高二数学上学期期中考试试卷 理 北师大版【会员独享】

丰城中学2010～2011学年上学期高二期中考试数学试题（理科）
2010.11
满分：150分，考试时间：120分钟
命题：高三数学组 徐爱仁 审题：高三数学组 张菊华
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤则p ⌝是（ C ）
A ．,sin 1x R x ∃∈≥
B ．,sin 1x R x ∀∈≥
C ．,sin 1x R x ∃∈>
D ．,sin 1x R x ∀∈>
2．下列不等式中，对任意x ∈R 都成立的是( D ) A ．
2111x <+ B ．x 2+1>2x C ．lg(x 2
+1)≥lg2x D ．x x +2
44
≤1 3.已知,a b 是平面α内的两个非零向量，c 是直线l 的方向向量，那么“0,0c a c b ⋅=⋅=且” 是“l α⊥”的什么条件（ B ）
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
4．设原命题：若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是
（ A ）
A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题
5．在等比数列11
29
119753,243,}{a a a a a a a a n 则
若中=的值为 （ D ） A ．9 B ．1 C ．2 D ．3
6．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是A ．
32
B ． 1
C ． 4
D ． 2
3 7.已知123F i j k
=++，223F i j k =-+-，3345F i j k =-+，其中,,i j k 为单位
正交基底，若1F ，2F ，3F 共同作用在一个物体上，使物体从点1M (1, －2, 1)移到2M (3, 1, 2)，则这三个合力所作的功为( A )
A.14
B.
C. -14
D. -8．两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则
15
7202b b a a ++等于( D ) A.
49 B. 837 C. 1479 D. 24
149
9．如果不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<，那么函数()y f x =-的图 象大致是（ C ）
10．若12120,0,a a b b <<<<且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ A ）
A ．1122a b a b +
B ．1212a a bb +
C ．1221a b a b +
D ．
1
2
11．设S 是ABC ∆的面积，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin ()sin S A BA BC B <⋅，则
( A )
A ．ABC ∆是钝角三角形
B ．AB
C ∆是锐角三角形 C ．ABC ∆可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形
D ．无法判断
12．在ABC ∆中，已知9=⋅，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的
一点，且x
CP =|
||
|CB y CA +y
x 1
1+的最小值为( C ) A ．
67 B ．127 C ．3
3127+ D ．3367+ 二、填空题：本大题共4小题，共16分，请把答案填在答题卷对应题号的横线上。

13．不等式
1
-x ax ＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2},那么a 的值为__________. 21
14．已知23a b +=，则b
a 42+的最小值是 ． 24
15.已知在四面体P -ABC 中，3
PAB BAC PAC π
∠=∠=∠=，1,2,3AB AC AP ===，
则AB AP AC ++= ．5
16．（非奥赛班学生做）设数列{}
n a 中，,1,211++==+n a a a n n 则
=n a ____________2
2
2++n n
16．（奥赛班学生做）正数数列{}n a 的前
n 项和为n S ，且1
4
n n n S a =
，则通项n a = 。

1
1tan 22n n n a π+=
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知0,1a a >≠，命题:P 函数log (1)a y x =+在(0,)+∞上单调递
减，命题:q 曲线y =2
(23)1x a x +-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为
真命题，求实数a 的取值范围。

