2020年山东省烟台市蓬莱市中考数学一模试卷(附详解)

2020年山东省烟台市蓬莱市中考数学一模试卷
1.若|−x|=5，则x等于()
A. −5
B. 5
C. 1
5
D. ±5
2.下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
3.如图，小明用由5个相同的小立方体搭成的立体图形
研究几何体的三视图的变化情况．若由图1变到图2，
不改变的是()
A. 主视图
B. 主视图和左视图
C. 主视图和俯视图
D. 左视图和俯视图
4.下列计算正确的是()
A. √3+√9=3+√3
B. a3⋅a4=a12
C. (x−3)(x+2)=x2−6
D. (−a3)2=a5
5.新冠病毒的直径0．0⋯00n个1m，若0．0⋯00n个1m用科学记数当记作1.1×10−7，
则n的值为()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
6.疫情防控，我们一直在坚守，某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居
民安全出行”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是()
A. 1
3B. 4
9
C. 1
9
D. 2
3
7.某商场统计五个月来两种型号洗衣机的销售情况，制成了条形统计图，则在五个月
中，下列说法正确的是()
A. 甲销售量比乙销售量稳定
B. 乙销售量比甲销售量稳定
C. 甲销售量与乙销售量一样稳定
D. 无法比较两种洗衣机销售量稳定性
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分
BD的长为半径作弧，两
别以点B和点D为圆心，大于1
2
弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
9.若点M(−7,m)、N(−8,n)都在函数y=−(k2+2k+4)x+1(k为常数)的图象上，
则m和n的大小关系是()
A. m>n
B. m<n
C. m=n
D. 不能确定
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，分析下
列四个结论：
①abc<0；②b2−4ac>0；③3a+c>0；④(a+c)2<b2，
其中正确的结论有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，
∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于
E，则sinE的值为()
A. 1
2
B. √2
2
C. √32
D. √33
12. 如图，在△ABC 中，AB =BC =10，AC =12，BO ⊥AC ，垂足为点O ，过点A 作射
线AE//BC ，点P 是边BC 上任意一点，连接PO 并延长与射线AE 相交于点Q ，设B ，P 两点之间的距离为x ，过点Q 作直线BC 的垂线，垂足为R.岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有( )
①△AOB ≌△COB ；
②当0<x <10时，△AOQ≌△COP ；
③当x =5时，四边形ABPQ 是平行四边形；
④当x =0或x =10时，都有△PQR∽△CBO ；
⑤当x =14
5时，△PQR 与△CBO 一定相似．
A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 5条 13. 计算：20200+(13)−1=______．
14. 关于x 的方程tx x−3+t =2
3−x 无解，则t =______．
15. 已知关于x 的不等式组{x >2a −32x ≥3(x −2)+5
有且仅有三个整数解，则a 的取值范围是______．
16. 文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇曾研究过圆弧所围
成的许多图形的面积问题，如图所示称为达芬奇的“猫
眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为A 、
B 、
C 、
D ，弧BD 所在的圆的圆心为A(或C)，若正方形的边长为
2，则图中阴影部分的面积为______．
17. 如图，正比例函数y =x 的图象与反比例函数y =k x 的图
象在第一象限交于点A ，将线段OA 沿x 轴向右平移3个单
位长度得到线段O′A′，其中点A 与点A′对应，若O′A′的
中点D 恰好也在该反比例函数图象上，则k 的值为
______．
18. 长为20，宽为a 的矩形纸片(10<a <20)，如图那样折一下，剪下一个边长等于矩
形宽度的正方形(称为第一次操作)；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作)；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a 的值为______．
19. 先化简：a 2−1a 2−2a+1÷a+1a−1−a a−1； 再在不等式组{3−(a +1)>02a +2≥0的整数解中选取一个合适的解作为a 的取值，代入求值．
20. 某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如
下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：
(1)请将条形统计图补全；
(2)获得一等奖的同学中有14来自七年级，有1
4来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．
21.如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到它的侧面简化结构图(图2)，支架
与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E、D，现测得DE=20厘米，DC=40厘米，∠AED=58°，∠ADE= 76°．
(1)求椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)(精确到1厘米)；
(2)求椅子两脚B、C之间的距离(精确到1厘米)．
(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin76°≈0.97，cos76°≈
0.24，tan76°≈4.00)
22.某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的
进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件
数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，商场有哪几种进货方案？
(3)商场决定甲种玩具的售价为20元，乙种玩具售价为35元，试问该商场在(2)的条
件下如何进货利润最大？最大利润是多少？
23.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动
点(不与O，B重合)，过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，BC⏜于
D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．
(1)求证：FC=FD．
(2)当E是BC⏜的中点时，
①若∠BAC=60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什
么特殊四边形，并说明理由；
②若AC
BC =3
4
，且AB=30，则OP=______．
24.情境创设：
如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE=______°.
