重庆市2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考模拟试卷(含详解)

重庆市2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在0、1、﹣2、这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．1C．﹣2D．
2．（4分）2023年癸卯年（兔年）春节即将来临．春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）抛物线y＝2（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（3，5）
4．（4分）如图，∠AOB＝45°，CD∥OB交OA于E，则∠AEC的度数为（ ）
A．130°B．135°C．140°D．145°
5．（4分）若两个相似三角形的面积之比为4：9，则它们对应角的平分线之比为（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝b sin B B．a＝c cos B C．a＝b tan B D．b＝c tan B
7．（4分）估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
8．（4分）观察下列图形的规律，依照此规律，第20个图形中“•”的个数为（ ）
A．402B．412C．422D．432
9．（4分）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接DF、BF，若∠ADF＝α，则∠EFB一定等于（ ）
A．αB．45°﹣αC．90°﹣3αD．
10．（4分）有n个依次排列的能式：第1项是a2，第2项是a2+2a+1，用第2项减去第1项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第2项与b2相加作为第3项，将b2加2记为b3，将第3项与b3相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①b5＝2a+9；②若第6项与第5项之差为4057，则a＝2024；③当n＝k时，b1+b2+b3+b4+⋯+b k＝2ak+k2；其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算（1+）0+（）﹣1+2cos30°＝ ．
12．（4分）抛物线y＝﹣2x2+1向下平移3个单位长度后得到的新抛物线的解析式为 ．13．（4分）某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是 ．
14．（4分）若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是 ．
15．（4分）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方
向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 海里．
16．（4分）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于 ．
17．（4分）若数m使关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，且使关于y的分式方程
＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为 ．
18．（4分）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数M′．规
定．例如：M＝2335，∵2+3＝5，3+5＝8，∴235是“会意数”．则
．如果“会意数”N＝4162，则F（N）＝ ；已知四位自然数是“会意数”，（b≤4，d≤7，且a、b、c、d均为正整数），若F（S）恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（﹣b﹣a）+3a•2b；
（2）．
20．（10分）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，交AD于点G，连接DE，DF．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵EF是AD的垂直平分线
∴FA＝① ，ED＝② ；
且G是AD的中点，即FG是△FAD的中线
∴FG⊥AD
∴∠AGF＝∠AGE＝90°
∵AD平分∠BAC
∴③
在△AGE和△AGF中：
∴△AGE≌△AGF
∴⑤
又∵FA＝FD，EA＝ED
∴AE＝AF＝DE＝DF
∴四边形AEDF是菱形
21．（10分）某校为了解七、八年级学生对安全知识的掌握情况，对七年级和八年级学生进行了安全知识的测试，现从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生成绩分为A、B、C、D四个等级．分别是A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，其中，七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，83，86，86，87，87，87，91，92，94，95，96，96．
八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，87，89．
两组数据的平均数、中位数、众数如表：
学生平均数中位数众数
七年级8586a
八年级85b91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ；b＝ ；m＝ ．
