黑龙江省海林市朝鲜族中学2022-2023学年数学高一第二学期期末考试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷
考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在锐角中
，角
所对的边长分别为
.若
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．某小组由2名男生、2名女生组成，现从中选出2名分别担任正、副组长，则正、副组长均由男生担任的概率为（ ） A ．
1
5
B ．
16
C ．
13
D ．
37
3．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．
32
2
B ．
315
2
C ．32
2
-
D ．315
2
-
4．在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD = A ．
14AB +34AC B ．34
AB +14AC C ．
13
AB +2
3AC D ．
2
3AB +13
AC 5．已知圆C ：()()2
2
24x a y -+-=及直线l ：30x y -+=，当直线l 被C 截得的弦长为23a 等于（ ） A ．2
B ．23
C ．21±
D 21
6．在直三棱柱（侧棱垂直于底面）111ABC A B C -中，若2AB BC ==，13AA =，
90ABC ∠=︒，则其外接球的表面积为（ ）
A ．17π
B ．
43
π
C ．
173
π
D 1717π
7．已知2
π
απ<<，且5
sin α，则tan2α=（ ） A ．43-
B ．
43 C ．12
-
D ．
12
8．已知向量()1,a m =，()2,5b =，若//a b ，则m =（ ） A ．1
B ．52
-
C ．25
-
D ．
52
9．已知数列{}n a 满足13n n a a +=-，127a =，*n ∈N ，则5a 的值为（ ） A ．12
B ．15
C ．39
D ．42
10．若三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，
2AB AC ==，90BAC ∠=︒，且三棱锥P ABC -的体积为
3
，则球O 的体积为( )
A ．
B C D ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1
2，甲获胜的概率是13
，则甲不输的概率为________.
12．若实数x 满足2sin 3x =-
，3,22x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则x =__________． 13．若无穷数列{}n a 的所有项都是正数，且满足
()
23n n n *+∈=N ，则12
21lim
23
1n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+⎝⎭______．
14．已知正四棱锥的底面边长为4cm ，则该四棱锥的侧面积是______________2cm
15．从集合{}2,1,2A =--中随机选取一个数记为a ，从集合{}1,1,3B =-中随机选取一个数记为b ，则直线0ax y b -+=不经过第一象限的概率为__________．
1645°，则该正四棱锥的体积是________ .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．在ABC 中，a =b =45B =︒，解三角形.
18．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据.
x
3 4 5 6
y
2.5
3
4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y bx a =+；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（注：
1
22
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b
x
nx ==-=-∑∑，a y bx =-）
19．已知函数2
()25f x x x =--，[1,4]x ∈-． （1）求函数()f x 的值域；
（2）若2
|()|f x m m <-恒成立，求m 的取值范围．
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，//,AD BC AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD .
（1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；
（2）若2PA AB BC AD ===，且二面角P BC A --等于45︒，求直线BD 与平面
PBC 所成角的正弦值.
21．如图所示,函数()2cos (,0.0)2
y x x R π
ωθωθ=+∈>≤≤
的图象与y 轴交于点
(3,且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值； (2)已知点πA ,02⎛⎫
⎪⎝⎭
,点P 是该函数图象上一点,点00(,)Q x y 是PA 的中点,当003,2y x ππ⎡⎤
=
∈⎢⎥⎣⎦
时，求0x 的值.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
试题分析：
考点：正弦定理解三角形
2、B
【解析】
根据古典概型的概率计算公式，先求出基本事件总数2
46
n C
==，正、副组长均由男
生担任包含的基本事件总数2
21
m C
==，由此能求出正、副组长均由男生担任的概率．【详解】
某小组由2名男生、2名女生组成，现从中选出2名分别担任正、副组长，
基本事件总数2
46
n C
==，∴正、副组长均由男生担任包含的基本事件总数
2 21
m C
==，
∴正、副组长均由男生担任的概率为
1
6
m
p
n
==．故选B．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法。

3、A
【解析】
(2,1)
AB=，(5,5)
CD=，向量AB在CD方向上的投影为
251532
252
AB CD CD
⋅⨯+⨯=
=，故选A ．
4、C 【解析】
根据向量减法和2BD DC =用,AB AC 表示BD ，再根据向量加法用,AB BD 表示
AD .
