(全国通用)高考数学一轮复习第八章解析几何第七节抛物线习题理【含答案】

第七节抛物线
[基础达标]
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.在同一坐标系下,下列曲线中,右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是()
A. =1
B. =1
C. =1
D. =1
1.D【解析】因为抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),而A中椭圆的半焦距
c=,B中椭圆的半焦距c==2,C中双曲线的半焦距
c=,D中双曲线的半焦距c==1,且焦点在x轴上,满足题意.
2C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线
C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.A【解析】∵x2=2y,∴y'=x,∵抛物线C在点B处的切线斜率为1,∴B,∵x2=2y的
焦点F,准线方程为y=-,∴直线l的方程为y=,∴|AF|=1.
3.抛物线y2=-12x的准线与双曲线=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于()
A.3
B.
C.6
D.6
3.A【解析】抛物线y2=-12x的准线x=3与双曲线=1的两条渐近线y=±x所围
成的三角形的面积等于×2×3=3.
4y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为()
A.B.2 C. +1 D. -1
4.C【解析】由题意可得=a2+b2,且在双曲线上,则=1,即
=1, =1,化简得b2=2ac,则
c2-2ac-a2=0,e2-2e-1=0,e>1,解得e=+1.
5y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)有相
同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,若l为双曲线的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是()
A.B.C.D.
5.D【解析】∵|AF|==p,c=,∴=2c,又c>b,∴tan θ=>2,∴l的倾斜角所在的区间可能是.
6,设抛物线C:y2=4x的焦点为F,A,B是C上两点,且AF⊥FB,弦AB的中点M在C的准线上的射影为M',则的最小值为()
A.B.C.D.
6.C【解析】如图所示,设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BP,由抛物线定义得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中根据中位线定理,得
2|MM'|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,又∵
ab≤,∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2× (a+b)2,得|AB|≥ (a+b),∴
,即的最小值为.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7y2=4x上的两点A,B到焦点的距离之和为6,则线段AB的中点到y轴的距离为.
7.2【解析】由|AF|+|BF|=x A+x B+p=x A+x B+2=6,得x A+x B=4,则AB的中点横坐标为=2,
即线段AB的中点到y轴的距离是2.
8F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,
当|AB|=6时,以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是.
8.2【解析】过A,B两点和AB的中点D分别向抛物线的准线作垂线,由抛物线定义和
梯形中位线知识可得圆心D到y轴的距离d=2,又圆的半径为3,所以以AB为直径的圆与y
轴相交所得弦长是2=2.
9.若抛物线C1:y2=4x与抛物线C2:x2=2py(p>0)异于原点O的交点A到抛物线C1的焦点的距离为3,则抛物线C2的方程为.
9.x2=y 【解析】由点A到抛物线C1的焦点的距离为3,得x A+1=3,解得A点坐标为(2,2),代入x2=2py(p>0),得p=,所以抛物线C2的方程为x2=y.
10F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=2,则弦AB的中点到准线的距离为.
10.【解析】设||=2m,| |=m,m>0,由已知可得x A=2m-1,x B=m-1,则=2,解得m=.由梯形中位线得弦AB的中点到准线的距离为.
三、解答题(共10分)
11.(10分)如图,直线l与抛物线y2=x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,且
y1y2=-1.
(1)求证:M点的坐标为(1,0);
(2)求证:OA⊥OB;
(3)求△AOB的面积的最小值.
11.【解析】(1)设M点的坐标为(x0,0),直线l的方程为x=my+x0,代入y2=x得y2-my-x0=0,①∵y1,y2是此方程的两根,∴y1y2=-x0,
∴x0=-y1y2=1,即M点的坐标为(1,0).
(2)∵y1y2=-1,∴x1x2+y1y2=+y2y2=y1y2(y1y2+1)=0,
∴OA⊥OB.
(3)由方程①得y1+y2=m,y1y2=-1,且|OM|=x0=1,于是
S△AOB=|OM||y1-y2|=≥1,
∴当m=0时,△AOB的面积取最小值1.
[高考冲关]
1.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在y轴上,若线段FA的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点A的坐标为()
A.(0,±2)
B.(0,2)
C.(0,±4)
D.(0,4)
1.A【解析】由题意可得x B=,又点B到抛物线准线的距离为,所以,解得p=,抛物线方程为y2=2x,又因为x B=,所以y B=±1,y A=±2,故A(0,±2).