解：51
01;022
p a q a a <<><<为真：
为真：或 …………4分 （1）当p 真q 假01
151
1222a a a <<⎧⎪
⎨≤≤⇒≤<⎪⎩ …………8分 （1）当p 假q 真11550222
a a a a >⎧⎪
⎨<<>⇒>⎪⎩或 …………11分
综上，a 的取值范围是1
5[,1)(,)22
⋃+∞ …………12分 18
、（本小题满分12分）在ABC ∆中，AB =，1BC =，3cos 4
C =. （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）求⋅的值.
解：（1）在ABC ∆中，由3cos 4C =，得sin 4
C =， …2分 又由正弦定理
sin sin AB BC
C A
=
得：sin 8
A =
…6分 （2）由余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅得：2
32124
b b =+-⨯
， 即23102b b -
-=，解得2b =或1
2
b =-（舍去），所以2AC =. 所以，⋅cos ,cos()BC CA BC CA BC CA C π=⋅⋅<>=⋅⋅-
33
12()42
=⨯⨯-=-. 即23-=⋅CA BC . …12分
19．（本小题满分12分）
如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面
,2,ABCD PA AD BD ===
（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角P —CD —B 的大小； （3）求点C 到平面PBD 的距离．
方法一：证：(Ⅰ)在Rt △BAD 中，AD=2， ∴AB=2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC ． ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊥平面ABCD ，∴BD ⊥PA ． 又∵PA ⊥AC=A ∴BD 上平面PAC ．……(4分)
解：(Ⅱ)由PA ⊥面ABCD ，知AD 为PD 在平面ABCD 的射影，又CD ⊥AD ， ∵CD ⊥PD ，知么∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角． 又∵PA=AD ，∴PDA=45° ……………(8分)
(Ⅲ) ∵ PA=AB=AD=2，∴
设C 到面PBD 的距离为d ， 由11
,PA=d,P BCD C PBD BCD PBD V V S S --=有
33
1111·222sin 60d 3232
⨯⨯⨯
=︒2即（22）， d =得……………(12分)
方法二：
证：(I)建立如图所示的直角坐标系， 则A(0，0，0)、D(0，2，0)
、P(0，0，2)． 在Rt △BAD 中，AD=2， ∴AB=2．∴B(2，0，0)、C(2，2，0)， ∴AP =(0，0，2)， AC =(2，2，0)，
BD =(一2，2，0)
∵0,0,BD AP BD AC ⋅=⋅=
BD AP BD AC AP AC=A BD PAC ⊥⊥⋂∴⊥即，，又，平面……………4分
解：(II)由(I)得PD =(0，2，-2)，CD =(-2，0，0)． 设平面PCD 的法向量为111(,,),0,0,n x y z n PD n CD =⋅==则
02200
,2000y x x x y z
+-==⎧⎧⎨⎨
-++==⎩⎩即故平面PCD 的法向量可取为1n =(0，1，1)． ,PA ABCD AP ⊥∴平面=(0，0，1)为平面ABCD 的法向量．
设二面角P —CD —B 的大小为
112
|
|45.....82||||
n AP n AP θθθ==∴=︒，依题意可得cos 分
(Ⅲ)由(I)得PB =(2，0，-2)，PD =(0，2，-2)，设平面PBD 的法向量为2n =(z ，y ，z)，
则120,0,,,n PB n PD x y z ⎧==∴==⎨
⎩2x+0-2x=0
即0+2y-2x=0
故平面PBD 的法向量可取为2(1,1,1)n =.
2223
(2,2,2),||
n PC PC C PBD d n =-∴=
=到面的距离为……12分 20、（本小题满分12分）某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2
，拟分割成两类房间作为旅游
客房，大房间每间面积为18m 2
，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积
为15m 2
，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元。

如果他只能筹款8000元用于装修，且假定游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
20、解：设分割大房间为x 间，小房间为y 间，收益为z 元 根据题意得：
⎪⎩⎪⎨⎧∈≤+≤+N y x y x y x ,800060010001801518⎪⎩
⎪
⎨⎧∈≤+≤+⇒N y x y x y x ,40356056 求：y x z 150200+=的最大值。

作出约束条件表示的平面区域 把目标函数y x z 150200+=化为150
34z x y +-= 平移直线，直线越往上移，z 越大， 所以当直线经过M 点时，z 的值最大，
解方程组⎩⎨⎧=+=+40
356056y x y x 得)760
,720(M ，
因为最优解应该是整数解，通过调整得，当直线过)8,3('M 和)12,0(''M 时z 最大
所以当大房间为3间，小房间为8间或大房间为0间，小房间为12间时，可获最大的收益为
1800元。

