()()()bc b c ca c a ab a b ++--+．
解析
原式()()()()bc b c ca b c a b ab a b =+++-+-+⎡⎤⎣⎦
()()()()bc b c ca b c ca a b ab a b =+++-+-+
()()()()c b c a b a a b c b =++-++
()()()a b b c c a =++-．
2.2.10★★分解因式：
()()()333x y z y z x z x y -+-+-．
解析
原式()()()
333333x y y x y z x z z x z y =-+-+- ()()()22333xy x y z x y z x y =---+-
()()()223x y xy x y z x xy y z ⎡⎤=-+-+++⎣⎦
()()()()222x y x y z xy y z z y z ⎡⎤=--+---⎣⎦
()()()22x y y z x xy zy z =--+--
()()()()x y y z z x x y z =----++．
2.2.11★★分解因式：()2
2331x x x x +++-． 解析
原式()()2
23263121x x x x x x x =++++++- ()()()2
232331211x x x x x x x =++++++- ()()()22331121x x x x x x x ⎡⎤=++++++-⎣⎦
()()223411x x x x x x =++++++．
2.2.12★★分解因式：
()()221212x x x x ++++-．
解析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将2x x +看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．
设2x x y +=，则
原式()()21212310y y y y =++-=+-
()()()()222525y y x x x x =-+=+-++
()()()2125x x x x =-+++．
评注本题也可将21x x ++看作一个整体，比如令21x x u ++=，可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．
2.2.13★★分解因式：
()()223248390x x x x ++++-．
解析
先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
原式()()()()12212390x x x x =++++-
()()()()12322190x x x x =++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()2225325290x x x x =++++-．
令2252y x x =++，则
原式()219090y y y y =+-=+-
()()109y y =+-
()()222512257x x x x =+++-
()()()22512271x x x x =+++-．
评注 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元()y 的基础．
()()()2221a b ab a b ab +-+-+-．
解析 令a b x +=，ab y =，则
原式()()()2221x y x y =--+-
2222421x xy x y y y =--++-+
()()22211x x y y =-+++
()2
1x y =-+⎡⎤⎣⎦
()21x y =--，
所以，原式()21a b ab =+--．
2.2.15★★分解因式：
()()()2212121a a b a a b --+--．
解析 令1a x -=，则
()2222212122a a a a x a --=--=-．
原式()()222221x a b ax b =-+-
22222x b a b ab x ax =-+-
()()22222x b ax ab x a b =-+-
()()2xb a x ab =-+．
所以，原式()()112a b a a ab =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()21ab a b a ab =--+-．
2.2.16★★分解因式：()()44
13272x x +++-．
解析令2y x =+，则
原式()()4411272y y =-++-
()()22222121272y y y y =-++++- ()()423242324142441424272y y y y y y y y y y =++-+-++++++-
42212270y y =+-
()4226135y y =+-
()()222915y y =-+
()()()223315y y y =+-+．
所以，原式()()()
2251419x x x x =+-++．
2.2.17★★分解因式： ()()2
222483482x x x x x x ++++++． 解析 设248x x y ++=，则
原式()()22322y xy x y x y x =++=++
()()226858x x x x =++++
()()()22458x x x x =++++．
评注 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．
2.2.18★★分解因式：432673676x x x x +--+．
解析1
原式()()
422617136x x x x =++--
()()4222262127136x x x x x x ⎡⎤=-+++--⎣⎦
()()222226127136x x x x x ⎡⎤=-++--⎢⎥⎣⎦ ()()2
222617124x x x x =-+--
()()22213318x x x x ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦
()()22232383x x x x =--+-
()()()()212313x x x x =+--+．
评注 本解法实际上是将21x -看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．
解析2 原式222766736x x x x x ⎛⎫=+--+ ⎪⎝
⎭ 222116736x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． 令1x t x -=，则22212x t x
+=+，于是 原式()2262736x t t ⎡⎤=++-⎣⎦
()()()22267242338x t t x t t =+-=-+
2112338x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝()()
22232383x x x x --+-
()()()()212313x x x x =+--+． 2.2.19★★分解因式：
()()2
22224x xy y xy x y ++-+． 解析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u x y =+，v xy =，用换元法分解因式．