2.(5分C的左、右焦点分别为F1,F2,且F2恰为抛物线
y2=4x的焦点,设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则双曲线C的离心率为()
A.B.1+C.1+D.2+
2.B【解析】不妨设点A在第一象限,由F2恰为抛物线y2=4x的焦点,得双曲线的c=1,又
△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则|AF2|=|F1F2|=2,点A也在抛物线上,由抛物线的定义可得A(1,2),F1(-1,0),则|AF1|=2,由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a=2-2,解得
a=-1,所以离心率e==1+.
3.(5分C1: =1(a>0,b>0)的左焦点F1作曲线
C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长F1M交曲线C3:y2=2px(p>0)于点N,其中C1,C3有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则曲线C1的离心率为()
A.B. -1 C. +1 D.
3.D【解析】设双曲线的右焦点为F2,则F2的坐标为(c,0).因为曲线C1与C3有一个共同的焦点,所以y2=4cx,因为O为F1F2的中点,M为F1N的中点,所以OM为△NF1F2的中位线,所以OM ∥NF2,因为|OM|=a,所以|NF2|=2a,又NF2⊥NF1,|F1F2|=2c所以|NF1|=2b.设N(x,y),则由抛物线的定义可得x+c=2a,则x=2a-c,过点F1作x轴的垂线,点N到该垂线的距离为2a,由勾股定理y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2),得e2-e-1=0,解得e= (负值已舍).
4.(5分A,B为抛物线C:y2=4x上的两个动点,且A,B位于x轴异侧,若=5,同时抛物线C的焦点F到直线AB的距离为2,则△AOB的面积为.
4.20【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=,x2=,直线AB的斜率
k AB==x1x2+y1y2= (y1y2)2+y1y2=5,由A,B位于x轴异侧,得
y1y2=-20(舍去正数4),则直线AB的方程为y-y1= (x-x1),化简得y= (x-5),则直线AB恒过点(5,0),又由抛物线C的焦点F(1,0)到直线AB的距离为2,得AB的倾斜角为30°或150°,不妨设为30°,则,得y1+y2=4,则
|y1-y2|==8,所以△AOB的面积为
×5×8=20.
5.(10分)已知点P为抛物线y2=4x上的动点,点Q在y轴上,且PQ⊥y轴,A(2,a),求PQ+PA 的最小值.
5.【解析】点A(2,a)可能在抛物线内部,也可能在抛物线的外部,所以要讨论.
①当|a|≤2时,点A(2,a)在抛物线内部,直接过点A向y轴作垂线,与抛物线的交点即为PQ+PA最小时的点P,此时(PQ+PA)min=2;
②当|a|>2时,点A(2,a)在抛物线外部,由抛物线的定义知PQ=PF-1,得PQ+PA=PF+PA-1,则A,P,F三点共线时,PQ+PA取得最小值,即(PQ+PA)min=|AF|-1=-1.
6.(10分C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.
(1)求C的方程.
(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标. 6.【解析】(1)当点A的横坐标为3时,过点A作AG⊥x轴于点G,
∴A(3,),F,|AF|=3+.
当点D在焦点F的右侧时,如图所示.
∴|FD|=|AF|=3+.
∵△ADF为正三角形,
∴|FG|=|FD|=.
又∵|FG|=|OG|-|OF|=3-,
∴3-,∴p=2.∴C的方程为y2=4x.
当点D在焦点F的左侧时,|FD|=|AF|=3+,
此时点D在x轴负半轴,不成立,应舍去.
∴C的方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),|FD|=|AF|=x1+1,
∴D(x1+2,0),∴k AB=-.
由直线l1∥l,可设直线l1的方程为y=-x+m,
联立方程消去x得y1y2+8y-8m=0. ①
由l1和C有且只有一个公共点,得Δ=64+32y1m=0,∴y1m=-2,这时方程①的解为y=2m,
代入y=-x+m得x=m2,∴E(m2,2m).
点A的坐标可化为,直线AE方程为y-2m= (x-m2),即y-2m= (x-m2),
∴y=x-+2m,
∴y=x-,∴y= (x-1),
∴直线AE过定点(1,0).。