刚度矩阵的集成

4
k14 k 24 k 34 k 44 k54 k64
6
k16 k 26 k 36 k 46 k56 k66
（2）用单元定位向量确定单元刚度矩阵每个 元素在结构刚度矩阵中位置的方法是：
1.将单元 e 的定位向量分别写在单元刚度矩阵的上 (e) 方和右侧。这样 k ( e )的元素 k ij 的行、列号就分别与 单元定位向量对应的一个分量相匹配。 (e) 2.若单元定位向量的某个分量为零，则 k 中相应的 行和列可以删去，亦即不送入结构刚度矩阵 K 中。
送K 的 j 行 j 列子矩阵位置累加。
k k ( 2) k
k k
( 2) 34 ( 2) 44
3 4
k k ( 3) k
( 3) 22 ( 3) 42
结构力学教研室
3
西南交通大学
结构原始刚度矩阵K的组集
1

3
K11 K K 21 K 31 K 41
4
结构刚度系数
结构原始刚度矩阵 K 中元素Kij 的物理意义： 当仅发生广义位移Δj＝1时，在第i个广义位移对应 处所需施加的广义力。
3 (2) (1) 1 3m 5m (3) 2 4m 4
结构刚度系数
K87
K87
3
Δ7 1
0
k13 k 23 k 33 k 43 k53 k63
0
k14 k 24 k 34 k 44 k54 k64
1
2
k15
3
结点位移码：
(1)
②单元的定位向量为：
结点位移码 6
k16 k 26 k 36 k 46 k56 k66
(2)
k 25 k 35 k 45 k55 k65
现将单元杆端位移按结点i、j划分为两个结点位移 子阵， 则整体坐标单元刚度方程为
3 4 (2) (1) 1 3m 5m (3) 2 4m
δi δ (e) δ j
(e)
k ii Fi k ji F j
(e)
k ij δi k jj δ j
2
3
(1) k11
(1) k13
( 3) k 22
k
(1) 31
(1) ( 2) k 33 k 33
( 3) k 42
( 2) k 43
( 3) k 24 ( 2) k 34 ( 2) ( 3 ) k 44 k 44
4
1
结 点 码
(0,0,0)
一.结构原始刚度矩阵的组集
(3)
(1,2,3)
4
(4,5,6)
以图示的平面刚架为例来说明用后处理法组集结构 的原始刚度矩阵。
3 (2) (1) (3) 2 3m 5m 4m 4 y Ɵ x
(2) 2
由单元刚度矩阵直接 1 u1 v 形成己考虑边界条件 2 1 的结构刚度矩阵 或结 Δ 3 1 构刚度方程。 4 u2
k (3) 22 (3) k 42
“对号入座”的具体作法：
1．将各单元始、末两端结点码i、j分别与结构的整 体结点码i、j相对应。
(e) 2．单元刚度子矩阵 k ii 送 K 的i 行i 列子矩 阵位置累加；
各单元刚度矩阵的四个子块分别为 1 3
(1) 1 k13 (1) k 33 3
(e)
(e)
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2
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结构原始刚度矩阵K的组集
各单元刚度矩阵的四个子块分别为 1 3
(1) 1 k13 (1) k 33 3
k (1)
k (1) 11 (1) k 31
3
结点码——各单元 的始、末两端i、j 的结点号码。 2 4
(3) 2 k 24 (3) k 44 4
K


Δ1 Δ2 Δ3 Δ4
u1 v1 θ1 u2 v2 θ2 u3 v3 θ3 u4 v4 θ4
(2) (3)
4
K87 ？？ K26 ？？
1 3m
(1)
4m 2
5m
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4
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对于由自由式单刚集成的原始刚度矩阵具 有以下性质：
1. 对称性 由反力互等定理可得 Kij＝Kji，因此K 是对称矩阵。 2. 奇异性 因为所有单元都是自由式的，结构存在刚体位移，在 给定平衡的外荷载作用下不可能确定其惯性运动，也 即不可能确定结构的位移，因此K 是奇异的。 3. 稀疏性 根据集成规则，有单元相连接的杆端结点称为相关 结点，无单元连接的结点为不相关结点。显然如果i 和 j 为不相关结点时，则 K 的子矩阵Kij＝Kji=0。 因此，如果作结构离散化时注意了使相关结点编码 的最大差值尽可能小，则结构原始刚度矩阵 K 只在 对角线附近一带状区域内有非零的子矩阵，也即K 具有稀疏性。
(3)
k (3)
0 0 0 4 5 6
1
3 (1) 3m
(2)
4 (3) 4m 2
三. 按前处理法组集结构刚度方程
下面仍以图示的平面刚架来说明用前处理法组集结 构的刚度矩阵。
3 (1) 1 (0,0,0)
(0,0,0)
(3)
(1,2,3)
4
结构的结点位移分量只引入独立的未知位移分量； 与结点位移列向量相对应的结点力向量不包括支座 反力，即
(4,5,6)
(2) 2
按前处理法对结点位移编码时，将已知为零的结点 位移分量编号均用零表示。
(4,5,6)
(3)
(7,8,9)
(10,11,12)
4
F KΔ
Δ K F
1
(2) 2
F KΔ
结构的原始刚度矩阵为12阶 方阵。
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前处理法
结构边界条件在形成 结构刚度方程之前就 进行处理的方法。 只引入独立的未知位 移分量， 结点力向量不包括支 座反力，由单元刚度 矩阵直接形成己考虑 边界条件的结构刚度 矩阵。 前处理法在程序编制 中，必须建立结点位 移分量编号数组，来 代替后处理法的约束 处理数组。 3 (1) 1 (0,0,0)
1
F KΔ
（K为6阶方阵）
5 v2 6 2
结构的原始刚度方程
F
1
F
2
F
3
F
4