（2）根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）（3）若该校七年级有850名学生参加测试，八年级有890名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
22．（10分）腊味食品深受川渝人的喜爱．春节将至，甲、乙两单位打算为员工购买腊肉和香肠作为新年福利．
（1）2023年12月份，甲单位花费4300元购买了40袋腊肉、50袋香肠，已知10袋腊肉和9袋香肠的售价相同，求2023年12月份每袋腊肉和香肠的售价分别是多少元？
（2）由于市场供不应求，2024年1月份腊肉和香肠的价格均有上涨，其中每袋香肠的售价是每袋腊肉售价的1.2倍，乙单位分别花费了2000元、3600元购买腊肉、香肠，一共购买了100袋，求2024年1月份每袋腊肉的售价．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝7．动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度从D，C同时出发，点P沿D→C方向运动，到达C点停止运动，点Q沿折线C→B→A方向运动，到达A点停止运动，连接AP，AQ，设点P、点Q的运动时间为t（t＞0）秒，四边形APCQ的面积为y．
（1）请直接写出y关于时间t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出四边形APCQ的面积小于11时t的范围．
24．（10分）为了增强体质，就读于重庆文德中学CBD校区的小明和就读于十一中本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往涂山站汇合一同前往江南体育馆打羽毛球，经勘测，腾黄大道公交站C在文德中学
CBD校区点A的正北方150米处，十一中本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，
1.4，≈1.7）
（1）求BD的长度；（结果精确到1米）
（2）周五放学，小明和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点E处汇合，小明的路线为A﹣C﹣E，他
从点A步行至点C再乘坐公交车前往点E，假设小明匀速步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶速
度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时2分钟（小明上车和下车时间忽略不
计）．哥哥的路线为B﹣D﹣E，全程步行，他从点B经过点D买水（买水时间忽略不计）再前往点E，
假设哥哥匀速步行且速度为100米每分钟．请问小明和哥哥谁先到达点E呢？说明理由（结果保留两
位小数）．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线与x轴，y轴分别交于A，D两点，D点为OC中点．
（1）求抛物线表达式；
（2）点P为直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥AD交AD于点H，求PH的最大值，以及
此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线AD方向平移个单位，点E为平移后的抛物线上一点，连接AC，若∠ECA＝∠ADO，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．
26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE．
（1）如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝4，求AE的长度；
（2）如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA＝∠EAB，求证：AB＝AP+
BD；
（3）如图3，DE与AB交于点F，且AB平分∠EAD，点M为线段AF上一点，点N为线段AD上一点，连接DM，MN，点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至△BDK所在平面内得到△
BQK，连接DQ，在M，N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且∠DKQ＝45°时，请直接写出的值．
重庆市2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在0、1、﹣2、这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．1C．﹣2D．
【解答】解：在0，1，﹣2，这四个数中，最小的数是：﹣2．
故选：C．
2．（4分）2023年癸卯年（兔年）春节即将来临．春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据中心对称图形的定义可得：B选项图为中心对称图形，A，C，D都不是．
故选：B．
3．（4分）抛物线y＝2（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（3，5）
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣3）2﹣5，
∴它的顶点坐标为（3，﹣5），
故选：C．
4．（4分）如图，∠AOB＝45°，CD∥OB交OA于E，则∠AEC的度数为（ ）
A．130°B．135°C．140°D．145°
【解答】解：∵∠AOB＝45°，CD∥OB，
∴∠AED＝∠AOB＝45°，
