2020年四川省泸州市数学高二(下)期末统考试题含解析

2020年四川省泸州市数学高二(下)期末统考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．若,a b v v 是两个非零向量，且a b a b ==-v v
v v ，则a v 与a b +v v 的夹角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图像：根据a b a b ==-r r r r 计算,a b r r 夹角为3
π，再通过夹角公式计算a r 与a b +r r 的夹角.
【详解】
a b a b ==-r r r r
形成一个等边三角形，如图形成一个菱形.
a r 与a
b +r r
的夹角为30°
故答案选A 【点睛】
本题考查了向量的加减和夹角，通过图形可以简化运算. 2．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为
'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式
()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．(0,)+∞
C ．(1,)+∞
D ．(,0)-∞
【答案】B 【解析】 令()()()
()()0,(0)1x x
f x f x f x
g x g x g e e
-=
∴=<'=' 所以()x
e f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e
=
，()()0f x f x '+<构造()()x
g x e f x =，()()xf x f x '<构造()
()f x g x x
=
，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等
3．若21
299m m C C --=且m N +∈；则()
2
1m
x -的展开式4x 的系数是（ ） A ．4-
B ．6-
C ．6
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】 先根据21
29
9m m C C --=求出4m =，再代入()
2
1m
x -，直接根据()n
a b +的展开式的第1r + 项为
1C r n r r
r n T a
b -+= ，即可求出展开式4x 的系数。

【详解】 因为21
29
9m m C C --=且m N +∈
所以21294m m m -+-=⇒=
()
4
21x -展开式的第1r + 项为214()r r
r T C x +=-
展开式中4x 的系数为2
4
6C = 故选C 【点睛】
本题考查二项式展开式，属于基础题。

4．设地球的半径为R ，在纬度为α的纬线圈上有A,B 两地，若这两地的纬线圈上的弧长为cos R πα，则A,B 两地之间的球面距离为（） A ．R π B ．sin R πα
C ．R α
D ．()2R πα-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据纬线圈上的弧长为cos R πα求出A,B 两地间的径度差，即可得出答案。

【详解】
设球心为O ，纬度为α的纬线圈的圆心为O´，则∠O´AO=α,∴O´A=OAcos ∠O´AO=Rcos α,设A,B 两地间的径度差的弧度数为θ，则
θRcos α=cos R πα,∴θ=π,即A,B 两地是⊙O´的一条直径的两端点，∴∠AOB=2πα-,
∴A,B 两地之间的球面距离为()2R πα-．答案：D ． 【点睛】
本题涉及到了地理相关的经纬度概念。

学生需理解其基本概念，将题干所述信息转换为数学相关知识求解。

5．设2
a xdx =
⎰
，则6
12ax x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项为（ ）
A ．20
B ．20-
C ．15-
D ．15
【答案】B 【解析】 【分析】
利用定积分的知识求解出a ，从而可列出展开式的通项，由620r -=求得3r =，代入通项公式求得常数项. 【详解】
2
20
21202a xdx x ===⎰Q 66
112ax x x x ⎛⎫∴⎛⎫=- ⎪⎝ ⎪⎝⎭-⎭ 61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式通项公式为：()()66216611r
r r r r
r r T C x C x x --+⎛⎫=-=⋅- ⎪⎝⎭
令620r -=，解得：3r = ()3
3
46120T C ∴=⨯-=-，即常数项为：20-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式的形式.
6．设A ，B 是抛物线24y x =上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横坐标
为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则22
12k k +的最小值为（ ）
A
．B ．2
C
D ．1
【答案】D 【解析】 【分析】
设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，可得1212
k k =，再由基本不等式可得所求最小值． 【详解】
设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，可得2
2
11224,4y x y x ==， 相减可得121212()()4()y y y y x x -+=-， 可得1211212142
2y y k x x y y t t
-====-+，
又由24t k =
，所以1212
k k =，
则22
211221k k k k ≥=+，当且仅当122
2
k k ==
时取等号， 即22
12k k +的最小值为1.
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 7．已知，则
的大小关系是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
将、进行分子有理化，分子均化为，然后利用分式的基本性质可得出三个数的大小关系。

