精品解析：江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试数学试题(原卷版)

江苏省通州高级中学2020-2021学年度第一学期高三年级
第五次阶段性测试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，时，（）
A. B. C. D.
2. 设是虚数单位，若，且其对应点位于复平面的第二象限，则位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是（）
A. B.
C. D.
4. 二项式展开式中存在常数项的一个条件是（）
A. n=5
B. n=6
C. n=7
D. n=9
5. 已知数列为等比数列，则“，”是“为递减数列”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 一个盒子里装有个大小、形状完全相同的小球，其中红球个，编号分别为，，，，黄球个，编号分别为，，，从盒子中任取个小球，其中含有编号为的不同取法有（）
A.种
B.种
C.种
D.种
7. 我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆，直线，若圆上任一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（）
A. 一个离心率为的椭圆上
B. 一条离心率为的双曲线上
C. 一个离心率为的椭圆上
D. 一条离心率为的双曲线上
8. 在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 下列结论中，所有正确的结论有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 当时，
D. 若，则
10. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A. 此数列的第20项是200
B. 此数列的第19项是182
C. 此数列偶数项的通项公式为
D. 此数列的前项和为 11. 函数()cos()0,0,02⎛
⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭
f x A x A πωϕωϕ的部分图象如图所示，已知函数在区间有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为2
B. 点为函数的一个对称中心
C. 函数的图象向左平移个单位后得到的图象
D. 函数在区间上是增函数
12. 设、是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 以为直径圆面积的最小值为
C. 直线过抛物线的焦点
D. 点到直线的距离不大于
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知等差数列前项为，若，
，则_____________. 14. 已知圆与轴的负半轴交于点，若为圆上的一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________．
15. 若函数满足以下三个条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个满足上述条件的函数______.
16. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且26,22,15,5AB AD EH EF ====，平面与平面的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在△ABC 中，5:5:3,1sin 5
AD DC BD A ===，，
（1）求BC 的长度；
（2）若E 为AC 上靠近A 的四等分点，求.
18. 在①，②，③三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面问题中，并加以解答．
设等比数列的前项和为，，与满足 ．
（1）求数列通项公式；
（2）记数列，数列的前项和，求证：．
19. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，
，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．
20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为，椭圆的中心到直线的距离为. （1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点，对于椭圆上任意一点，若，求的最大值. 21. 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表
注：参考数据55551111
74.691312.76110.98040.457i i i i i i i i i i y
x y z x z ========∑∑∑∑，，，（其中z ＝lny ）． 附：样本（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）的最小二乘法估计公式为()()()12
1ˆˆˆn
i i
i n i i x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑， （1）根据表中数据判断，y ＝a +bx 与y ＝ce dx （其中e ＝2.71828…，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的结果，求y关于x的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；
（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？
22. 设函数f(x)=ax2-a-ln x，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．。