原式()()2
2242x y xy xy x y xy ⎡⎤⎡⎤=+--+-⎣⎦⎣⎦． 令x y u +=，xy v =，则
原式()()2
2242u v v u v =--- ()2
4222693u u v v u v =-+=- ()()22
222223x xy y xy x xy y =++-=-+． 2.2.20★分解因式：22232108x xy y x y --++-．
解析 原式()()32108x y x y x y =-+++-
()()342x y x y =-++-．
其十字相乘图为
3x y
x y -+42
- 评注 凡是可以化成()2x a b x ab +++或()2abx ac bd x cd +++形式的二次三项式，都可以直接采用十字相乘法把它分解成()()x a x b ++或()()ax d bx c ++的形式．
对于某些二元二次六项式()
22ax bxy cy dx ey f +++++，我们也可以用十字相乘法分解因式，通常称为双十字相乘法．其因式分解的步骤是：首先用十字相乘法分解22ax bxy cy ++，得到一个十字相乘图（有两列）；然后把常数项f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey ，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx ．
2.2.21★分解因式：
226136222320x xy y x y -++-+． 解析原式()()2332222320x y x y x y =--+-+
()()234325x y x y =-+-+．
其十字相乘图为
-2y -3y 3x 2x 5
4
2.2.22★分解因式：
22267372x xy y xz yz z ---+-．
解析 原式()()223372x y x y xz yz z =-+-+-
()()2332x y z x y z =-++-．
其十字相乘图为
z
-2z
2x 3x -3y y
2.2.23★分解因式：
()()()()123424x x x x ++++-．
解析 原式()()
22545624x x x x =++++-
()()225454224x x x x ⎡⎤=+++++-⎣⎦
＝()()2
225425424x x x x +++++- ()()22546544x x x x ⎡⎤⎡⎤=+++++-⎣⎦⎣⎦
()()25510x x x x =+++．
对于形如()()()()e x a x b x c x d f +++++（a 、b 、c 、d 、e 、f 为常数），当a b c d +=+时，则把()()x a x b ++与()()x c x d ++分别相乘后，构成有相同部分：()()22x a b x x c d x ++=++的项，使原式得到简化，再用十字相乘法进行分解．
2.2.24★★分解因式：
()()()()2238124x x x x x ++++-．
解析
原式()()
222142411244x x x x x =++++-
()()2221424142434x x x x x x ⎡⎤=++++--⎣⎦ ()()2
2221424314244x x x x x x =++-++- ()()22142441424x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦
()()2210241524x x x x =++++
()()46x x x x ⎛⎛=++⋅ ⎝⎭⎝⎭
． 对地形如()()()()2e x a x b x c x d fx +++++（a 、b 、c 、d 、e 、f 为常数），当a b c d ⋅=⋅时，则把()()x a x b ++与()()x c x d ++分别先作法，构成具有相同部分22x ab x cd +=+的项，再用十字相乘法进行分解．
2.2.25★★分解因式：
222382214x y z xy xz yz --+++．
解析 由于()()22233x xy y x y x y +-=+-．
若原式可以分解因式，那么它一定是()()3x y mz x y nz ++-+的形式．应用待定系数法即可求出m 和n ，使问题得到解决．
设()()2223822143x y z xy xz yz x y mz x y nz --+++≡++-+
()()222233x xy y m n xz n m yz mnz =-++⋅+-+． 比较两边对应项的系数，则有
2,314,8m n n m mn +=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩
解之，得 2m =-，4n =．
所以，原式()()324x y z x y z =+--+．
2.2.26★★分解因式：432435x x x x -+++． 解析 这是关于x 的四次多项式，若它可以因式分解，则必为关于x 的两个二次式之积．可用待定系数法求之．
设432435x x x x -+++
()()2215x ax x bx =++++
()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++． 比较两边对应项的系数，则有
1,64,53a b ab a b +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
解之，得1a =，2b =-．
所以，原式()()22125x x x x =++-+．
如果设原式()()2215x ax x bx =+-+-，那么由待定系数法解题后知关于a 与b 的方程组无解，所以设原式()()2215x ax x bx =++++．
2.2.27★★k 为何值时，2237x y x k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积？ 解析 因为()()22x y x y x y -=+-，所以如果2237x y x y k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积，那么它的两个一次因式一定是()x y m ++与()x y n -+的形式，其中m 、n 都是待定系数． 设 2237x y x y k -+-+
()()x y m x y n =++-+，
2237x y x y k -+-+
22x xy mx xy y my nx ny mn =++---+++ ()()22x y m n x n m y mn =-+++-+．
比较两边对应项的系数，得
3,7,m n n m mn k +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩
解之，得5,2,10.m n k =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
因此，当10k =-时，2237x y x y k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积()()52x y x y ++--．