∵∠AEC+∠AED＝180°，
∴∠AEC＝135°，
故选：B．
5．（4分）若两个相似三角形的面积之比为4：9，则它们对应角的平分线之比为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们对应角的平分线之比为2：3，
故选：A．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝b sin B B．a＝c cos B C．a＝b tan B D．b＝c tan B
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴sin B＝，cos B＝，tan B＝，
∴c＝，a＝•cos B，a＝，b＝a tan B，所以A选项、C选项、D选项不符合题意，B选项符合题意．
故选：B．
7．（4分）估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【解答】解：原式＝3﹣1＝﹣1，
∵62＝36，72＝49，而36＜45＜49，
∴6＜＜7，
∴5＜﹣1＜6，
故选：C．
8．（4分）观察下列图形的规律，依照此规律，第20个图形中“•”的个数为（ ）
A．402B．412C．422D．432
【解答】解：根据所给图形得，
第1个图形中“•”的个数为：4＝22﹣0；
第2个图形中“•”的个数为：8＝32﹣1；
第3个图形中“•”的个数为：14＝42﹣2；
第4个图形中“•”的个数为：22＝52﹣3；
…
所以第n个图形中“•”的个数为：（n+1）2﹣（n﹣1）．
当n＝20时，
（20+1）2﹣（20﹣1）＝422．
故选：C．
9．（4分）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接DF、BF，若∠ADF＝α，则∠EFB一定等于（ ）
A．αB．45°﹣αC．90°﹣3αD．
【解答】解：过点F作FG⊥CB，交CB的延长线于点G，
由旋转得，DE＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠EDF＝45°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠C＝∠EGF＝90°．
∵∠CDE+∠CED＝90°，∠FEG+∠CED＝90°，
∴∠CDE＝∠FEG，
∴△CDE≌△GEF（AAS），
∴FG＝CE，EG＝CD．
∴EG＝BC，
即BG+BE＝BE+CE，
∴BG＝CE＝FG，
∴∠FBG＝45°．
∵∠ADF＝α，∠EDF＝45°，
∴∠CDE＝∠FEG＝45°﹣α，
∴∠EFB＝∠FBG﹣∠FEB＝α．
故选：A．
10．（4分）有n个依次排列的能式：第1项是a2，第2项是a2+2a+1，用第2项减去第1项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第2项与b2相加作为第3项，将b2加2记为b3，将第3项与b3相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①b5＝2a+9；②若第6项与第5项之差为4057，则a＝2024；③当n＝k时，b1+b2+b3+b4+⋯+b k＝2ak+k2；其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由题知，
第1项为：a2，
第2项为：a2+2a+1＝（a+1）2，
b1＝（a+1）2﹣a2＝2a+1，
b2＝b1+2＝2a+3，
第3项为：a2+2a+1+2a+3＝（a+2）2，
b3＝b2+2＝2a+5，
第4项为：a2+4a+4+2a+5＝（a+3）2，
…，
以此类推，
第n项为：（a+n﹣1）2，b n＝2a+2n﹣1（n为正整数）．
当n＝5时，
b5＝2a+9．
故①正确．
第6项与第5项之差可表示为：（a+5）2﹣（a+4）2，
则（a+5）2﹣（a+4）2＝4057，
解得a＝2024．
故②正确．
当n＝k时，
b1+b2+b3+…+b k
＝2a+1+2a+3+2a+5+…+2a+2k﹣1
＝2ak+
＝2ak+k2．
故③正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算（1+）0+（）﹣1+2cos30°＝　3+　．【解答】解：原式＝1+2+2×
＝1+2+
＝3+．
故答案为3+．
12．（4分）抛物线y＝﹣2x2+1向下平移3个单位长度后得到的新抛物线的解析式为　y＝﹣2x2﹣2　．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+1向下平移3个单位长度后得到的新抛物线的解析式为y＝﹣2x2+1﹣3＝﹣2x2﹣2，
故答案为：y＝﹣2x2﹣2．
13．（4分）某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是　20%　．
【解答】解：设每次下降的百分率为x，
根据题意得：125（1﹣x）2＝80，
解得x＝20%或x＝（舍去），
∴每次下降的百分率是20%；
故答案为：20%．
14．（4分）若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是　12　．【解答】解：∵正多边形的一个内角等于150°，
∴它的外角是：180°﹣150°＝30°，
∴它的边数是：360°÷30°＝12．
故答案为：12．
15．（4分）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于　6　海里．
【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，
∴AE＝AC•sin∠ACE＝12×＝6（海里），
即小岛A到航线BC的距离是6海里，
