天津市武清区雍阳中学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（ ） A ．12 B ．13 C ．512 D ．712 2．长方体1111ABCD A BC D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1AC 垂直的长方体截面的形状为（ ）
A ．六边形
B ．五边形
C ．四边形
D ．三角形
3．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=
，则cos ,OA BC 的值为（ ）
A ．0
B ．22
C ．12-
D ．12
4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ）
A ．26
B ．36
C ．56
D ．13
5．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( )
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
6．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3
π=,,a AB b CD =则=a b ⋅
A ．5-
B ．1-
C ．3-
D ．6-
7．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在
坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S ==
B ．21=S S 且23S S ≠
C ．31S S =且32S S ≠
D ．32S S =且31S S ≠
8．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12
CD AE =.设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A ．22
B ．1
C ．2
D ．3
9．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点Q 为1A B 的中点，若动点P 在直线11B C 上运动时，异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60︒
D ．无法确定 10．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，
E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）
A 45
B ．2
C ．22
D ．3
11．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面
ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面 ABCD 内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（ ）
A ．352-
B ．23-
C ．25-+
D ．332- 12．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）
A ．43
B ．53
C ．2
D ．259
二、填空题
13．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BC 11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．
）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为10，则线段BD 的长为_______．
14．如图，正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2．点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B ，底面ABC 的动点，且1A P
平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ．则点Q
的轨迹的长度为___________．
15．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，且AA 1=AB=AC ，则异面直线AB 1与BC 1所成角为_____．
16．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 是异面直线；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22.其中正确命题的序号是______________.（将你认为正确的命题序号都填上）
17．设G 是三棱锥V ABC -的底面重心，用空间的一组基向量,,VA VB VC 表示向量VG =
________________________
18．已知点()121A --，，，()222B ，
，，点P 在Z 轴上，且点P 到,A B 的距离相等，则点P 的坐标为___________．
19．已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是11B C 和11C D 的中点，点1A 到平面DBEF 的距离为________________．
20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．
三、解答题
21．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点.
（1）证明：AE //平面BDC 1；
（2）若123AA =，求DE 与平面BDC 1所成角的正弦值. 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且3AD PD ==，33PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，点E 为线段PC 的中点.
（1）求证：DE ⊥面PBC ；
（2）若点F 在线段AB 上，且13
AF AB =，求二面角C DE F --的平面角的正弦值. 23．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．
（1）证明：AD CF ⊥．
（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．
24．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，,,,E F G O 分别是,,,PC BC PD AD 的中点．
（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．
25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.
（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；
（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值. 26．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面,ABC 24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点.
（1）证明：EF ⊥平面ABC ；
（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的正弦值.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据向量共面定理求解．
【详解】 由题意1126
MA OA OM OA OB OC λ=-=--，
1526
MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26
MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-， ∵MA ，MB ，MC 共面，
∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，
1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， ∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩
． 故选：B ．
【点睛】
结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=．
2．B
解析：B
【分析】
以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，再过Q 作//QF MN 交11B C 于F ，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，即可判断截面形状.
【详解】
以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()1
25,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ，则()
20,0,5Q PQ x =-， ()12520500Q A C PQ x ∴⋅=---=，解得18Q x =，即()18,0,10Q ，
设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，
()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22M
x =，即()22,0,0M ， 设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，
1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5N
y =，即()25,7.5,0N ，
过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，
过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--， 则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，
综上，可得过点P 且与1AC 垂直的长方体截面为五边形QMNEF .
故选：B.
【点睛】
本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.
3．A
解析：A
【分析】
利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解．
【详解】
由题意，可知OB OC =，
则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos 33OA OC OA OB π
π
=⋅-⋅1()02
OA OC OB =⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=.
