(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测题(有答案解析)(2)

一、选择题 1．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,1
0 ,?2z i
i i +=-的复数 z 对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）
A ．3
B ．3i -
C ．3i
D ．3-
3．已知复平面内的圆M ：21z -=，若1
1p p -+为纯虚数，则与复数p 对应的点P （
）
A ．必在圆M 外
B ．必在M 上
C ．必在圆M 内
D ．不能确定 4．下面是关于复数2
1i z =-的四个命题，其中的真命题为（ ）
1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.
A ．2p ,3p
B ．13,p p
C ．24,p p
D ．34,p p 5．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2- C ．(),2-∞- D ．()2,0-
6．如图所示，在复平面内，OP 对应的复数是1－i ，将OP 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )
A ．1－i
B ．1－2i
C ．－1－i
D ．－i
7．若2131ai
i i +=--+，a R ∈，则a =（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．3
D ．4
8．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ）
A ．2
B ．1
C ．0或1
D ．-1
9．若复数()()12i 2i z =-+(其中i 为虚数单位)在复平面中对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 10．设12i
1i z -=+，则z =
A ．1322i -
B ．1
3
22i + C ．13
22i -- D ．1
3
22i -+
11．设复数3422i i z +-=, 则复数z 的共轭复数是（ ） A ．5-2i B ．52
i + C ．5-2i + D ．5--2i 12．已知复数()()
211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ） A ．2- B ．-1
C ．0
D ．2 二、填空题
13．若复数z 满足24z z i +=-（i 为虚数单位），则z 的最小值为__________．
14．若复数 1 sin i z cos i
θθ-=（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为__________. 15．若复数z 满足22zi i i
=-+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 16．已知复数z x yi =+，且23z -=，则
y x 的最大值为__________． 17．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．
18．已知()21,1x yi x y R i
+=∈-，则x y +=__________． 19．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．
20．设复数()21z i =-（i 是虚数单位），则z 的模为__________．
三、解答题
21．设z 为关于x 的方程20x mx n ++=（,m n ∈R ）的虚根，i 为虚数单位.
（1）当1i z =-+时，求m 、n 的值；
（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求||PQ 的取值范围.
22．已知复数()0,z a i a a R =+>∈，i 为虚数单位，且复数2z z
+
为实数． （1）求复数z ；
（2）在复平面内，若复数()2m z +对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 23．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且()·3z i +为纯虚数（z 是z 的共轭复数）.
（1）设复数121m i z i
+=-，求1z ；
（2）设复数2017
2a i z z
-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围. 24．已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a R =-∈（其中i 是虚数单位），若
121z z ->，求a 的取值范围．
25．已知()1243i z i +=+，求复数z .
26．已知复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，且满足z =整数，记i 为虚数单位.
（Ⅰ）求复数z ；
（Ⅱ）当z i +为实数时，若()
24z z m ni +-=+，求实数 m 和n 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i +=--+=-，即
()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22
i z =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
在第二象限，故选B. 2．D
解析：D
【分析】
首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.
【详解】 由题意可得：()()()()
362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.
本题选择D 选项.
【点睛】
复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的
过程．
3．A
解析：A
【分析】
设复数,(,)p x yi x y R =+∈,再利用11
p p -+为纯虚数求出p 对应的点的轨迹方程,再与圆M ：21z -=比较即可.
【详解】
由题,复平面内圆M ：21z -=对应的圆是以(2,0)为圆心,1为半径的圆. 若11p p -+为纯虚数,则设,(,)p x yi x y R =+∈,则因为11
p p -+为纯虚数,可设11p ai p -=+,(,0)a R a ∈≠.故()()11111
ai x yi x y ai x ai i x yi x y ay i -=⇒-+++=++-++= 故()11x ay y x a -=-⎧⎨=+⎩
,因为0a ≠,故1x ≠.当0y =有1x =-.当0y ≠时,两式相除有 ()111x a y x x ay y
++==---,化简得221x y +=. 故复数p 对应的点P 的轨迹是22
1,(1)x y x +=≠-. 则22
1,(1)x y x +=≠所有的点都在(2,0)为圆心,1为半径的圆M 外.
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型. 4．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．
【详解】
∵z ()()()
212111i i i i +===--+1+i ， ∴
1p ：|z |=
2p ：z 2＝2i ，
3p ：z 的共轭复数为1-i ，
4p ：z 的虚部为1，
∴真命题为p 2，p 3．
故选A ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．
5．C
解析：C
【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可.