故答案为：6．
16．（4分）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于 ．
【解答】解：过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD＝BE＝6，则DF＝3，AF＝＝3，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴△ABG≌△DBG，
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴AC＝AF＝×3＝．
故答案为：．
17．（4分）若数m使关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，且使关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数m的值之和为　2　．
【解答】解：由x+8＞3x﹣2，得x＜5．
∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＜m，
∴m≤5．
∵+＝1，
∴y+m﹣2y＝y﹣3．
∴y＝．
又∵关于y的分式方程+＝1有非负整数解且m为整数，
∴是非负整数且≠3．
∴m≠3、m≥﹣3．
∴﹣3≤m≤5且m≠3．
∴m＝﹣3或m＝﹣1或m＝1或m＝5．
∴符合条件的m的和为﹣3+（﹣1）+1+5＝2．
故答案为：2．
18．（4分）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数M′．规定．例如：M＝2335，∵2+3＝5，3+5＝8，∴235是“会意数”．则
．如果“会意数”N＝4162，则F（N）＝　21　；已知四位自然数是“会意数”，（b≤4，d≤7，且a、b、c、d均为正整数），若F（S）恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是　4117　．
【解答】解：∵“会意数”N＝4162，
∴N′＝6241．
∴F（N）＝＝＝21；
∵数是“会意数”，
∴S千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d．∴S＝1000a+100b+10c+d，
S′＝1000c+100d+10a+b．
∴F（S）＝＝＝﹣10a﹣b+10c+d．
∵a+b＝5，c+d＝8，
∴a＝5﹣b，c＝8﹣d．
∴F（S）＝﹣10（5﹣b）﹣b+10（8﹣d）+d＝9b﹣9d+30．
∵F（S）恰好能被8整除，
∴＝＝（b﹣d+3+）是一个整数．∴b﹣d+6是8的倍数．
∵b≤4，d≤7，S取最大值，各个数位上的数字均不为0，
∴千位上的数字a应取最大值，
∴百位上的b取最小值1．
∴d＝7，
∴a＝4，c＝1．
∴满足条件的数S的最大值＝1000×4+100×1+10×1+7＝4117．
故答案为：21，4117．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（﹣b﹣a）+3a•2b；
（2）．
【解答】解：（1）（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（﹣b﹣a）+3a•2b
＝a2﹣4ab+4b2+a2﹣b2+6ab
＝2a2+2ab+3b2；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝．
20．（10分）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，交AD于点G，连接DE，DF．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵EF是AD的垂直平分线
∴FA＝①　FD　，ED＝②　EA　；
且G是AD的中点，即FG是△FAD的中线
∴FG⊥AD
∴∠AGF＝∠AGE＝90°
∵AD平分∠BAC
∴③　∠DAB＝∠DAC　
在△AGE和△AGF中：
∴△AGE≌△AGF
∴⑤　AE＝AF　
又∵FA＝FD，EA＝ED
∴AE＝AF＝DE＝DF
∴四边形AEDF是菱形
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，ED＝EA，
∵G是AD的中点，即FG是△FAD的中线，
∴FG⊥AD，
∴∠AGF＝∠AGE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△AGE和△AGF中，
，
∴△AGE≌△AGF（ASA），
∴AE＝AF，
又∵FA＝FD，EA＝ED，
∴AE＝AF＝DE＝DF，
∴四边形AEDF是菱形．
故答案为：FD，EA，∠DAB＝∠DAC，AG＝AG，AE＝AF．
21．（10分）某校为了解七、八年级学生对安全知识的掌握情况，对七年级和八年级学生进行了安全知识的测试，现从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生成绩分为A、B、C、D四个等级．分别是A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，其中，七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，83，86，86，87，87，87，91，92，94，95，96，96．
八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，87，89．
两组数据的平均数、中位数、众数如表：
学生平均数中位数众数
七年级8586a
八年级85b91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　87　；b＝　87　；m＝　40　．