【详解】 由
而，所以，又，综上，，故选：A 。

【点睛】
本题考查比较大小，在含有根式的数中，一般采用有理化以及平方的方式来比较大小，考查分析问题的能力，属于中等题。

8．某样本平均数为a ，总体平均数为m ，那么（ ） A ．a m = B ．a m >
C ．a m <
D ．a 是m 的估计值
【答案】D 【解析】 【分析】
统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值. 【详解】
解：样本平均数为a ，总体平均数为m ， 统计学中，利用样本数据估计总体数据， ∴样本平均数a 是总体平均数m 的估计值. 故选：D . 【点睛】
本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题.
9．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)·z ＝2i ，z 是复数z 的共轭复数，则下列关于复数z 的说法正确的是( ) A ．z ＝1－i B ．2z =
C ．2z z ⋅=
D ．复数z 在复平面内表示的点在第四象限
【答案】C 【解析】 【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求出z ，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】
(1)2,
22(1)1,
1(1)(1)1(1)(1)112
i z i i i i z i i i i z z i zz i i -⋅=+∴===-+--+∴==--=-+--=+=Q 复数z 在复平面内表示的点在第二象限，故选C ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
10．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm 的金属球，将它浸没底面半径为2cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（） A ．43cm B ．
3
16
cm C ．34cm D ．13cm
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等体积法求水面下降高度。

【详解】
球的体积等于水下降的体积即43
π3212h π⋅=⋅⋅，1
3h =．答案：D ．
【点睛】
利用等体积法求水面下降高度。

11．函数3
()x x
x f x e e
-=+ 在[6,6]-的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及()2f 与1的大小关系辨别函数()y f x =的图象． 【详解】
()()
()3
3
x x x x x x f x f x e e e e
----==-=-++Q ，所以，函数()y f x =为奇函数，排除D 选项；
当0x >时，30x >，则()0f x >，排除A 选项；
又()32222
28
21f e e e e
--==>++，排除B 选项．故选C ． 【点睛】
本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题． 12．下列命题中正确的是（ ） A ．1
y x x
=+的最小值是2 B ．22
2
y x =
+的最小值是2
C ．()4
230y x x x =-->的最大值是243- D ．()4
230y x x x
=-->的最小值是243-
【答案】C 【解析】 因为A.1
y x x
=+
的最小值是2，只有x>0成立。

B.22
32
x y x +=
+的最小值是2 ，取不到最小值。

C.()4
230y x x x =--
>的最大值是243-，成立 D.()4
230y x x x
=-->的最小值是243-，不成立。

故选C
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知命题p ：∃x∈R，e x －mx ＝0，q ：∀x∈R，x 2－2mx ＋1≥0，若p∨(q)为假命题，则实数m 的取
值范围是________. 【答案】[0,1]. 【解析】 【分析】
根据复合函数的真假关系，确定命题p ，q 的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论． 【详解】
若p ∨（¬q）为假命题，则p ，¬q 都为假命题，即p 是假命题，q 是真命题，
由e x ﹣mx=0得m=x e
x
，
设f （x ）=x e x ，则f′（x ）=2x x e x e x ⋅-=()2
1x
x e
x -，
当x ＞1时，f′（x ）＞0，此时函数单调递增， 当0＜x ＜1时，f′（x ）＜0，此时函数单调递递减， 当x ＜0时，f′（x ）＜0，此时函数单调递递减，
∴当x=1时，f （x ）=x
e x 取得极小值
f （1）=e ，
∴函数f （x ）=x
e x
的值域为（﹣∞，0）∪[e ，+∞），
∴若p 是假命题，则0≤m ＜e ；
命题q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4≤0，则－1≤m≤1. 所以当p∨(
q)为假命题时，m 的取值范围是[0，1].
故答案为：[]
0,1 【点睛】
“p q ∨”，“p q ∧”“p ⌝”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题,p q 的真假；（3）确定“p q ∨”，“p q ∧”“p ⌝”等形式命题的真假.
14．已知2
1()2(2019)2019ln 2
f x x xf x =++'，则(1)f '=_______. 【答案】2020- 【解析】 【分析】
先对函数求导，然后求出(2019)f '，进而求出答案。

【详解】
由题可得()2019
()2(2019)0f x x f x x
'=++>'， 令2019x =，则2019
(2019)20192(2019)2019
f f '+'=+，解得(2019)2020f '=-，
所以()2019
()40400f x x x x '=-+>，
则2019
(1)1404020201
f '=-+=- 【点睛】
本题考查导函数，解题的关键是先求出(2019)f '，属于一般题。