2.2.28★★分解因式：()444a a b b +++．
解析 因为()4443223464a b a b a b a b ab +=+---
()()()42242a b ab a b ab =+-++，
所以，原式()4
44a b a b =+++
()()()()422442a b ab a b ab a b =+-++++
()()()42222a b ab a b ab ⎡⎤=+-++⎣⎦ ()2
22a b ab ⎡⎤=+-⎣⎦ ()2
222a b ab =++． 2.2.29★★分解因式：()5555x y z x y z ++---． 解析 这个式子是关于x 、y 、z 的五次齐次对称式，令x y =-，则原式0=．故原式有因式x y +．同理，亦有因式y z +，z x +．这样原式还有一个二次齐次对称式 ()()222k x y z l xy yz zx +++++．
所以，可设
原式()()()()()222x y y z z x k x y z l xy yz zx ⎡⎤=++++++++⎣⎦．
当1x y ==，0z =时，得
152k l =+． ①
当2x =，1y =，0z =时，得
3552k l =+．
②
由①式与②式可解得
5k =，5l =． 所以，原式()()()()2225x y y z z x x y z xy yz zx =++++++++．
2.2.30★★分解因式：()()()222222ab a b bc b c ca c a -+-+-．
解析 当a b =时，易知原式0=，所以原式有因式a b -．同理，b c -与c a -也都是原式的因式． 但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为a b c ++，故可设
()()()222222ab a b b b c ca c a -+-+-
()()()()k a b c a b b c c a =++---．
令0a =，1b =，2c =，得()()()233112k ⨯-=⨯-⨯-⨯．解得1k =-．
所以，原式＝()()()()a b c a b b c c a -++---．
2.2.31★★分解因式：()()()()()()222222222a b c b c a c a b abc a b c a b c ab bc ca +++++++++++⋅++． 解析所给的式子是一个四次对称式．若令a b =-，则
原式()()()()
2222222222b b c b c b b c b c b =++--++⋅-
()()2222222b b c c b c c b ⎡⎤=++----⎣⎦ ()22222222222b b c bc b bc c c b =+++-+--
0=．
所以，原式含有因式a b +．
同理，原式含有因式b c +，c a +．
于是，原式含有因式()()()a b b c c a +++．
由于原式为四次对称式，故还有因式()k a b c ++，其中k 为待定系数．
所以，原式()()()()k a b b c c a a b c =+++++．
比较等式两边3a b 的系数，得1k =．
所以，原式()()()()a b b c c a a b c =+++++．
2.3分式
2.3.1★计算：
（1）
9333a b a b ab ab ++-； （2）2216322
a a a a a --++--． 解析（1）
9362333a b a b b ab ab ab a ++-==． （2）2216322
a a a a a --++-- ()()()()
161221a a a a a -=-++-+ ()()()()()()
1262122a a a a a a ---+=++-
()()()2910
122a a a a a --=++-
()()
()()()210110
1224a a a a a a a -+-==+-+-．
2.3.2★计算：
（1）2
11x x x +--；
（2）2233x y
x y
x y x x y x x ⎡⎤
+-⎛⎫---÷ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦．
解析（1）()()
2
2
1111
11111x x x x x x x x x +---+-===----．
（2）2233x y
x y
x y x x y x x ⎡⎤
+-⎛⎫---÷ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦
()2233x y x
x y x x y x x y ⎧⎫+⎡⎤=--+⨯⎨⎬⎢⎥+-⎣⎦⎩⎭
2
2233x
x x x y ⎡⎤⎛⎫=--⨯ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦
22x x
x y x y =⨯=--．
2.3.3★★化简分式：
2222
2325345285
1223a a a a a a a a a a a a ++-----+--+++--．
解析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． 原式2222221123613624126261
1223a a a a a a a a a a a a a a a a +++++--+-+-
---+-=-=+++--
()()()()111121332221223a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡
⎤
⎡⎤
=++--+-+-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()()()111121332221223a a a a a a a a ⎡⎤
=+---++-+-+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥++--⎣⎦
1111
1223a a a a =-+-++--
()()()()11
1223a a a a -=+++--
()()()()
()()()()23121223a a a a a a a a ---++=++--
()()()()84
1223a a a a a -+=++--．
评注 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．
2.3.4★★求分式
24816
1124816111111a a a a a a +++++-+++++ 当2a =时的值．
解析 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：
()()22a b a b a b -=+-，
可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．
原式()()()()
248161124816111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++ 224816
22481611111a a a a a =++++-++++ ()()()()224816