（2）根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）（3）若该校七年级有850名学生参加测试，八年级有890名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【解答】解：（1）七年级成绩的众数a＝87分，八年级A、B等级学生人数为20×（10%+15%）＝5（人），
则其成绩的中位数b＝＝87（分），C等级人数所占百分比为×100%＝40%，即m＝40，故答案为：87，87，40；
（2）八年级成绩更好，
∵七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数和众数均大于七年级，
∴八年级高分人数多于七年级，
所以八年级成绩更好（答案不唯一）；
（3）800×+890×40%＝596（人），
答：估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有596人．
22．（10分）腊味食品深受川渝人的喜爱．春节将至，甲、乙两单位打算为员工购买腊肉和香肠作为新年福利．
（1）2023年12月份，甲单位花费4300元购买了40袋腊肉、50袋香肠，已知10袋腊肉和9袋香肠的售价相同，求2023年12月份每袋腊肉和香肠的售价分别是多少元？
（2）由于市场供不应求，2024年1月份腊肉和香肠的价格均有上涨，其中每袋香肠的售价是每袋腊肉售价的1.2倍，乙单位分别花费了2000元、3600元购买腊肉、香肠，一共购买了100袋，求2024年1月份每袋腊肉的售价．
【解答】解：（1）设2023年12月份每袋腊肉的售价是x元，每袋香肠的售价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：2023年12月份每袋腊肉的售价是45元，每袋香肠的售价是50元；
（2）设2024年1月份每袋腊肉的售价是m元，则每袋香肠的售价是1.2m元，
由题意得：+＝100，
解得：m＝50，
经检验，m＝50是原方程的解，且符合题意，
答：2024年1月份每袋腊肉的售价是50元．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝7．动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度从D，C同时出发，点P沿D→C方向运动，到达C点停止运动，点Q沿折线C→B→A方向运动，到达A点停止运动，连接AP，AQ，设点P、点Q的运动时间为t（t＞0）秒，四边形APCQ的面积为y．
（1）请直接写出y关于时间t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出四边形APCQ的面积小于11时t的范围．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝∠B＝90°，
当点Q在BC上，
连接AC，
由题意得，CQ＝t，PC＝7﹣t，
∴y＝S△APC+S△ACQ＝＝，即y＝t（0≤t≤3）；
如图，当点Q在AB上时，
由题意得，AQ＝（4+3）﹣t＝7﹣t，PC＝7﹣t，
∴y＝（AQ+PC）•BC＝×（7﹣t+7﹣t）×3，
即y＝﹣3t+21（3＜t≤7），
综上所述，y关于时间t的函数表达式为y＝；（2）函数图象如图所示；
当3＜t≤7时，y随t的增大而减小；
（3）由图象知，四边形APCQ的面积小于11时t的范围为0≤t＜1或＜t≤7．
24．（10分）为了增强体质，就读于重庆文德中学CBD校区的小明和就读于十一中本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往涂山站汇合一同前往江南体育馆打羽毛球，经勘测，腾黄大道公交站C在文德中学CBD校区点A的正北方150米处，十一中本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，涂山站E在点D的正北方，点E在点C的北偏东60°方向．（参考数
据：≈1.4，≈1.7）
（1）求BD的长度；（结果精确到1米）
（2）周五放学，小明和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点E处汇合，小明的路线为A﹣C﹣E，他从点A步行至点C再乘坐公交车前往点E，假设小明匀速步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时2分钟（小明上车和下车时间忽略不计）．哥哥的路线为B﹣D﹣E，全程步行，他从点B经过点D买水（买水时间忽略不计）再前往点E，假设哥哥匀速步行且速度为100米每分钟．请问小明和哥哥谁先到达点E呢？说明理由（结果保留两位小数）．
【解答】解：（1）如图，过点B作BF⊥CD于F，
由题意得AC＝BF＝150m，AB＝CF＝600m，
∵∠FBD＝45°，∠BFD＝90°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∴DF＝BF＝150m，
∴BD＝＝150≈212（m），
答：BD的长度为212m；
（2）∵CD＝CF+DF，
∴CD＝750m，
∵点E在点C的北偏东60°方向，
∴∠ECD＝30°，
∴CE＝m，ED＝CD•tan∠ECD＝m，
小明花费时间＝150÷80+÷250+2≈7.339（分钟），
哥哥花费时间＝150÷100+÷100≈6.33（分钟），
∵7.339＞6.33，
∴哥哥花费时间更少，
答：哥哥先到E点．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线与x轴，y轴分别交于A，D两点，D点为OC中点．
（1）求抛物线表达式；