问题探究：
如图2，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC 形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线HA的垂线，垂足分别为M、N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
如图3，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为一边，向△ABC 形外作正方形ABME和正方形ACNF，连接E、F交射线HA于G点，试探究线段EG和FG之间的数量关系，并说明理由．
25.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A，B两
点(点A位于点B的左侧)，与y轴相交于点C，M是抛
物线的顶点，直线x=1是抛物线的对称轴，且点C
的坐标为(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴
于点D.若PD=m，△PCD的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②当S取得最值时，求点P的坐标．
(3)在(2)的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了绝对值，利用绝对值等于一个正数的数有两个进而得出是解题关键．直接利用绝对值的性质得出答案即可．
【解答】
解：∵|−x|=5，
∴−x=±5，
∴x=±5．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】【试题解析】
解：A.是轴对称图形，故此选项正确；
B.不是轴对称图形，故此选项错误；
C.不是轴对称图形，故此选项错误；
D.不是轴对称图形，故此选项错误．
故选A．
直接根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左
边看得到的图形，可得答案．
【解答】
解：主视图都是第一层三个正方形，第二层左边一个正方形，故主视图不变；
左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；
俯视图底层的正方形位置发生了变化．
∴不改变的是主视图和左视图．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：A、原式=√3+3，符合题意；
B、原式=a7，不符合题意；
C、原式=x2−x−6，不符合题意；
D、原式=a6，不符合题意，
故选：A．
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了二次根式的加减法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：1.1×10−7=0.00000011，
∴n的值为为6．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】
解：将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，
所以他们恰好抽到同一个小区的概率为3
9=1
3
；
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：甲每月平均销售量是：1
5
(1+3+4+1+1)=2(百台)，
乙每月平均销售量是：1
5
(2+3+2+2+1)=2(百台)，
则甲的方差是：1
5
[3×(1−2)2+(3−2)2+(4−2)2]=1.6，
乙的方差是：1
5
[3×(2−2)2+(3−2)2+(1−2)2]=0.4，
∵1.6>0.4，
∴乙销售量比甲销售量稳定；
故选：B．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解析】解：连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8．
∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD=AD=4，
∴BF=DF=2，
∴AF=AD+DF=4+2=6．
故选：B．
连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵k2+2k+4=(k+1)2+3>0
∴−(k2+2k+4)<0，
∴该函数是y随着x的增大而减小，
∵−7>−8，
∴m<n，
故选：B．
根据一次函数的变化趋势即可判断m与n的大小．
本题考查一次函数的性质，解题的关键是判断k2+2k+4与0的大小关系，本题属于中等题型．
10.【答案】B
【解析】解：①由开口向下，可得a<0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c>0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b<0，abc>0，故①错误；
②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2−4ac>0，故②正确；
③当x=−3，y<0时，即9a−3b+c<0(1)
当x=1时，y<0，即a+b+c<0(2)
(1)+(2)×3得：12a+4c<0，
即4(3a+c)<0
又∵4>0，
∴3a+c<0．
故③错误；
④∵x=1时，y=a+b+c<0，x=−1时，y=a−b+c>0，
∴(a+b+c)(a−b+c)<0，
即[(a+c)+b][(a+c)−b]=(a+c)2−b2<0，
∴(a+c)2<b2，
故④正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；
③分别比较当x=−2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c<0，即2a+ c<0；又因为a<0，所以3a+c<0.故错误；
④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c<0，再将x=−1代入抛物线解析式得到a−b+c>0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到(a+c)2<b2，