15．已知函数2y x =与函数()0y kx k =>的图象所围成的面积为32
3
，则实数k 的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】
求出两函数的交点坐标，可得知当0x k <<时，2kx x >，由此得出两函数图象所围成区域的面积为
()2
32
3
k
kx x dx -=⎰，可解出实数k 的值. 【详解】 联立2y kx y x =⎧⎨
=⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或2x k y k
=⎧⎨=⎩，当0x k <<时，由不等式的性质得2
x kx <.
所以，函数2
y x =与函数()0y kx k =>的图象所围成的面积为
()2
32
3
k
kx x dx -=⎰， 即2330
11322
363
k
k x x k ⎛⎫
-=
= ⎪
⎝⎭，解得4k =，故答案为：4. 【点睛】
本题考查利用定积分计算曲边三角形的面积，解题时要结合题意确定被积区间与被积函数，并利用定积分公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
16．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16
【解析】 【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】
根据题意，没有女生入选有3
44C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选
3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名
女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知正项数列{}n a 满足：12a =，2
111n n n a a a ++=-+，*n N ∈.
（Ⅰ）求2a ；
（Ⅱ）证明：(
)*
11n n a a n N
+>>∈；
（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：n S n <+.
【答案】（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意，得2
1221a a a =-+，可求出2a ；
（Ⅱ）由()1111n n n a a a ++-=-，得()1n a -与()11a -同号，可得1n a >，再由()2
111n n n a a a ++-=-可得
1n n a a +>，问题得证；
（Ⅲ）令1n n b a =-，得2
11n n n b b b ++=-，10n n b b +>>当2n ≥时，由
()()()2221122311
=n
n
k n n k nb b b b b b b b b -=+-+-+<+-∑L 可得n b <
=<=可使问题得证.
【详解】
（Ⅰ）解：由题意，2
1221a a a =-+，
解得2152a +=
或215
2
a -=（舍去）. （Ⅱ）证明：因为()1111n n n a a a ++-=-，且0n a >， 所以()11n a +-与()1n a -同号，…，与()11a -也同号. 而110a ->，因此(
)*
1n a n >∈N
.
又()2
2
11112110n n n n n a a a a a ++++-=-+=->，
所以1n n a a +>.
综上，有11n n a a +>>成立.
（Ⅲ）证明：令1n n b a =-，则10n n b b +>>，且11b =.
由()1111n n n a a a ++-=-，得到2
11n n n b b b ++=-.
于是当2n ≥时，
()()()221122311
n
k
n n k b
b b b b b b b -==+-+-++-∑L 22n b =-<，
又
221
n
k n k b nb =>∑，因此22n nb <，即2n b n
<
. 考虑(
)
2222222121
n b n n n n n n <
=<=--+-，
故
(
)(
)(
)
1
221021122n
k
k b
n n n =⎡
⎤<-+
-++
--=⎣
⎦
∑L ，
即22n S n n -<.当1n =时，12122a =<+也成立. 综上所述，22n S n n <+. 【点睛】
本题考查了数列递推式，数列求和，考查了放缩法证明不等式，考查了推理能力和计算能力，属于难题. 18．设数列的前n 项和为且对任意的正整数n 都有:
.
（1）求
；
（2）猜想的表达式并证明. 【答案】（1）
；（2）
，证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）分别代入计算即可求解；（2）猜想:，利用数学归纳法证明即可
【详解】
当
当
当
（2）猜想:.
证明：①当时，显然成立；
②假设当且时，成立.
则当时，由,得，
整理得.
即时,猜想也成立.综合①②得.
【点睛】
本题考查递推数列求值，数学归纳法证明，考查推理计算能力，是基础题
19．现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分
，,样本数据分组为
布直方图(如图),其中到校所需时间的范围是[0100]
[)[)[)[)[]
0,20,20,40,40,60,60,80,80,100.
(1)求直方图中x的值；
(2)如果学生到校所需时间不少于1小时,则可申请在学校住宿.若该校录取1200名新生,请估计高二新生
中有多少人可以申请住宿；
(3)以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生,用X 表示所选4名学生中“到校所需时间少于40分钟”的人数,求X 的分布列和数学期望．
【答案】（1） 0.0025；
（2）180；（3）85
. 【解析】
分析：（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1求出x 的值；
（2）根据上学时间不少于1小时的频率估计住校人数；
（3）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望.
详解：(1)由直方图可得()2020.0050.01750.02251x ⨯+++=,
∴0.0025x =.
(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:()200.0050.00250.15⨯+=, 12000.15180⨯=Q ,
∴估计1200名新生中有180名学生可以申请住.
(3)X 的可能取值为01,2,3,4，
, 有直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为25
, ()4
38105625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
, ()31
423216155625p x c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()22