【详解】 如图：
因为22
,()33BC AC AB BD BC AC AB =-==-， 所以212
()333
AD AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+，
故选C. 【点睛】
本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解. 5、C 【解析】
求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算弦长可解得a ． 【详解】
由题意，圆心为(,2)C a ，半径为2，圆心C 到直线的距离为23
12
2
a a d -++=
=
所以22213)22
a ++=，解得12a =-±
故选：C. 【点睛】
本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法由垂径定理得垂直，由勾股定理列式计算． 6、A 【解析】
根据题意，将直三棱柱扩充为长方体，其体对角线为其外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的表面积． 【详解】
∵2AB BC ==，13AA =，∠ABC =90∘， ∴将直三棱柱扩充为长、宽、高为2、2、3的长方体, 其体对角线为其外接球的直径,
=
,表面积为2
42π⎛⋅ ⎝⎭
=17π. 故选：A . 【点睛】
本题考查几何体外接球，通常将几何体进行割补成长方体，几何体外接球等同于长方体外接球，利用长方体外接球直径等于体对角线长求出半径，再求出球的体积和表面积即可，属于简单题. 7、A 【解析】
根据
2
π
απ<<，sin α=
，利用平方关系得到cos α，再利用商数关系得到tan α，最后用两和的正切求解. 【详解】
因为
2
π
απ<<，sin α，
所以cos α==， 所以sin 1
tan cos 2ααα=
=-， 所以2
2tan 4
tan 21tan 3
ααα==--． 故选：A 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式和两角和的正切公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8、D 【解析】
由共线向量的坐标表示可得出关于实数m 的方程，解出即可.
向量()1,a m =，()2,5b =，且//a b ，25m ∴=，解得52
m =. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的值，解题时要熟悉共线向量坐标之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 9、B 【解析】
根据等差数列的定义可得数列{}n a 为等差数列，求出通项公式即可． 【详解】
由题意得13n n a a +-=-
所以{}n a 为等差数列，()()()112713303n a a n d n n =+-=+--=-，
5303515a =-⨯=，选择B
【点睛】
本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题． 10、A 【解析】
由P ABC -的体积计算得高已知将三棱锥P ABC -的外接球，转化为长2，宽
2，高 【详解】
∵2AB AC ==，90BAC ∠=︒，故三棱锥的底面面积为1
=22=22
S ⨯⨯，由PA ⊥平面ABC ，
得1122333P ABC ABC V S PA PA PA -∆=
=⨯⨯=，又三棱锥P ABC -的体积为3
，得
PA =
所以三棱锥P ABC -的外接球，相当于长2，宽2，高
故球半径()(2
2
24420R =++=，得R =
343V R π=球.
【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的体积，三棱锥体积公式的应用，根据已知计算出球的半径是解答的关键，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
56
【解析】
甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋； 甲不输，即甲获胜或和棋，
∴甲不输的概率为115326
P =
+= 12、2arcsin 3
π+ 【解析】
由反正弦函数的定义求解． 【详解】 ∵3[,
]22
x ππ
∈，∴[,]22
x ππ
π-∈-
， 2
sin sin()3
x x π=-=-，
∴2arcsin()3
x π-=-，
∴22arcsin()arcsin 33
x ππ=--=+． 故答案为：2arcsin 3
π+． 【点睛】
本题考查反正弦函数，解题时注意反正弦函数的取值范围是arcsin [,]22
x ππ
∈-，结合诱导公式求解． 13、2 【解析】
先由作差法求出数列{}n a 的通项公式为()2
41n a n =+，即可计算出
12
231
n
a a a n +++
+，然后利用常用数列的极限即可计算出12
21lim
231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪+⎝⎭
的值. 【详解】
当1n =4=，可得116a =
；
当2n ≥
2
3n n
=+，
()()2
21312n n n n =-+-=
+-， 上式-()21n =+，得()2
41n a n =+，
116a =也适合()2
41n a n =+，则()
()2
41n a N n n *
=+∈，()411n
a n n ∴=++.