【详解】
()
22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限， 2
4040m m ->⎧∴->⎨⎩
，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．
【点睛】
本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()
a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．
6．D
解析：D
【分析】
要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000
OP OO O P =+，从而可求P 0对应的复数
【详解】
因为00O P OP =，0OO 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数，
即0OP 对应的复数是
()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．
7．A
解析：A
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21ai i
++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可. 详解：因为()()()()
2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i
2a a ++-=13i =--， 所以212232
a a +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩， 解得4a =-，故选A.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
8．B
解析：B
【解析】
分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，
200
a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B.
点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.
9．D
解析：D
【解析】
分析：利用复数的出发计算得到z ，即可得到结论.
详解：()()12i 2i 24243,z i i i =-+=+-+=-
故z 在复平面中对应的点位于第四象限.
故选D.
点睛：本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，是基础题.
10．D
解析：D
【解析】
分析：利用复数的除法运算计算z ，进而得到z .
详解：()()()()
12i 1i 12i 1313.1i 1i 1i 222i i z -⋅----====--++⋅- 13 .22
z i ∴=-+ 故选D.
点睛：本题考查复数的除法运算及共轭复数，属基础题.
11．B
解析：B
【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i i i z i +--=
==-， 则其共轭复数为：52z i =
+. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．A
解析：A
【解析】
分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.
详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i i
i i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，
据此可得：2a b +=-.
本题选择A 选项. 点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13．【分析】由复数的几何意义可得满足题意的复数对应的点P 到复数-2和4对应点A(-20)B(04)距离相等即轨迹为线段AB 的垂直平分线则的最小值即可转化为原点垂直平分线的距离求解【详解】如图所示设复数-
【分析】
由复数的几何意义可得满足题意的复数z 对应的点P 到复数-2和4i 对应点A(-2,0),B(0,4)距
离相等即轨迹为线段AB 的垂直平分线,则z 的最小值即可转化为原点垂直平分线的距离求解.
【详解】
如图所示,设复数z ,-2,4i 对应的点分别为P (),x y ,A(-2,0),B(0,4),
由题意24z z i +=-得PA PB =即点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线l ,由平面几何
知识可求得垂直平分线l 的方程为:
230x y +-=,且由22z x y =+所以z 的最小值即为原点O 到直线l 的距离,则由003
14d OP +-==+35, z 35. 故答案为:35
【点睛】 本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题. 14．【分析】用行列式的公式化简复数代入复数模的公式利用降次公式和辅助角公式合并后利用三角函数的性质求得模的最大值【详解】故填【点睛】本小题考查行列式的计算考查复数模的运算公式考查三角函数降次公式以及辅助 解析：
512
【分析】
用行列式的公式化简复数z ，代入复数模的公式，利用降次公式和辅助角公式合并后，利用三角函数的性质求得z 模的最大值.
【详解】 ()sin cos 1z i i θθ=⋅-⋅- ()cos sin cos i θθθ=+-⋅，
()2
2cos sin cos z θθθ∴=+-22sin 2cos 2sin cos θθθθ=+-1cos21cos22sin222θθθ-+=++31sin2cos222θθ=++ ()35sin 222θϕ=++
3551222+≤+=,故填51.2+ 【点睛】
本小题考查行列式的计算，考查复数模的运算公式，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，还考查了三角函数的最大值.属于中档题.三角函数的降次公式包括
21cos2cos 2x x +=
，21cos2sin 2
x x -=，这两个公式有点类似，记忆的时候不要记忆错误了. 15．【解析】由题意得考点：复数的运算
解析：5i -
【解析】
由题意，得
.
考点：复数的运算. 16．【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：【点睛】 解析：
【分析】
根据复数z 的几何意义以及
y x 的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】
复数z x yi =+且23z -=，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆22(2)3x y -+=.y x
的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率
由图可知：max y x ⎛⎫==
⎪⎝⎭ 即y x
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.
17．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生
解析：38
【解析】
分析：把23i -代入方程得2
2(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.
详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，
所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，
所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=， 所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩
所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且. 18．【解析】分析：先化简复数代数形式再根据复数相等求即得结果详解：因为所以点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：2-.
【解析】
分析：先化简复数代数形式，再根据复数相等求x y ，，即得结果. 详解：因为
211x yi i
+=-， 所以
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b
(,)a b 、共轭为.-a bi
19．2【解析】分析：先化z 为代数形式再根据纯虚数概念得a 最后根据复数模的定义求结果详解：因为z=(a+i)2=a2-1+2ai 是纯虚数所以a2-1=02a≠0∴a=±1所
以|z|=(a2+1)2=a2+
解析：2
【解析】
分析：先化z 为代数形式，再根据纯虚数概念得a ，最后根据复数模的定义求结果. 详解：因为是纯虚数，所以， 所以 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 20．2【解析】分析：计算可得进而得到的模详解：即答案为2点睛：本题考查复数的运算及复数的模属基础题
解析：2
【解析】
分析：计算可得z ，进而得到z 的模
详解：()2
12,2z i i z =-=-∴=. 即答案为2.