（2）点P为直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥AD交AD于点H，求PH的最大值，以及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线AD方向平移个单位，点E为平移后的抛物线上一点，连接AC，若∠ECA＝∠ADO，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2；
当时，x＝﹣4；
∵直线与x轴，y轴分别交于A，D两点，
∴A（﹣4，0），D（0，﹣2），
∴OD＝2，
∵D点为OC中点，
∴OC＝2OD＝4，
∴C（0，﹣4），
把A（﹣4，0）和C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线表达式为y＝x2+3x﹣4；
（2）过P作PQ⊥x轴交AD于Q，连接PD，如图，
∵A（﹣4，0），D（0，﹣2），
∴OD＝2，OA＝4，
∴，
∵点P为直线AD下方抛物线上一动点，
∴设P（m，m2+3m﹣4），则，
∴，
∵PH⊥AD，
∴，
∴，当时，PH有最大值，最大值为，此时；
（3）∵OD＝2，OA＝4，
∴，
∴将抛物线沿射线AD方向平移个单位，即为沿x轴正方向平移2个单位长度，沿y轴负方向平移1个单位长度，
∴平移后解析式为y＝（x+2）2+3（x+2）﹣4﹣1＝x2﹣x﹣7，
当E在直线AC左边时，x E＜0，如图，过A作AC⊥AM，交CE延长线于M，MH⊥x轴于H，则∠MHA ＝∠MAC＝∠AOC＝90°，
∵∠ECA＝∠ADO，
∴△MAC∽△AOD，
∴，
∵∠HAM＝∠ACO＝90°﹣∠OAC，
∴△MAH∽△ACO，
∴，，
∴AH＝MH＝8，
∴M（﹣12，﹣8），
设直线CM解析式为：y＝k1x+b1，
代入M（﹣12，﹣8），C（0，﹣4），
得，
解得，
∴直线CM解析式为：，
联立，
解得，
∵x E＜0，
∴，
此时，
∴；
同理当E在直线AC右边时，x E＞0，如图，过A作AC⊥AN，交CE延长线于N，AG⊥GN于G，AF⊥CF于F，则∠G＝∠F＝∠AOC＝90°，CF＝AF＝4，
由∠ECA＝∠ADO，可得△NAC∽△AOD，
∴，
∴∠GAN＝∠ACF＝90°﹣∠FAC，
∴△NAG∽△ACF，
∴，
∴，
∴AG＝NG＝8，
∴N（4，8），
∴直线CN解析式为：y＝3x﹣4，
联立，
解得，
∵x E＞0，
∴，
此时，
∴，
综上所述，或．
26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D 点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE．
（1）如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝4，求AE的长度；
（2）如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA＝∠EAB，求证：AB＝AP+
BD；
（3）如图3，DE与AB交于点F，且AB平分∠EAD，点M为线段AF上一点，点N为线段AD上一点，连接DM，MN，点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至△BDK所在平面内得到△
BQK，连接DQ，在M，N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且∠DKQ＝45°时，请直接写出的值．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝4，
∵AH⊥BC，AB＝AC，
∴BH＝CH＝2＝AH，
∵点D为CH中点，
∴DH＝CD＝，
∴AD＝＝＝，
∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴AE＝AD＝2；
（2）证明：如图2，过点D作DH⊥BC交AB于点H，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝AC，
∵DH⊥BC，
∴∠BHD＝∠DBH＝45°，∠BDH＝90°，
∴BD＝DH，∠AHD＝135°，
∴BH＝BD，
∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°＝∠BDH，
∴∠ADH＝∠EDB，
∴△ADH≌△EDB（SAS），
∴AH＝BE，∠DBE＝∠DHA＝135°，
∴∠ABE＝90°＝∠CAP，
又∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACP，
∴△BAE≌△ACP（ASA），
∴AP＝BE，
∴AP＝BE＝AH，
∴AB＝AP+BD；
（3）解：如图3，在AE上截取AN'＝AN，连接MN'，
∵AB平分∠EAD，
∴∠DAB＝∠BAE＝22.5°，
又∵AM＝AM，
∴△AMN≌△AMN'（SAS），
∴MN＝MN'，
∴DM+MN＝DM+MN'，
∴当点M，点N'，点D三点共线，且DM⊥AE时，DM+MN有最小值，如图4，
∵DM⊥AE，DE＝AD，
∴∠ADM＝∠EDM＝45°，
∵折叠，
∴DQ⊥BK，∠BKD＝∠BKQ，
∵∠DKQ＝45°，
∴∠BKD＝∠BKQ＝22.5°，
∵∠AMK＝∠ADM+∠BAD＝∠BKD+∠KBA，
∴∠KBA＝∠ADM＝45°，
∴∠KBD＝∠ABK+∠ABC＝90°，
∴KB⊥BD，
又∵DQ⊥BK，
∴点B，点Q，点D三点共线，
∵折叠，
∴DQ＝2BD，
∵∠BAD＝22.5°，
∴∠CAD＝67.5°，∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝67.5°，∴∠CAD＝∠ADC，
∴AC＝DC，
∴BD＝BC﹣CD＝AC﹣AC，
∴DQ＝2BD＝2AC﹣2AC，
∴＝＝2﹣．。