2423216255625p x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, ()3342396355625
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()421645625
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 则X 的分布列为
X 的数学期望012346256256256256255
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点睛：本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.
20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求1F AB V 的面积的最大值.
【答案】 (1)22 132x y +=；
(2). 【解析】
【分析】
（1）根据焦点坐标可得c ，根据离心率求得a ，结合222a b c =+，求得b ，则问题得解； （2）设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，即可容易求得结果.
【详解】
（1）由题可知，1c =
，又因为c a =
a =
由b =
b =故椭圆方程为22
132
x y +=. （2）容易知直线l 的斜率不为零，故可设直线l 的方程为1x my =+，
联立椭圆方程可得：()2223440m y my ++-=，
设,A B 两点坐标为()()1122,,,x y x y ， 故可得12122244,2323m y y y y m m +=-
=-++ 则
12y y -== 故1F AB n
的面积12221222323
S c y y m m =⨯⨯-==+
+ ,1t t =≥，221m t =-
，
故211212t S t t t ==++， 又1
2y t t =+在区间[)1,+∞上单调递增，
故1
12S t t
=+在区间[)1,+∞上单调递减，
故
1
33
max
S==，当且仅当1
t=，即0
m=时取得最大值.
故1F AB
n
.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，涉及椭圆中三角形面积的最值问题，属综合中档题.
21．已知抛物线()
220
y px p
=>
上一点(0
M x到焦点F的距离0
3
2
x
MF=，倾斜角为α的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B.
（1）求抛物线的标准方程及准线方程；
（2）若α为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P.证明：cos2
FP FPα
-⋅为定值，并求出该定值.
【答案】（1）抛物线的方程为24
y x
=，准线方程为1
x=-；
（2）cos2
FP FPα
-⋅为定值4，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线的定义结合条件0
3
2
x
MF=，可得出
x p
=，于是可得出点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的方程求出p的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；
（2）设直线AB的方程为1
x ty
=+，设点()
11
,
A x y、()
22
,
B x y，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x，列出韦达定理，计算出线段AB的中点C的坐标，由此得出直线m的方程，并得出点P的坐标，计算出PC和FP的表达式，可得出sin
PC
FP
α=，然后利用二倍角公式可计算出
cos2
FP FPα
-⋅为定值，进而证明题中结论成立.
【详解】
（1）由抛物线的定义知，0
3
22
x
p
MF x
=+=，
x p
∴=.
将点(,
M p代入22
y px
=，得2
28
p=，得2
p=.
∴抛物线的方程为24
y x
=，准线方程为1
x=-；
（2）设点()
11
,
A x y、()
22
,
B x y，设直线AB的方程为1
x ty
=+，
由
2
1
4
x ty
y x
=+
⎧
⎨
=
⎩
，消去x得：2440
y ty
--=，则12
12
4
4
y y t
y y
+=
⎧
⎨
⋅=-
⎩
，
()21212242x x t y y t ∴+=++=+，()221,2C t t ∴+.
设直线AB 中垂线m 的方程为：()
2221y t t x t ⎡⎤-=--+⎣⎦，
令0y =，得：223x t =+，则点()223,0P t +，244PC t ∴=
+222FP t =+. ()222222442cos 22sin 2422t PC FP FP FP FP FP PC FP t αα+⎛⎫∴-==⋅=== ⎪ ⎪+⎝⎭
， 故cos2FP FP α-⋅为定值4.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，以及直线与抛物线的综合问题，常将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理进行计算，解题时要合理假设直线方程，可简化计算.
22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-.
（1）求1234,,,a a a a ;
（2）猜想数列{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．
【答案】（1）11a =，233,7a a ==，415a =；（2）21n n a =-，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求得1a 的值，利用11n n n a S S ++=-求得1n a +的表达式，由此求得234,,a a a 的值.（2）根据（1）猜
想21n n a =-，用数学归纳法证明数列{}n a 的体积公式为21n n a =-.
【详解】
（1）2n n S a n =-Q
111n a ∴==当时，
且1121n n S a n ++=--
于是121n n a a +=+
从而可以得到233,7a a ==，415a =
猜想通项公式21n n a =-
（2）下面用数学归纳法证明21n n a =-.
①当1n =时，11a =满足通项公式；
②假设当n k =时，命题成立，即21k k a =-
由（1）知()1212211k k k a a +=+=-+ 1121k k a ++=-
即证当1n k =+时命题成立；
由①②可证21n n a =-成立.
【点睛】
本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数学归纳法证明与数列的通项公式.。