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
11.【答案】A
【解析】解：连接OC，
∵EC切⊙O于C，
∴∠OCE=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠A=∠CDB=30°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COE=30°+30°=60°，
∴∠E=180°−90°−60°=30°，
∴sinE=1
，
2
故选A．
连接OC，求出∠OCE=90°，求出∠A=∠ACO=30°，根据三角形外角性质求出∠COE= 60°，即可求出答案．
本题考查了切线性质，三角形的外角性质，圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，连接OC构造直角三角形是做题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：①∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，
∴AO=CO，AB=BC，BO=BO，
∴△AOB≌△COB；
故此选项正确；
②∵AE//BC，
∴∠AQO=∠OCP，
∵AO=CO，∠AOQ=∠POC，
∴当0<x<10时，△AOQ≌△COP；
故此选项正确；
③当x=5时，
∴BP=PC=5，
∵AQ=PC，
∴AQ=PB=5，
∵AQ//BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形；
故此选项正确；
④当x=0时，P与B重合，
∴∠OBC=∠QPR，
又∵∠BOC=∠PRQ=90°，
∴△BCO∽△PQR；
当x=10时，P与C重合，此时Q与A重合，
∵∠QPR=∠BPO，∠QRP=∠BOC=90°，
∴△QRP∽△BOC，
当x=0时，△BCO∽△PQR与△PQR∽△CBO不相符；故此选项错误；
⑤若△PQR与△CBO一定相似，
则∠QPR=∠BCO，
故OP=OC=6，
过点O作OH⊥BC于H，
由射影定理得CO2=CH⋅CB，
CP=3.6，
可求得CH=1
2
故C P=7.2，所以BP=x=2.8
时，△PQR与△CBO一定相似．
故当x=14
5
故此选项正确．
故正确的有4条．
故选：C．
根据相似三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定方法分别进行分析即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质和全等三角形的判定等知识，灵活应用相关知识，此题有利用提高自身综合应用能力．
13.【答案】4
【解析】解：原式=1+3=4，
故答案为：4．
利用零次幂的性质、负整数指数幂的性质进行计算，再算加减即可．
此题主要考查了零次幂、负整数指数幂，关键是掌握负整数指数幂：a−p=1
a p
(a≠0,p 为正整数)，零指数幂：a0=1(a≠0)．
14.【答案】−2
3
【解析】解：∵tx
x−3+t=2
3−x
，
∴−tx+t(3−x)
3−x =2
3−x
，
∴−tx+t(3−x)=2，
解得x=1.5−1
t
∵关于x的方程tx
x−3+t=2
3−x
无解，
∴1.5−1
t
=3，
解得t=−2
3
．
故答案为：−2
3
．
首先根据tx
x−3+t=2
3−x
，用含t的代数式表示出x；然后根据关于x的方程tx
x−3
+t=2
3−x
无
解，令x=3，求出t的值是多少即可．
此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
15.【答案】1
2
≤a<1
【解析】解：解不等式2x≥3(x−2)+5，得：x≤1，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴此不等式组的整数解为1、0、−1，
又x>2a−3，
∴−2≤2a−3<−1，
解得：1
2
≤a<1，
故答案为：1
2
≤a<1．
根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．
本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．16.【答案】2
【解析】解：连接AB、AD、BD，
则△ABD为等腰直角三角形，且AB=AD=√2，
∴S
阴影部分=S
圆
−2×(S
扇形BAD
−S△BAD)
=π−2×(90π×(√2)2
360−1
2
×√2×√2)
=π−π+2
=2，
故答案为：2．
连接AB、AD、BD，根据题意得到△ABD为等腰直角三角形，AB=AD=√2，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等腰直角三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：作DE//x轴交OA于E，如图，
∵线段OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段O′A′，
∴OO′=3，OA=O′A′，
∵OA//O′A′，
∴四边形OO′DE为平行四边形，
∴OE=O′D，
∵点D为O′A′的中点，
∴O′D=1
2
O′A′，
∴OE=1
OA，
2
设E(t,t)，则A(2t,2t)，D(t+3,t)，
∵A(2t,2t)，D(t+3,t)在反比例函数y=k
的图象上，
x
∴k=2t⋅2t=t(t+3)，解得t=1，k=4．
故答案为4．
作DE//x轴交OA于E，如图，先利用平移的性质得到OO′=3，OA=O′A′，再证明四边
OA，设E(t,t)，则A(2t,2t)，形OO′DE为平行四边形得到OE=O′D，接着判定OE=1
2
D(t+3,t)，根据反比例函数图象上点的坐标特征k=2t⋅2t=t(t+3)，然后先求出t，从而得到k的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
18.【答案】12或15
【解析】
【分析】
此题考查了折叠的性质与矩形的性质，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．