222121481611111a a a a a a a ++-=++++++-+ 44816448161111a a a a =
+++-+++ 881616168816161611111a a a a a =
++=+-++-+ 3232
3232112a ==--． 2.3.5★计算：
222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab
------++--+--+--+． 解析 本题如果直接通分化为同分母，去处较繁．而通过分子拆项，分母分解之后，利用11x y xy x y
+=+，比较简洁．由此可看出，有时需要把分式按分母不变，分子相加减的法则倒过来运用，把一个分式拆成几个分式的和差．
原式()()()()()()()()()()()()
a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b -+--+--+-=++------ 111111a c a b b a b c c b c a
=+++++------ 0=．
2.3.6★已知2310x x -+=．求221x x +
的值． 解析 由已知2310x x -+=得0x ≠且213x x +=可得213x x +=，即13x x
+=，所以 22
21127x x x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭． 评注
这里利用x 与1x
互为倒数的特点．巧妙地运用乘法公式加以变形，使问题变得较简单．同样地，
32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()37118=⨯-=，
2
424211247x x x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭． 2.3.7★已知
115x y +=．求2322x xy x x xy y -+++的值． 解析由5x y xy
+=可得5x y xy +=．故 ()()232322537122527x y xy x xy y xy xy xy x xy y x y xy
xy xy xy +--+⨯-====+++++． 评注 本题同样通过将已知的条件作适当变形，代入所求的分式中．由此可看出，在已知条件与所求的式子中寻找桥梁是非常关键的，往往需要作整体的代换，而不一定要一一求出每个字母的数值．
2.3.8★计算：()()()()()()()()()
222
x y y z z x z x z y x y x z y x y z ---++------． 解析 直接通分比较繁，考虑到这里主要涉及x y -，y z -，z x -三个式子，不妨用换元法．使所求式子的形式变得简单一些．
设x y a -=，y z b -=，z x c -=，则0a b c ++=，所以 原式222333
a b c a b c bc ac ab abc
++=++=---- ()()33
3a b ab a b c abc
⎡⎤+-++⎣
⎦=- 33
33c abc c abc
-++=-=-． 2.3.9★★已知1xyz =，2x y z ++=，22216x y z ++=． 求111222xy z yz x zx y
+++++的值． 解析 因为2x y z ++=，两边平方得2222224x y z xy yz zx +++++=．已知22216x y z ++=，所以，
6xy yz zx ++=-．又2z x y =--，所以
()()111242222xy z xy x y x y ==++----． 同理，
()()11222yz x y z =+--，()()11222zx y z x =+--．故 原式()()()()()()11
1
222222x y y z z x =++------
()()()()()()
222222x y z x y z -+-+-=---
()()6248
x y z zyx xy yz zx x y z ++-=-+++++- 2641128813
-=
=-++-． 2.3.10★★若1abc =，求 11
a b c ab a bc b c ca c ++++++++的值． 解析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 方法1 因为1abc =，所以a 、b 、c 都不为零． 原式111
a a
b ab
c ab a a bc b ab ca c =+⋅+⋅++++++ 1a ab abc ab a abc ab a abca abc ab =
++++++++ 1111a ab ab a ab a a ab =
++++++++ 111
a a
b ab a ++==++． 方法2 因为1ab
c =，所以0a ≠，0b ≠，0c ≠． 原式11
a b b c ab a abc bc b b ca c =++⋅++++++ 111b bc b bc bc b bca bc b =
++++++++ 11111b bc b bc bc b bc b
=++=++++++． 方法3 由1abc =，得1a bc =
，将之代入原式 原式1
111111b c bc bc b b c c bc bc bc =+
+++⋅++⋅++ 11111b bc b bc bc b bc b
=
++=++++++． 2.3.11★化简分式： 2221113256712
x x x x x x ++++++-+． 解析 三个分式一起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．
原式()()()()()()
111212334x x x x x x =++++++++ 111111122334x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21131454
x x x x =-=++++． 评注 本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有()()
11x n x n +++的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成
1x n +与11x n ++两项，这样，前后两个分式中就有可以相互
消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．
2.3.12★★若实数x 、y 、z 满足14x y +=，11y z +=，173
z x +=，求xyz 的值． 解析 因为114111z x x x y z z
=+=+=+-- 7173371431x x x x x x x
--=+=+---， 所以
()()4434373x x x x -=-+-，
241290x x -+=，
()
2230x -=， 故32x =．从而53z =，25
y =．所以1xyz =． 2.3.13★★已知：3x y z a ++=（0a ≠，且x 、y 、z 不全相等），求
()()()()()()()()()