第19题
第20题
21、（本小题满分12分）已知)(2
2)(2R x x a x x f ∈+-=
，A ＝[－1，1]，设关于x 的方程
x x f 1
)(=的两根为x 1,x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2
＋tm ＋1≥21x x -对任意A a ∈及
∈t [－1，1]恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由
解：由
x
x a x 1
222
=+-得x 2－ax －2＝0. 这时∆＝a 2＋8>0. 由于x 1,x 2是方程x 2
－ax －2＝0的两实根，所以⎩⎨⎧-==+.
2,
2121x x a x x
从而.84)(22122121+=-+=
-a x x x x x x
因为－1≤a ≤1，所以38221≤+=
-a x x .
（5分）
不等式m 2
＋tm ＋1≥21x x -对任意A a ∈及∈t [－1，1]恒成立. 当且仅当m 2
＋tm ＋1≥3对任意∈t [－1，1]恒成立.
即m 2
＋tm －2≥0对任意∈t [－1，1]恒成立.
（8分） 设g(t)＝m 2＋tm －2＝tm ＋m 2
－2，
（*）
（方法1）g(t)≥0对任意∈t [－1，1]恒成立，故⎩⎨
⎧≥-≥,
0)1(,
0)1(g g
即⎪⎩⎪⎨⎧-≥-+-≥-+.
22,022
2
m m m m 解得m ≥2或m ≤－2. 所以),2[]2,(+∞⋃--∞∈m 时，
不等式m 2
＋tm ＋1≥21x x -对任意A a ∈及∈t [－1，1]恒成立. （12分）
（方法2）当m ＝0时，m 2
＋tm －2＝－2，(*)式不成立. 当m ≠0时，g(t)≥0对任意∈t [－1，1]恒成立.
⎩⎨
⎧≥<⎩⎨⎧≥->.
0)1(,
00)1(,0g m g m 或
解得m ≥2或m ≤－2. 以下同方法1（略）. （12分）
22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，12a =，对于任意的*,p q N ∈，有p q p q a a a +=+ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足：1
*3124234(1)()21212121
21
n n
n n
b b b b b
a n N -=
-+-++-∈+++++求数列{}n b 的通项公式；
（3）设*3()n n n C b n N λ=+∈，是否存在实数λ，当*n N ∈时，1n n C C +>恒成立，若存在，
求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由.
解:（1）取p ＝n ，q ＝1，则112n n n a a a a +=+=+
∴12n n a a +-=（*n N ∈）
∴{}n a 是公差为2，首项为2的等差数列
∴2n a n = …………………………………………（4分）
（2）∵131241234(1)(1)2121212121
n n n n b b b b b
a n --+-++-=+++++≥ ①
∴21121121(1)(2)212121
n n n n b b b
a n -----++-=+++≥ ② ①－②得：1(1)2(2)21
n n n b
n --=+≥
11(1)(22)(2)n n n b n -+=-+≥
当1n =时，113b
a = ∴16
b =满足上式
∴11
*(1)(22)()n n n b n N -+=-+∈ ……………………………（9分） （3）113(1)(22)n n n n C λ-+=+-+⋅
假设存在λ，使*1()n n C C n N +>∈
12113(1)(22)3(1)(22)n n n n n n λλ++-++-+⋅>+-+⋅
2111[(1)(22)(1)(22)]3323n n n n n n n λ+-++-+--+⋅>-=-⋅
1(1)(324)23n n n λ+-⋅+⋅>-⋅
当n 为正偶函数时，1(324)23n n λ+⋅+>-⋅恒成立 max
max 31
()()3223()2()33n n n n λ>-=-⋅+⋅+⋅ 当2n =时max 19
()21143()2()33
n n -
=-⋅+ ∴9
14
λ>-
当n 为正奇数时，1(324)23n n λ+-⋅+⋅>-⋅恒成立
∴min
min 31
()()213223()2()33
n n n n λ<=⋅+⋅+ 当1n =时min 13
[
]2183()2()33n n =+ ∴3
8
λ<
综上，存在实数λ，且93
(,)148
λ∈- ……………………………………（14分）
18、(本题满分12分)
在等比数列｛a n ｝中，a n ＞0 (n ∈N ＊
），公比q ∈(0,1)，且a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25， a 3与a s 的等比中项为2。

（1)求数列｛a n ｝的通项公式；
(2)设b n ＝log 2 a n ，数列｛b n ｝的前n 项和为S n 当
12
12n S S S n
++∙∙∙+最大时，求n 的值。

解：（1）因为a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，所以，23a + 2a 3a 5 +2
5a ＝25
又a n ＞o ，…a 3＋a 5＝5，…………………………2分 又a 3与a 5的等比中项为2，所以，a 3a 5＝4
而q ∈（0,1），所以，a 3＞a 5，所以，a 3＝4，a 5＝1，1
2
q =
，a 1＝16，所以， 1
511622n n n a --⎛⎫
=⨯= ⎪
⎝⎭
…………………………6分
（2）b n ＝log 2 a n ＝5－n ，所以，b n ＋1－b n ＝－1， 所以，{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列。

9分
所以，(9),2n n n S -=92
n S n
n -= 所以，当n ≤8时，n S n ＞0，当n ＝9时，n S n ＝0，n ＞9时，n S
n
＜0，
当n ＝8或9时，1212n S S S
n
++∙∙∙+最大。

…………………………12分
9、如果点P 在平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线：x 2＋(y ＋2)2
＝1上，那么PQ 的最
小值为 ；5－1
16．在三棱锥P —ABC 中，三侧棱两两垂直，且2,PB PC PA PO ==垂直于面ABC ，O 是垂足，如果设,,PA a PB b PC c ===，请用a 、b 、c 表示PO = 。

211366
a b c ++。