首先根据题意可得可知当10<a<20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20−a，第二次操作时正方形的边长为20−a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20−a，2a−20，然后分别从20−a>2a−20与20−a<2a−20去分析求解，即可求得答案．
【解答】
解：由题意，可知当10<a<20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20−a，所以第二次操作时剪下正方形的边长为20−a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20−a，2a−20．
此时，分两种情况：
①如果20−a>2a−20，即a<40
，那么第三次操作时正方形的边长为2a−20．
3
则2a−20=(20−a)−(2a−20)，解得a=12；
②如果20−a<2a−20，即a>40
3
，那么第三次操作时正方形的边长为20−a．则20−a=(2a−20)−(20−a)，解得a=15．
∴当n=3时，a的值为12或15．
故答案为：12或15．
19.【答案】解：原式=(a+1)(a−1)
(a−1)2⋅a−1
a+1
−a
a−1
=1−
a
a−1
=
a−1
a−1
−
a
a−1
=−1
a−1
，
解不等式3−(a+1)>0，得：a<2，
解不等式2a+2≥0，得：a≥−1，
则不等式组的解集为−1≤a<2，
其整数解有−1、0、1，
∵a≠±1，
∴a=0，
则原式=1．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式组的解集，在其解集范围内选取合适的a的值代入分式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，解答此类问题时要注意a 的取值要保证分式有意义．
20.【答案】解：(1)调查的总人数为10÷25%=40(人)，
所以一等奖的人数为40−8−6−12−10=4(人)，
条形统计图为：
(2)画树状图为：(用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生)
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率=4
12=1
3
．
【解析】(1)先利用参与奖的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出一等奖的人数，然后补全条形统计图；
(2)画树状图(用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生)展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
21.【答案】解：(1)如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC=90°，
∵DE//MN，
∴∠DCP=∠ADE=76°，
则在Rt△CDP中，DP=CDsin∠DCP=40×sin76°≈39(cm)，
答：椅子的高度约为39厘米；
(2)作EQ⊥MN于点Q，
∴∠DPQ=∠EQP=90°，
∴DP//EQ，
又∵DF//MN，∠AED=58°，∠ADE=76°，
∴四边形DEQP是矩形，∠DCP=∠ADE=76°，∠EBQ=∠AED=58°，
∴DE =PQ =20，EQ =DP =39，
又∵CP =CDcos∠DCP =40×cos76°≈9.6(cm)，
BQ =EQ tan∠EBQ =39
tan58∘≈24.4(cm)，
∴BC =BQ +PQ +CP =24.4+20+9.6≈54(cm)，
答：椅子两脚B 、C 之间的距离约为54cm ．
【解析】本题主要考查解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)；②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
(1)作DP ⊥MN 于点P ，即∠DPC =90°，由DE//MN 知∠DCP =∠ADE =76°，根据DP =CDsin∠DCP 可得答案；
(2)作EQ ⊥MN 于点Q ，可得四边形DEQP 是矩形，知DE =PQ =20，EQ =DP =39，再分别求出BQ 、CP 的长可得答案．
22.【答案】解：(1)设甲种玩具进价x 元/件，则乙种玩具进价为(40−x)元/件， 90x =15040−x x =15，
经检验x =15是原方程的解．
∴40−x =25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
(2)设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具(48−y)件，
{y <48−y 15y +25(48−y)≤1000
解得20≤y <24．
∵y 是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y 取20，21，22，23，
即：甲玩具20件，乙玩具28件；
甲玩具21件，乙玩具27件；
甲玩具22件，乙玩具26件；
甲玩具23件，乙玩具25件；
共有4种方案．
(3)设购进甲种玩具y件，总利润为z元，则购进乙种玩具(48−y)件，
根据题意得：z=(20−15)y+(35−25)(48−y)=−5y+480
∵比例系数k=−5<0，
∴z随着y的增大而减小，
∴当y=20时有最大利润z=−5×20+480=380元．
【解析】(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40−x)元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48−y)件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．
(3)列出有关总利润和进货量的一次函数关系后再第(2)题求得的范围内求最大值即可．本题考查理解题意的能力，第一问以件数做为等量关系列方程求解，第2问以玩具件数和钱数做为不等量关系列不等式组求解，第三问则根据题意列出一次函数求解．
23.【答案】9
【解析】证明：(1)连接OC，
(1)证明：连接OC
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∴∠OCB+∠DCF=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PD⊥AB，
