[原创精品]2021届新高三入学调研金卷 数学 (三) 教师版

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2021届新高三入学调研金卷
数学 （三）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由题意得，，
，
则，故选C ．
2．已知（为虚数单位），则复数
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】由
，得
，故选D ．
3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参
加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则
不同的派遣方案共有（ ）种． A ．24 B ．36 C ．48 D ．64 【答案】B 【解析】当按照进行分配时，则有
种不同的方案；
当按照
进行分配，则有
种不同的方案，
故共有36种不同的派遣方案，故选B ． 4．在边长为的正方形中，
为
的中点，点
在线段
上运动，则
的取值
范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设，
，
又
，C (1，1)，所以
，
， 所以，
因为，所以，
即
的取值范围是
，故选C ．
5．已知定义域为(－1，1)的奇函数又是减函数，且
，则
的取值
范围是（ ）
此
卷只
装
订不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A． B．C．D．
【答案】B
【解析】由条件得，即，∴，
故选B．
6．已知四棱锥的四条侧棱都相等，底面是边长为的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为的球面上，则与底面所成角的正弦值为（）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【解析】因为的四条侧棱都相等，底面是边长为的正方形，
则点在面内的射影落在正方形的中心，连接交于点，
设球心为，连接，则在直线上，，
由，解得，
又，所以，
所以或，
当时，，
则与底面所成角的正弦值为，
当时，，
则与底面所成角的正弦值为，即与底面所成角的正弦值为或，故选D．
7．二项式的展开式中的系数是，则（）
A．1B．C． D．
【答案】B
【解析】由题意，二项式的展开式中的通项公式，
令，解得，
所以含项的系数为，解得，故选B．
8．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（）》于年月日正式实施．车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，
喝瓶啤酒的情况且图表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（）个小时才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：，）
阀值
，
车辆驾车人员血液酒精含量阀值
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由图知，当时，函数
取得最大值，此时
；
当时，，当车辆驾驶人员血液中酒精小于
时可以开车，
此时．
由
，得
，两边取自然对数得
，
即，解得，
所以，喝啤酒需个小时候才可以合法驾车，故选B ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点F 重合，则（ ）
A ．双曲线的实轴长为2
B ．双曲线的离心率为3
C ．双曲线的渐近线方程为
D ．F 到渐近线的距离为
【答案】CD 【解析】抛物线的焦点
，故
，
，
故双曲线方程为
，双曲线的实轴长为
，A 错误；
双曲线的离心率为，B 错误；
双曲线的渐近线方程为，C 正确；
F 到渐近线的距离为，D 正确，
故选CD ． 10．已知函数（其中
，
，
的部分图象，则下列结论正
确的是（ ）
A ．函数
的图象关于直线
对称
B ．函数
的图象关于点
对称
C ．函数
在区间
上单调增
D ．函数
与
的图象的所有交点的横坐标之和为
【答案】BCD 【解析】由函数
（其中
，
，
）的图像可得
，
，
因此
，
，
所以，过点，
因此，
又，所以，，
当时，，故A错；
当时，，故B正确；
当，，所以在上单调递增，故C 正确；
当时，，
所以与函数有的交点的横坐标为，
，故D正确，
故选BCD．
11．已知，，且，则（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确，
故选ABD．
12．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（）
A．该地水稻的平均株高为100 cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
【答案】AC
【解析】，故，，故A正确，B错误；
，故C正确；
根据正态分布的对称性知：，故D错误，
故选AC．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设为坐标原点，抛物线的准线为，焦点为，过且斜率为的直线与抛物
线交于两点，且，若直线与相交与，则_________．
【答案】
【解析】过且斜率为的直线方程为，
与抛物线联立得．
，，
则直线方程为，与的交点，
因此，故答案为．
14．任意实数a，b，定义，设函数，正项数列是公比大
于0的等比数列，且，，则
______．
【答案】
【解析】由题意，
因为时，；
时，，
所以时，恒成立，
因为正项数列是公比大于0的等比数列，且，
所以，所以，
又，，
所以，
当时，，所以，此时无解；
当时，，所以，解得，
故答案为．
15．已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥
的体积最大值是______．
【答案】2
【解析】因为球的直径，且，
所以，，
（其中为点到底面的距离），
故当最大时，的体积最大，
即当面面时，最大且满足，
即，此时．
16．如图，、是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，是这两个圆的公共点，则圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意得在线段中垂线上，所以到直线上的距离取值范围为，
因此圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是，
故答案为．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为．
（1）求的值；
（2）若，，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由的面积为且为的中点可知：的面积为，
由三角形的面积公式可知，
由正弦定理可得，所以．
（2）因为，所以在中，由正弦定理可得，
所以，
由（1）可知，所以，，
∵，∴，
在直角中，，，所以，，
∵，，在中用余弦定理，可得，
．
18．（12分）已知函数（k为常数，且）．
（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由．
①数列是首项为2，公比为2的等比数列；
②数列是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和．
【答案】（1）②，理由见解析；（2）．
【解析】（1）①③不能使成等比数列，②可以．
由题意，
即，得，且，．
常数且，为非零常数，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，所以当时，，
因为，所以，
所以，
．
19．（12分）某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．
（1）求
的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有
的把握认为消费
金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄
进一步分析，发现他们线性相关，得到回归
方程
．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的
平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）
列联表
消费金额
消费金额
临界值表：
，其中
．
【答案】（1）
，
；（2）列联表见解析，有
的把握认为；（3）395元．
【解析】（1）由频率分布直方图可知，，
由中间三组的人数成等差数列可知
，
可解得，．
（2）周平均消费不低于300元的频率为
，
因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人．
所以
列联表为
消费金额
消费金额
，
所以有
的把握认为消费金额与性别有关．
（3）调查对象的周平均消费为，
由题意
，∴，
．
∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元． 20．（12分）如图，在三棱柱中，
平面
，
为
的中点，
交
于点
，
，
．
（1）证明：平面；
（2）若
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】证明：（1）因为为三棱柱，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
又因为平面，所以．
又因为，，平面，
所以平面．
由题知：四边形为矩形，又因交于点，所以为的中点，
又因为为的中点，所以为的中位线，所以，
所以平面．
（2）由（1）知：两两互相垂直，所以以为坐标原点，分别以
为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
则，，，，，，
所以，，
因为，所以，所以，解得，所以，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，所以，不妨令，则；
设平面的法向量为，则，所以，
不妨令，则，
所以，
因为平面与平面所成的角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
21．（12分）设函数．
（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题知当时，不等式恒成立，
因为，故必有在上恒成立．
此时，该不等式等价于，
令，则，
故与同号．
因，
当时，在递减，显然不符合，
故必；
当时，即时，在上恒成立，
即在递增，满足，
故．
（2）等价于不等式，
两边取对数得，
即证明恒成立．
由（1）知当，时有恒成立．
故令，，
即得恒成立，
即成立．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知可得，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）因为椭圆C的方程为，所以，，设，则，即．
则直线BM的方程为，令，得；
同理：直线AM的方程为，令，得，所以
，
即四边形ABCD的面积为定值2．。