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记
向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．A
解析：A
【分析】
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26
． 【详解】
以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0）， ()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1
,AE DC ＞26922=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26
． 故选A ．
【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．D
解析：D
【分析】
可以建立空间直角坐标系，求出向量1A M
与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角．
【详解】
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A BC D -中棱长为2，
则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，
(0,N 2，1)，
1
(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)， 设异面直线1A M 与DN 所成角为θ， 则11cos 0A M DN
A M DN θ⋅==⋅，90θ∴=． ∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．
故选D ．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题． 6．B
解析：B
【解析】
设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ，则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=，2a AB m n ==+，32b CD m n ==-+，
()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-，故选B. 7．D
解析：D
【分析】
试题分析：结合其空间立体图形易知，112222
=
⨯⨯=S ，2312222S S ==⨯=所以23S S =且13S S ≠，故选D ．
考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式． 8．C
解析：C
【详解】
分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE 与平面ABE 所成的角，求解k 的最大值，进而求解平面BDE 和平面ABC 的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果.
详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - ，
则31(0,1,0),(0,0,),(0,1,),(
,0)22k A D E k B ， 取AB 的中点M ，则33(
,0)4M ，则平面ABE 的一个法向量为33(,0)44CM =， 由题意23
sin 21CE CM
CE CM k α⋅==⋅+
又由ππ[,]64α∈，所以2132sin 2221k
α≤=≤+22k ≤≤， 所以k 2
当2k =BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则
2023120222n DE y z n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩
， 取(3,1,2)n =--，由平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =，
设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，
则3cos 3n m n m θ⋅==⋅，所以sin 63
θ=，所以tan 2θ=，故选C. 点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用. 9．A
解析：A
【分析】
分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可得到所求角的余弦值的最大值，再根据余弦函数的单调性即可得到结果.
【详解】
因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，所以1,,CA CB CC 两两互相垂直， 所以分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图：
因为12AC BC AA ===，
所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)A ，所以(1,1,1)Q ，
设(0,,2)P y ，
则(2,2,0)AB =-，(1,1,1)PQ y =--，
设异面直线AB 与PQ 所成角为θ，
则cos θ=|cos ,|AB PQ <>=||||||
AB PQ AB PQ
⋅=
=
=
=
=
≤=3y =时等号成立） 又(0,
)2πθ∈，且cos y θ=在(0,)2π内递减， 所以[,)62
ππθ∈， 所以异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为30°.
故选：A
【点睛】
本题考查了利用空间向量解决夹角，考查了异面直线所成角的范围以及余弦函数的单调性，属于中档题.
10．D
解析：D
【分析】
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值.
【详解】
如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，
则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，
()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，
11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-， 由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩
，得01y ≤≤， ()()2221224548B P x y y y ∴=-+-+=-+，
01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3.
故选：D.
【点睛】
本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.
11．C
解析：C
【分析】
若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解
【详解】
如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由
PM 5=可得1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ =，1DN MQ ==，故552NM DN MQ =--=-
故答案选：C
【点睛】
本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题
12．B 解析：B
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.
【详解】
以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，
11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，
33(3)3340,4
x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=
-+225488191625255
x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||
5tan ||3
AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53
. 故选：B .
【点睛】
本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.
二、填空题
13．【分析】以E 为原点EAEC 为xy 轴建立空间直角坐标系设用空间向量法求得t 进一步求得BD 【详解】以E 为原点EAEC 为xy 轴建立空间直角坐标系如下图解得t=1所以填【点睛】利用空间向量求解空间角与距离的 解析：22 【分析】 以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，设(0,,2)(11)D t t -≤≤，用空间向量法求得t ，进一步求得BD.