所以，
()()()12844812412323
1
2
n
n n a a a n n
n n +++++
=++++=
=++.
因此，()12222313lim
lim lim 212231n n n n n n a a a n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+==+= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题. 14、24 【解析】
四棱锥的侧面积是144242
⨯⨯= 15、
2
9
【解析】
首先求出试验发生包含的事件(),a b 的取值所有可能的结果，满足条件事件直线不经过第一象限，符合条件的(),a b 有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果. 【详解】
试验发生包含的事件{}2,1,2a A ∈=--，{}1,1,3b B ∈=-， 得到(),a b 的取值所有可能的结果有：
()()()()()()()()()2,1,2,1,2,3,1,1,1,1,1,3,2,1,2,1,2,3---------共9种结果，
由0ax y b -+=得y ax b =+，
当0
a b <⎧⎨
≤⎩ 时，直线不经过第一象限，符合条件的(),a b 有()()2,1,1,1----2种结果，
所以直线不经过第一象限的概率29
P =. 故答案为：29
【点睛】
本题是一道古典概型题目，考查了古典概型概率公式，解题的关键是求出列举基本事件，属于基础题. 16、
4
3
【解析】
过棱锥顶点S 作SE AD ⊥,SO ⊥平面ABCD ，则E 为AD 的中点，O 为正方形
ABCD 的中心，连结OE ，设正四棱锥的底面长为a ，根据已知求出a=2,SO=1,再求该
正四棱锥的体积. 【详解】
过棱锥顶点S 作SE AD ⊥,SO ⊥平面ABCD ，
则E 为AD 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，连结OE ，
则SEO ∠为侧面SAD 与底面ABCD 所成角的平面角，即45SEO ∠=，设正四棱锥的底面长为a ，则2a AE OE SO ===
，所以222
SE EO a ==， 在Rt SAE ∆中，∵222SA AE SE =+
∴22
342
a a =+，解得2a =，
∴1SO = ∴棱锥的体积2114
21333
ABCD V S SO =
⋅=⨯⨯=.
故答案为43
【点睛】
本题主要考查空间线面角的计算，考查棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、当60A =︒时，75C =°
，c =+，当120A =︒，155C =°
，c = 【解析】
利用已知条件通过正弦定理求出A ，然后利用正弦定理或余弦定理转化求解c ，即可求解． 【详解】
在ABC ∆
中，45a b B ︒===，
由正弦定理可得：asin sin B A b =
因为(0,180)A ∈，所以60A =或120，
当60A =时，因为45B ︒=，所以75c ︒=，
从而c =
=， 当120A =时，因为45B ︒=，所以15c ︒=，
从而c =
． 【点睛】
本题主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理与余弦定理，合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18、 (1)见解析.(2)0.70.35y x =+.(3)19.65吨. 【解析】
（1）直接描点即可
（2）计算出,x y 的平均数x ，y ，及4
21
i
i x
=∑，
4
1
i i
i x y =∑，利用公式即可求得ˆ0.7b
=，问题得解．
（3）将100x =代入ˆ0.70.35y
x =+可得ˆ70.35y =，结合已知即可得解． 【详解】
解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；
（2）计算()1
3456 4.54
x =
⨯+++=， ()1
2.534 4.5
3.54
y =
⨯+++=， 4
222221345686i
i x
==+++=∑，
4
1
3 2.543546 4.566.5i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
∴回归方程的系数为：122
1ˆn
i i i n i
i x y nxy b
x nx ==-=-∑∑
2
66.54 4.5 3.5
0.7864 4.5
-⨯⨯=
=-⨯. 3.5ˆˆ0.7 4.50.35a
y bx =-=-⨯=，∴所求线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+； （3）利用线性回归方程计算100x =时，0.71000.3570.3ˆ5y
=⨯+=， 则9070.3519.65-=，即比技改前降低了19.65吨. 【点睛】
本题主要考查了线性回归方程的求法，考查计算能力，还考查了线性回归方程的应用，属于中档题．
19、（1）[]
6,3-；（2）2m <-或3m >． 【解析】
（1）根据用配方法求出二次函数对称轴横坐标，可得最小值，再代入端点求得最大值，可得函数()f x 的值域；
（2）由（1）可得()||f x 的最大值为6，转化为求26m m ->恒成立，求出m 的取值范围即可． 【详解】
（1）因为()()2
22516f x x x x =--=--， 而()12f -=-，()43f =，()16f =-， 所以函数()f x 的值域为[]
6,3-．
（2）由（1）知，函数()f x 的值域为[]
6,3-， 所以()||f x 的最大值为6，
所以由()2
||f x m m <-得26m m ->，
解得2m <-或3m >，
故实数m 的取值范围为2m <-或3m >． 【点睛】
本题考查二次函数的值域及最值，不等式恒成立求参数取值范围，二次函数最值问题通常求出对称轴横坐标代入即可求得最值，由不等式恒成立求参数取值范围可转化为函数最值不等式问题，属于中等题.
