人教A版高中数学必修2课件4.2.1直线与圆相交求弦长课件
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k2 1 k2 1 即|3k – 1| = 5 5k 2 , 两边平方，并整理得到 1
2k2 –3k –2 = 0， 解得 k = 2 , 或k =2. 所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为 1 y + 3 = (x + 3)， 或y + 3 = 2(x + 3). 2 即x +2y = 0，或2x – y + 3 = 0.
2k 1 k2 1 k2 1 0 ( ) 1 , 2 2 2 1 k 1 k 1 k 2 即k2＝3，故k＝± 3. 答案：A
1 k 1 k
直线与圆相交求弦长
【变形训练】 2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1， Q是x轴上的动点，QA，QB分别切 4 2 ⊙M于A，B两点，(1)如果 | AB | 3 求直线MQ的方程； (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.
直线与圆相交求弦长
【典型例题】 1、直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25 相交，截得弦长l为 4 5, 求m的方程. 解：设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径 l r = 5，弦长的一半 2 5, 2 2 2 d 5 2 5 5, 所以由勾股定理，得： 所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即 kx – y + 5 – 5k = 0. 1 5 5 k 由 5, 得 k 2 或k = 2. 1 k2 所以直线m的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.
即圆心到所求直线l的距离为 5 .
5 长
【典型例题】 因为直线l过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l 的方程为 y + 3 = k (x + 3)， 即k x – y + 3k –3 = 0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的 距离 d 2 3k 3 . 因此 2 3k 3 5,
7 2 1 x ( y ) ( y 2). 4 16
2
直线与圆相交求弦长
【典型例题】
2、已知过点M (–3，–3)的直线l 被圆 x2 + y2 + 4y –21 = 0所截得的弦长为 4 5, 求直线l的方程. 解：将圆的方程写成标准形式，得 x2 + (y + 2)2 =25， 所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长 r =5. 如图，因为直线l的距离为 4 5, 所以弦 2 心距为 2 4 5
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
1、已知直线y＝kx+1与x2＋y2＝1相交于P、Q 1 两点，O为坐标原点，若 OP OQ , 2 则k的值为( ) A．± 3 B．±1 C．± 2 D．－ 3
直线与圆相交求弦长
【变形训练】 解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立两 个方程得x2+(kx+1)2＝1,即(1+ k2)x2＋2kx＝0, 2k 解得x1＝0, x2＝ 1 k 2 ，则y21＝1, 1 k 2k 1 , 故 OP OQ x1 x2 y1 y2 y2 k 2 2
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
4 2 | AB | 2 2 2 2 1 2 2 ) 1 ( ) , 解 (1)由 | AB | 可得 | MP | | MA | ( 2 3 3 3 2 | MB | | MP | | MQ | 得 | MQ | 3, 由相似比得
2 2 2 2 | OQ | | MQ | | MO | 3 2 5, 在Rt△MOQ中，
知识点—— 直线与圆相交求弦长
直线与圆相交求弦长
【求法】 1直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法： ①利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角 三角形，结合勾股定理进行求解. ②斜率为k的直线l与圆C交与A（x1，y1）， B（x2，y2）两点，则 AB 1 k 2 x1 x2 2.求两圆公共弦长有两种解题方法： ①联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点 间距离公式进行求解. ②求出两圆公共弦所在直线的方程，将问题转 化为直线被圆截得的弦长问题. 方法一：勾股定理法 方法二：弦长公式法.
故 a 5或a 5,所以直线AB方程是
2 x 5 y 2 5 0或2 x 5 y 2 5 0;
直线与圆相交求弦长
【变形训练】 (2)连接MB，MQ，设 P ( x, y ), Q(a,0), 由点M， 2 y2 P，Q在一直线上，得 ,(A) a x 由 | MB |2 | MP | | MQ |,即 x 2 ( y 2)2 a 2 4 1,( B ) 把（A）及（B）消去a，并注意到y<2 ，可得
2k2 –3k –2 = 0， 解得 k = 2 , 或k =2. 所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为 1 y + 3 = (x + 3)， 或y + 3 = 2(x + 3). 2 即x +2y = 0，或2x – y + 3 = 0.
2k 1 k2 1 k2 1 0 ( ) 1 , 2 2 2 1 k 1 k 1 k 2 即k2＝3，故k＝± 3. 答案：A
1 k 1 k
直线与圆相交求弦长
【变形训练】 2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1， Q是x轴上的动点，QA，QB分别切 4 2 ⊙M于A，B两点，(1)如果 | AB | 3 求直线MQ的方程； (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.
直线与圆相交求弦长
【典型例题】 1、直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25 相交，截得弦长l为 4 5, 求m的方程. 解：设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径 l r = 5，弦长的一半 2 5, 2 2 2 d 5 2 5 5, 所以由勾股定理，得： 所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即 kx – y + 5 – 5k = 0. 1 5 5 k 由 5, 得 k 2 或k = 2. 1 k2 所以直线m的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.
即圆心到所求直线l的距离为 5 .
5 长
【典型例题】 因为直线l过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l 的方程为 y + 3 = k (x + 3)， 即k x – y + 3k –3 = 0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的 距离 d 2 3k 3 . 因此 2 3k 3 5,
7 2 1 x ( y ) ( y 2). 4 16
2
直线与圆相交求弦长
【典型例题】
2、已知过点M (–3，–3)的直线l 被圆 x2 + y2 + 4y –21 = 0所截得的弦长为 4 5, 求直线l的方程. 解：将圆的方程写成标准形式，得 x2 + (y + 2)2 =25， 所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长 r =5. 如图，因为直线l的距离为 4 5, 所以弦 2 心距为 2 4 5
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
1、已知直线y＝kx+1与x2＋y2＝1相交于P、Q 1 两点，O为坐标原点，若 OP OQ , 2 则k的值为( ) A．± 3 B．±1 C．± 2 D．－ 3
直线与圆相交求弦长
【变形训练】 解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立两 个方程得x2+(kx+1)2＝1,即(1+ k2)x2＋2kx＝0, 2k 解得x1＝0, x2＝ 1 k 2 ，则y21＝1, 1 k 2k 1 , 故 OP OQ x1 x2 y1 y2 y2 k 2 2
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
4 2 | AB | 2 2 2 2 1 2 2 ) 1 ( ) , 解 (1)由 | AB | 可得 | MP | | MA | ( 2 3 3 3 2 | MB | | MP | | MQ | 得 | MQ | 3, 由相似比得
2 2 2 2 | OQ | | MQ | | MO | 3 2 5, 在Rt△MOQ中，
知识点—— 直线与圆相交求弦长
直线与圆相交求弦长
【求法】 1直线被圆截得的弦长问题，两种解题方法： ①利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角 三角形，结合勾股定理进行求解. ②斜率为k的直线l与圆C交与A（x1，y1）， B（x2，y2）两点，则 AB 1 k 2 x1 x2 2.求两圆公共弦长有两种解题方法： ①联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点 间距离公式进行求解. ②求出两圆公共弦所在直线的方程，将问题转 化为直线被圆截得的弦长问题. 方法一：勾股定理法 方法二：弦长公式法.
故 a 5或a 5,所以直线AB方程是
2 x 5 y 2 5 0或2 x 5 y 2 5 0;
直线与圆相交求弦长
【变形训练】 (2)连接MB，MQ，设 P ( x, y ), Q(a,0), 由点M， 2 y2 P，Q在一直线上，得 ,(A) a x 由 | MB |2 | MP | | MQ |,即 x 2 ( y 2)2 a 2 4 1,( B ) 把（A）及（B）消去a，并注意到y<2 ，可得