【详解】
以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，如下图．
31(0,0,0),(
,,2),(0,1,0),(0,,2)(11)22E F B D t t --≤≤ 31(,,2),(0,1,2)22
EF BD t ==+ 2(1)4102cos 45(1)4
t EF BD EF BD t θ++⋅===⋅++ 解得t=1，所以22BD =，填22．
【点睛】
利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
14．【分析】根据已知可得点Q 的轨迹是过△MBC 的重心且与BC 平行的线段进而根据正三棱柱ABC ﹣A1B1C1中棱长均为2可得答案【详解】∵点P 是侧面BCC1B1内的动点且A1P ∥平面BCM 则P 点的轨迹是过
解析：4 3
【分析】
根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心，且与BC平行的线段，进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，可得答案．
【详解】
∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，
则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，
则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，
∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，
则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面ABC相交得到的的线段m，
故线段m过△ABC的重心，且与BC平行，
由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，
故线段m的长为：2
3
×2=
4
3
，
故答案为4 3
【点睛】
本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．
15．【解析】连结A1B∵AA1⊥面ABC平面A1B1C1∥面ABC∴AA1⊥平面
A1B1C1∵A1C1⊂平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC与△A1B1C1是全等三角形AB⊥AC∴A1B1⊥A1
解析：
2
【解析】
连结A1B，
∵AA1⊥面ABC，平面A1B1C1∥面ABC，
∴AA1⊥平面A1B1C1，
∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，
∵△ABC与△A1B1C1是全等三角形，AB⊥AC，
∴A 1B 1⊥A 1C 1，
∵A 1B 1∩AA 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，
又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AB 1，
∵矩形AA 1B 1B 中，AA 1=AB ，
∴四边形AA 1B 1B 为正方形，可得A 1B ⊥AB 1，
∵A 1B∩A 1C 1=A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，
结合BC 1⊂平面A 1BC 1，可得AB 1⊥BC 1，即异面直线AB 1与BC 1所成角为2π． 故答案为2
π．
16．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设列出关于的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解】解：对于①直线经过平
解析：①③④
【分析】
由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设AE x =，列出PE EC +关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．
【详解】
解：对于①，直线PB 经过平面ABCD 内的点B ，而直线CE 在平面ABCD 内不过C ，∴直线PB 与直线CE 是异面直线，故①正确；
对于②，当E 与D 重合时，BE AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ，则BE 垂直AC ，故②错误；
对于③，由题意知，四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O 是PC 的中点，则△BCE 的面积为定值，且O 到平面ABCD 的距离为定值，∴三棱锥E BCO -的体积为定值，故③正确；
对于④，设AE x =，则2DE x =-，2211(2)PE EC x x ∴+=++-
由其几何意义，即平面内动点(,1)x 与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．
17．；【解析】如图所示三棱锥中点是的重心∴∴∴；∴故答案为
解析：
()
1
3
VA VB VC ++； 【解析】 如图所示，
三棱锥V ABC -中，点G 是ABC △的重心，∴AB VB VA =-，AC VC VA =-， ∴()()()
111
2222AD AB AC VB VA VC VA VB VC VA =+=-+-=+-， ∴()
21
233
AG AD VB VC VA =
=+-； ∴()()
11
233
VG VA AG VA VB VC VA VA VB VC =+=++-=++． 故答案为
()
1
3
VA VB VC ++.
18．（003）【解析】试题分析：设由题意所以解得考点：两点间的距离公式
解析：（0,0,3） 【解析】 试题分析：设
，由题意
，所以，解得
考点：两点间的距离公式
19．1【分析】以D 点为原点的方向分别为轴建立空间直角坐标系求出各顶点的坐标进而求出平面的法向量代入向量点到平面的距离公式即可求解【详解】以为坐标原点的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系则所以设 是平
解析：1 【分析】
以D 点为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDEF 的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解． 【详解】
以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,,1)2