20、（1）证明见解析；（2【解析】
（1）由//,AD BC AD AB ⊥得，BC AB ⊥，由侧面PAB ⊥底面ABCD 得BC ⊥侧面PAB ，由面面垂直的判定即可证明；（2）由BC ⊥侧面PAB ，可得
,BC PB BC AB ⊥⊥， 得PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，45PBA ︒∠=，推
得PAB ∆为等腰直角三角形，取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ⊥，由平面PAB ⊥平面PBC ，得AE ⊥平面PBC ，证明//AD 平面PBC ，得点D 到平面PBC 的距离
d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =，再利用sin
5d AE BD BD θ=
===
求解即可 【详解】
（1）证明：由//,AD BC AD AB ⊥可得，BC AB ⊥
因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，交线为,AB BC ⊂底面ABCD 且BC AB ⊥ 则BC ⊥侧面PAB ，BC ⊂平面PBC 所以，平面PAB ⊥平面PBC ；
（2）由BC ⊥侧面PAB 可得，,BC PB BC AB ⊥⊥， 则PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，45PBA ︒∠= 由PA AB =可得，PAB ∆为等腰直角三角形 取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ⊥
因为平面PAB ⊥平面PBC ，交线为,PB AE ⊂平面PAB 且AE PB ⊥ 所以AE ⊥平面PBC ，点A 到平面PBC 的距离为AE . 因为//,AD BC AD ⊄平面PBC 则//AD 平面PBC
所以点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =. 设1AD =，则2PA AB BC === 在PAB ∆中，2AE =
；在ABD ∆中，5BD =
设直线BD 与平面PBC 所成角为θ 即210
sin 55
d AE BD BD θ=
===
所以，直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值为
10
5
.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定，二面角及线面角的求解，考查空间想象能与运算求解能力，关键是线面平行的性质得到点D 到面的距离,是中档题 21、 (1)πθ6=.ω2=.(2)023x π=，或034
x π=. 【解析】
试题分析：
(1)由三角函数图象与y 轴交于点(可得cos θ=，则6πθ=.由最小正周期公
式可得2ω=.
(2)由题意结合中点坐标公式可得点P 的坐标为022x π
⎛
-
⎝
.代入三角函数式可得
05cos 462
x π⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭，结合角的范围求解三角方程可得023x π=，或034x π=. 试题解析：
(1)将0,x y ==()2cos y x ωθ=+中，得cos 2
θ=， 因为02
π
θ≤≤
，所以6
π
θ=
.
由已知T π=，且0ω>，得222T ππωπ
===. (2)因为点()00,0,,2A Q x y π⎛⎫
⎪⎝⎭
是PA 的中点，
02
y =
P 的坐标为022x π⎛- ⎝.
又因为点P 在2cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上，且02x ππ≤≤，
所以05cos 46
x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，且075194666x πππ≤-≤， 从而得0511466x ππ-=，或0513466x ππ-=，即023x π=，或034
x π
=.。