形成结点外力与结点位移之间的关系，通常称为结 构的原始刚度方程
F KΔ

2
所谓“原始”是表示尚未进行支承条件处理。
(1) (1) K12 K13 K14 k11 0 k13 0 (3) (3) K 22 K 23 K 24 0 k22 0 k 24 (1) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) K 32 K 33 K 34 k31 0 k33 k33 k34 (3) ( 2) ( 2) (3) K 42 K 43 K 44 k 43 k44 k44 0 k42
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6
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③单元的定位向量为：
结点位移码 5
k15 k 25 k 35 k 45 k55 k65
0
k11 k 21 k 31 k 41 k51 k61
0
k12 k 22 k 32 k 42 k52 k62
0
k13 k 23 k 33 k 43 k53 k63
K
Δ1 Δ 2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6
①单元的定位向量为：
k (1)
k11 k 21 k 31 k 41 k51 k61
0
k12 k 22 k 32 k 42 k52 k62

k (1)
单元子矩阵 k
(e) ij
送K 的i 行j 列子矩阵位置累加；
k (1) 11 (1) k 31
3
( 2) 33 ( 2) 43
单元子矩阵 k ji 送K 的j 行i 列子矩阵位置累加； 单元子矩阵 k
(e) jj
(e)
4
2
4
( 3) 2 k 24 ( 3) k 44 4
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1
第 八 章 矩 阵 位 移 法
第四节 结构整体分析
结构的整体分析
本节将讨论利用结点变形连续条件和平衡条件， 在结构坐标系中将各单元组装起来，建立结构的 结点力和结点位移间的关系式——结构总刚度方 程，即矩阵位移法的基本方程并求解，这就是所 谓的整体分析。
后处理法
所有单元均采用自由式单元刚 度矩阵，形成结构的原始刚度 矩阵。 根据已知位移边界条件，进行 边界条件处理，形成结构刚度 矩阵 K 或结构刚度方程。 用后处理法分析结构时，每个 结点的位移分量数是相同的 各单元刚度矩阵的阶数也是相 同的 原始刚度矩阵的阶数由结点总 数乘结点的位移分量来确定。 整个分析过程便于编制通用程 序。 图示的平面刚架，用后 处理法分析结构时:4个 刚结点， 共有12个结点位移分量 3 (1) 1 (1,2,3)
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5
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由单元刚度矩阵直接形成己考虑边界条件的结构刚 度方程。
(1).结点位移分量的编码及单元的定位向量
由单元杆端位移分量（亦称局部位移码）对应的结 构结点位移分量（亦称整体位移码）序号所组成 的向量，称为单元的定位向量。
F KΔ
F F F F F F
2
k12 k 22 k 32 k 42 k52 k62
3
k13 k 23 k 33 k 43 k53 k63
4
k14 k 24 k 34 k 44 k54 k64
5
k15 k 25 k 35 k 45 k55 k65
k (2)
4m
1 2 3 4 5 6
1
3 (1) 3m
(2)
4 (3) 4m 2
5m
X Y M X Y M X Y M X Y M
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4


把每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码， 逐一送到结构原始刚度矩阵中相应的行和列的位置上 去，就可得到结构原始刚度矩阵。 简单地说就是各单刚子块“对号入座”就形成总刚。
4
(2) 3 k 34 (2) k 44 4
k (2) k (2) 33 (2) k 43
k (3)
Δ1 u1 Δ v 2 1 Δ θ Δ 3 1 u Δ 4 2 Δ5 v 2 θ 2 Δ6
F1 X 1 F Y 2 1 F M F 3 1 F4 X 2 F5 Y2 M 2 F6
k16 0 结点位移分量序 号所组成的向量 k 26 0 ，也称为单元的 k 36 0 定位向量。 k 46 1 k56 2 3 4 (2) k66 3 (3)
(1) 1 3m 5m 2
1
k11 k 21 k 31 k 41 k51 k61