F ， 所以(1,1,0)DB =，1
(0,,1)2
DF
，1(1,0,1)A D =--， 设 (,,)x y z =m 是平面BDFE 的法向量，则m DB m DF
⎧⊥⎨⊥⎩，即0
1
02m DB x y m DF y z ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=+=⎪⎩
， 令1y =，可得1
1
2x z =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，故1(1,1,)2m =--， 设点A 在平面BDFE 上的射影为H ，连接1A D ，则1A D 是平面BDFE 的斜线段，
所以点1A 到平面BEFE
的距离
11
11A D m d m
+⋅==
=
．
【点睛】
本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为： 解析：【解析】
根据题意画图，由空间向量法得到
()
222
2||2?··CD CA
AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++
214CA BD =⋅==
故答案为：
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2
）20
. 【分析】
（1）以A 为原点，过A 在平面ABC 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明//AE 平面1BDC ．
（2）求出平面1BDC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出DE 与平面1BDC 所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：以A 为原点，过A 在平面ABC 作AC 的垂线为x 轴，
AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
(0A ，0，0)
，B 3，0)，(0C ，6，0)
，E ，9
2
，0)，
设12AA t =，(0D ，0，)t ，1(0C ，6，2)t ， 33
(
2AE =，92
，0)，(33DB =3，)t -，1(0DC =，6，)t ，
设平面1BDC 的法向量(n x =，y ，)z ，
则1333060n DB x y tz n DC y tz ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪
⎩，取1y =，则(3n =-，1，6
)t -，
0AE n ⋅=，AE ⊂/平面1BDC ，
//AE ∴平面1BDC ．
（2）1CC =，(0
D ，0，33
(
2DE =，92
，， 由（1）知，平面1BDC 的法向量(3n =-
，1，，即(3n =-，1，
-，
设DE 与平面1BDC 所成角为θ， 则DE 与平面1BDC 所成角的正弦值为：
||6sin ||||430
DE n DE n θ⋅=
==⋅．
【点睛】
方法点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 22．（1）证明见解析；（2239
【分析】
（1）由面PCD ⊥面ABCD ，BC CD ⊥可得BC ⊥面PCD ，则BC DE ⊥，又
DE PC ⊥，即可证得结论；
（2）过D 点作DC 的垂线DZ ，则DZ ⊥面ABCD .以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DZ 为
z 轴建立空间直角坐标系，分别求得面DCE 的法向量为1n ，面DEF 的法向量为2n ，计
算即可得出结果. 【详解】
证明：（1）∵PD AD DC ==，E 为PC 中点，∴DE PC ⊥. ∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD 面ABCD CD =，BC CD ⊥，
∴BC ⊥面PCD ，
∵DE ⊂面PCD ，∴BC DE ⊥. ∵PC BC C ⋂=，∴DE ⊥面PBC . （2）∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD 面ABCD CD =，在面PCD 内，过D 点作DC
的垂线DZ ，则DZ ⊥面ABCD .如图，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DZ 为z 轴建立空间
直角坐标系，
∴()3,1,0F ，3330,4E ⎛ ⎝⎭
，()0,3,0C ，()0,0,0D ，()0,3,0DC =，
3330,4DE ⎛= ⎝⎭
，()3,1,0DF =.
设面DCE 的法向量为1n ，由面PCD ⊥面ABCD ，可得()11,0,0n =，设面DEF 的法向
量为()2,,n x y z =，2200n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即333044
30
y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
，令1x =，求得()
21,3,3n =-，
121cos ,13n n =
，设二面角C DE F --的平面角为θ，∴239
sin 13
θ=
.
【点睛】
思路点睛：解决线面角、二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 23．（1）详见解析；（2373
【分析】
（1）易知GC CE ⊥,再根据平面ABCDE ⊥平面CEFG ，得到GC ⊥平面ABCDE ，进而有GC AD ⊥，再由CE AD ⊥,利用线面垂直的判定定理证明即可.
（2）以C 为原点，以CD ，CA ，CG ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得 平面BFG 的一个法向量(),,n x y z =，再由平面ABCDE 的一个法向量()0,0,1m =， 设平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角为α，由cos m n m n
α⋅=⋅求解.
【详解】
（1）因为四边形CEFG 为正方形， 所以GC CE ⊥,
又因为平面ABCDE ⊥平面CEFG ，且平面ABCDE ⋂平面CEFG CE =， 所以GC ⊥平面ABCDE ，又AD ⊂平面ABCDE ，
所以GC AD ⊥，
又因为四边形ACDE 是正方形， 所以CE AD ⊥,又CE CG C ⋂=， 所以AD ⊥平面CEFG ， 又CF ⊂平面CEFG ， 所以AD CF ⊥.