点睛：本题考查复数的运算及复数的模，属基础题.
三、解答题
21．（1）2m n ==；（2）51,251].
【分析】
（1）将1i z =-+代入方程，,m n ∈R ，利用复数相等，得出关于,m n 的方程组，即可求解；
（2）设(,)z a bi a b R =+∈代入方程210x mx ++=方程，求出复数z 所对应的点(,)P a b 的轨迹，根据∆<0，求出m 范围，利用几何法，即可求出结论.
【详解】
（1）1i z =-+为方程20x mx n ++=（,m n ∈R ）的虚根，
2(1)(1)(2)0i m i n m n m i -++-++=-++-=，
解得2m n ==；
（2）设(,z a bi a b R =+∈且0)b ≠是210x mx ++=的虚根，
240,22m m ∆=-<∴-<<，
2()()10a bi m a bi ++++=，
221(2)0a b ma ab mb -++++=，
2
22240,,,124
m m b a b a b -≠∴=-=+=，
复数z 所对应的点P 在单位圆上（去掉(1,0)±，
复数24i +所对应的点为||(2,4),Q OQ ==，
所以||PQ 的范围为1].
故答案为:1].
【点睛】
本题考查复数相等求参数及轨迹方程，以及复数几何意义，考查用几何法求定点到圆上点的距离，属于中档题.
22．（1）1i +；（2）()0,∞+.
【分析】
（1）将z a i =+代入2z z
+
，利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，由复数的虚部为零求出实数a 的值，可得出复数z ； （2）将复数z 代入复数()2
m z +，并利用复数的乘方法则将该复数表示为一般形式，由题意得出实部与虚部均为正数，于此列不等式组解出实数m 的取值范围.
【详解】
（1）()0z a i a =+>，
()()()2222221a i a i z a i a i a i z a i a i a i a --∴+
=++=++=++++-+2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
， 由于复数2z z +为实数，所以22101
a -=+，0a >，解得1a =，因此，1z i =+； （2）由题意()()()()()
()2222
11121221m z m i m m i m m m i +=++=+-++=+++， 由于复数()2m z +对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得0m >. 因此，实数m 的取值范围是()0,∞+.
【点睛】
本题考查复数的基本概念，以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，并利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
23．（I ；（Ⅱ）133a -<<. 【详解】
分析：根据复数的概念及其分类，求解13z i =-．
（1）求得15122z i =--，再根据复数的模的计算公式，即可求解1z ； （2）由（1）可求得2(3)(31)10
a a i z ++-=
，根据复数2z 对应的点位于第一象限，列出方程组，即可求解实数a 的取值范围．
详解：∵z=1+mi ，∴． ∴*(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i +=-+=++-
又∵
为纯虚数， ∴，解得m=﹣3．
∴z=1﹣3i ．
（Ⅰ）
， ∴
； （Ⅱ）∵z=1﹣3i ，
∴
． 又∵复数z 2所对应的点在第1象限，
∴，．30310a a +>⎧⎨
->⎩ ∴．13
a > 点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a
b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为a bi -．
24．4a
或2a >
【解析】
试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为a bi +的形式即可得到1z ，根据模长之间的关系，得到关于a 的不等式，解出a 的范围.
试题 112z i =-+，2z a i =+， ()21125a --+>⋅即()2
19a +>，
解得4a <-或2a > 25．2z i =+
【分析】
根据复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义写出复数z .
【详解】
()()()()()224312434561051243,2121212145
i i i i i i i z i z i i i i i +-+---+=+∴=====-++--， 2z i ∴=+.
【点睛】
本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.
26．（Ⅰ）12z i =-或2z i =-.（Ⅱ）11m n =⎧⎨
=⎩ 【分析】
（Ⅰ）根据题意设复数(),z a bi a b Z =+∈，再利用 z =，解得即可；
（Ⅱ）根据题意可得2z i =-，则()
2z m m i -=-+，代入整理可得实数 m 和n 的值.
【详解】
（Ⅰ）设(),z a bi a b =+∈Z ，则 ()225,a b a b +=∈Z ， 因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，
所以12a b =⎧⎨=-⎩或 21
a b =⎧⎨=-⎩，即12z i =-或2z i =-. （Ⅱ）当z i +为实数时，由（Ⅰ）知2z i =-，则()
2z m m i -=-+
由()24z z m ni +-=+，得 624m i ni -+=+， 所以6241m n -=⎧⎨=⎩，解得 11
m n =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题主要考查复数的代数表示，复数相等的条件，属于基础题.。