∴∠BPD=90°，
∴∠OBC+∠BDP=90°，
∴∠BDP=∠DCF，
∵∠BDP=∠CDF，
∴∠DCF=∠CDF，
∴FC=FD；
(2)如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵点E是BC⏜的中点，
∴∠BOE=∠COE=60°，
∵OB=OE=OC，
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB=BE=CE=OC ∴四边形BOCE是菱形；
②∵AC
BC =3
4
，
∴设AC=3k，BC=4k(k>0)，
由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即(3k)2+(4k)2=302，解得k=6，∴AC=18，BC=24，
∵点E是BC⏜的中点，
∴OE⊥BC，BH=CH=12，
∴S△OBE=1
2OE×BH=1
2
OB×PE，即15×12=15PE，解得：PE=12，
由勾股定理得OP=√OE2−PE2=√152−122=9．
故答案为：9．
(1)连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CF以及∠OBC=∠OCB得∠FCD=∠FDC，可证得结论；
(2)①如图2，连接OC，OE，BE，CE，可证△BOE，△OCE均为等边三角形，可得OB= BE=CE=OC，可得结论；
②设AC=3k，BC=4k(k>0)，由勾股定理可求k=6，可得AC=18，BC=24，由面积法可求PE，由勾股定理可求OP的长．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰三角形的性质，切线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是本题的关键．
24.【答案】90
【解析】解：(1)∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠EDF，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠EDF+∠ADC=90°，
∴∠ADE=180°−90°=90°，
故答案为：90；
(2)解：EM=FN，如图2，
理由如下：∵Rt△ABE是等腰三角形，
∴EA=BA，∠BAE=90°，
∴∠BAH+∠MAE=90°，
∵AH⊥BC，EM⊥AH，
∴∠AME=∠AHB=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠ABH=∠MAE，在△EAM与△ABH中
{∠AME=∠AHB ∠EAM=∠ABH AE=AB
∴△EAM≌△ABH(AAS)，
∴EM=AH．
同理AH=FN.
∴EM=FN；
(3)解：EG=FG，
如图3，作EP⊥HG，FQ⊥HG，垂足分别为P、Q，
由(2)可得EP=FQ，
∵EP⊥HG，FQ⊥HG，
∴∠EPG=∠FQG=90°，
在△EPG和△FQG中
∵{∠EPG=∠FQG ∠PGE=∠FGQ EP=FQ
，
∴△EPG≌△FQG，
∴EG=FG．
(1)求出∠A=∠EDF，∠A+∠ABC=90°，推出∠EDF+∠ADC=90°，求出∠ADE的度数即可；
(2)根据全等三角形的判定得出△EAM≌△ABH，进而求出EM=AH.同理AH=FN，因而EM=FN．
(3)与(2)证法类似求出EG=FG，求出△EPG≌△FQG即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
25.【答案】解：(1)∵直线x =1是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)， ∴c =3，−b 2×(−1)=1，
∴b =2，
∴抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3；
(2)①∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，
∴点M(1,4)，
∵抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3与x 轴相交于A ，B 两点(点A 位于点B 的左侧)， ∴0=−x 2+2x +3
∴x 1=3，x 2=−1，
∴点A(−1,0)，点B(3,0)，
∵点M(1,4)，点B(3,0)
∴直线BM 解析式为y =−2x +6，
∵点P 在直线BM 上，且PD ⊥x 轴于点D ，PD =m ，
∴点P(3−m 2,m)，
∴S △PCD =12×PD ×OD =12m ×(3−m 2)=−14m 2+32m ，
∵点P 在线段BM 上，且点M(1,4)，点B(3,0)，
∴0<m ≤4
∴S 与m 之间的函数关系式为S =−14m 2+32m(0<m ≤4)
②∵S =−14m 2+32m =−14(m −3)2+94，
∴当m =3时，S 有最大值为94，
∴点P(32,3)
∵0<m ≤4时，S 没有最小值，
综上所述：当m =3时，S 有最大值为94，此时点P(32,3)；
(3)存在，
若PC =PD =m 时，
∵PD =m ，点P(3−m 2,m)，点C(0,3)，
∴(3−m 2−0)2+(m −3)2=m 2，
∴m 1=18+6√7(舍去)，m 2=18−6√7，
∴点P(−6+3√7,18−6√7)；
若DC=PD=m时，
∴(3−m
2
−0)2+(−3)2=m2，
∴m3=−2−2√7(舍去)，m4=−2+2√7，∴点P(4−√7,−2+2√7)；
若DC=PC时，
∴(3−m
2−0)2+(m−3)2=(3−m
2
−0)2+(−3)2，
∴m5=0(舍去)，m6=6(舍去)
综上所述：当点P的坐标为：(−6+3√7,18−6√7)或(4−√7,−2+2√7)时，使△PCD为等腰三角形．
【解析】(1)点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；
(2)①先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解；
②利用二次函数的性质可求解；
(3)分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。