222x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值． 解析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成()()()0x a y a z a -+-+-=，那么题目只与x a -，y a -，z a -有关，为简化计算，可用换元法求解．
令x a u -=，y a v -=，z a w -=，则分式变为
222
uv vw wu u v w ++++，且由已知有0u v w ++=．将0u v w ++=两边平方得
()22220u v w uv uw wu +++++=． 由于x 、y 、z 不全相等，所以u 、v 、w 不全为零，所以2220u v w ++≠，从而有
22212
uv vw wu u v w ++=-++， 即所求分式的值为12
-． 评注 从本题中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．
2.3.14★★已知
x y z a b b c c a
==---，求x y z ++的值． 解析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 设x y z k a b b c c a
===---，于是有 ()x a b k =-，()y b c k =-，()z c a k =-．
所以
()()()0x y z a b k b c k c a k ++=-+-+-=．
2.3.15★★已知1x y z a b c
++=，0a b c x y z ++=，求222222x y z a b c ++的值． 解析 令
x u a =，y v b =，z w c
=，于是条件变为 1u v w ++=， ① 1110u v w
++=． ② 由②有
0uv vw wu uvw
++=， 所以0uv vw wu ++=．
把①两边平方得
()22221u v w uv vw wu +++++=，
所以
2221u v w ++=， 即 222
222
1x y z a b c ++=． 2.3.16★★已知实数a 、b 、c 满足1abc =-，4a b c ++=，
22243131319
a b c a a b b c c ++=------，求222a b c ++的值．
解析 因为
()223133a a a a abc a bc a --=-+=+- ()
()()111a bc b c a b c =--+=--， 所以()()
213111a a a b c =----． 同理可得
()()
213111b b b a c =----， ()()2
13111c c c a b =----． 结合
22243131319
a b c a a b b c c ++=------可得 ()()()()()()11141111119
b c a c a b ++=------， 所以()()()()()()41111119
a b c a b c ---=-+-+-． 结合1abc =-，4a b c ++=，可得14
ab bc ac ++=-．因此， ()()22223322a b c a b c ab bc ac ++=++-++=
．
实际上，满足条件的a 、b 、c 可以分别为12-、12
、4． 2.3.17★★已知1xyzt =，求下面代数式的值：
11111111x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy
+++++++++++++++． 解析 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．
11t x xy xyz t xt xyt xyzt
=++++++ 1
t t xt xyt =+++， 同理
111tx y yz yzt tx txy t
=++++++， 111txy z zt ztx txy t tx
=++++++． 所以 原式111t tx txy t tx txy
+++==+++．
2.3.18★★若x =
4322621823815
x x x x x x --++-+的值．
解析 x ==
4=，
所以4x -=()2
43x -=，即
28130x x -+=． 原式分子()()()
4323228132162681310x x x x x x x x =-++-++-++ ()()()2222813281381310x x x x x x x x =-++-++-++10=，
原式分母()
281322x x =-++=， 所以 原式1052
=
=． 评注 本题的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化． 2.3.19★★若
a b c a b c a b c c b a
+--+-++==，求()()()a b a c b c abc +++的值． 解析1 利用比例的性质解决分式问题．
（1）若0a b c ++≠，由等比定理有 a b c a b c a b c c b a
+--+-++==
()()()
a b c a b c a b c a b c +-+-++-++=++
1=，
所以
a b c c +-=，a b c b -+=，a b c a -++=，
于是有
()()()2228a b a c b c c b a
abc abc +++⋅⋅==．
（2）若0a b c ++=，则
a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，
于是有
()()()()()()
1a b a c b c c a b
abc abc +++---==-．
评注 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解． 解析2 设参数法．令
a b c
a b c
a b c
k c b a +--+-++===，
则
()1a b k c +=+， ①
()1a c k b +=+， ②
()1b c k a +=+． ③
①+②+③有
()()()21a b c k a b c ++=+++，
所以()()10a b c k ++-=，
故有1k =或0a b c ++=．
当1k =时，
()()()222
8a b b c c a c a b
abc abc +++⋅⋅==．
当0a b c ++=时，
()()()()()()
1a b b c c a c
a b abc abc +++---==-．
评注 引进一个参数k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．
2.3.20★★一列数1a ，2a ，3a ，…满足对于任意正整数n ，都有
3
12n a a a n +++=， 求23100
111111a a a +++---的值．
解析 当2n ≥时，有
3
12n a a a n +++=，
()3
1211n a a a n -+++=-，
两式相减，得2331n a n n =-+，
所以()1
1
1111
3131n a n n n n ⎛
⎫
==- ⎪---⎝⎭，
2n =，3，…
故23100111111
a a a +++---
1111111133132323399100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。