（2）以C 为原点，以CD ，CA ，CG ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：
则(()
()0,0,42,4,4,42,1,2,0G F B -， 所以()(4,4,0,1,2,42GF BG ==-， 设平面BFG 的一个法向量为：(),,n x y z =，
则00
n GF n GF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即440
2420x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，
令1x =，则32
1,y z =-=，则321,1,n ⎛=- ⎝⎭
， 又平面ABCDE 的一个法向量为：()0,0,1m =， 设平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角为α
32
373
8cos 91132
m n m n
α⋅===
⋅++
【点睛】
方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝
AC BD AC BD
⋅⋅.
2、利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3
π
.
【分析】
（Ⅰ）通过证明PO AD ⊥和PO CD ⊥，结合线面垂直的判定定理证明出PO ⊥平面
ABCD ；
（Ⅱ）先求解出平面EFG 和平面ABCD 的法向量，然后求解出法向量夹角的余弦值，由此确定出锐二面角的余弦值，从而锐二面角的大小可求. 【详解】
（Ⅰ）因为PAD △是正三角形，O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥， 又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO CD ⊥，
AD CD D =，,AD CD ⊂平面ABCD ，
所以PO ⊥面ABCD ；
（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以,,OA OG OP 所在直线为x 轴、y
轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),O A B C D G
P --，
(1(1
E F --，(0,2,0),(1,2,EF EG =-=，
设平面EFG 的法向量为(,,),m x y z =
因为00
m EF m EG ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，所以20
20y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，
令1z =，则(3,0,1)m =， 又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =， 设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ ， 所以||1cos 2
||||3m n m n θ⋅=
==+.
所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为
3
π
.
【点睛】
思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：
（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）
（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 25．（1310
2）23
. 【分析】
以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.
（1）写出1A B 、1C D 的坐标，计算出11cos ,A B C D <>的值，即可得出异面直线1A B 与
1C D 所成角的余弦值；
（2）计算出1ADC 的一个法向量的坐标，可知平面1ABA 的一个法向量为()0,1,0n =，利用空间向量法可求得平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值. 【详解】
在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且AB AC ⊥，
以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 如下图所示：
则由题意知()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,2,0C 、()10,0,4A 、()12,0,4B
、()10,2,4C 、()1,1,0D .
（1）()12,0,4A B =-，()11,1,4C D =--，
111111310
cos ,2532
A B C D A B C D A B C D
⋅<>=
=
=⨯⋅ 所以，异面直线1A B 与1C D 310 （2）易知平面1ABA 的一个法向量为()0,1,0n =，
设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z =，()1,1,0AD =，()10,2,4AC =，
由100
m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得0240x y y z +=⎧⎨+=⎩，令2y =-，则2x =，1z =， 所以，平面1ADC 的一个法向量为()2,2,1m =-，
22
cos ,33
m n m n m n
⋅-<>=
=
=-⋅， 因此，平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值为2
3
. 【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
26．（1）证明见解析；（2）134
. 【分析】
（1）取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，由题中条件，推导出DO ⊥平面ABC ，
//EF DO ，由此能证明EF ⊥平面ABC ；
（2）以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCE 与平面ADC 所成的角（锐角）的余弦值，即可得出正弦值. 【详解】
（1）证明：取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，
∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，
∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，得DO ⊥平面ABC ， ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =， 又//DE AB ，2AB DE =，所以OF DE =， ∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ， ∴EF ⊥平面ABC ；
（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ， 所以BC ⊥平面ADC ；
∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点，
则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -，
∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ∠=︒， ∴tan 60
23DO EF BF ==︒=，∴(D
，(1,2,E -，
取平面ADC 的一个法向量()0,1,0m =，
设平面DCE 的一个法向量(),
,n x y z
=，
因为(1,0,CD =，(0,2,CE =， 则
020n CD x n CE y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得()
23,n =-， ∴(
()234n =-+-+=，1m =，3m n ⋅=-
∴3cos ,144
m n
m n m n ⋅-<>===-⨯
⋅， 即因此平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角为θ，
则3cos cos ,4m n θ==，所以sin θ== ∴平面DCE 与平面ADC 【点睛】
方法点睛：
立体几何体中空间角的求法：
（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；
（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.。