八年级数学上册55三角形内角和定理三角形的内(外)角平分线夹角的探究与延拓素材青岛版

三角形的内（外）角平分线夹角的探究与延拓
我们探究了三角形的内角与外角的问题，也研究了角的平分线的特性，现在我们来探究一下，三角形的内（外）角平分线的夹角有什么性质．
探索一：由两条内角平分线所组成的角
如图1，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点O ，那么∠BOC 与∠A 有什么关系呢？证明你的猜想．
探索与分析：因为BO 、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，
所以∠1=
12∠ABC，∠2=1
2∠ACB，在△OBC 中， ∠BOC=1800-（∠1+∠2）=1802-12
（∠ABC+∠ACB）=
1800-12（1800-∠A）=900+12
∠A，由此得到结论． 点评：解决本题的关键在于两条角平分线架起了与之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡，细心审题，发现已知与所求之间的联系常是解题的关键
结论1：由三角形的两条内角平分线所组成的角等于900
与第三角一半的和． 延拓一：如图所示，ΔABC 中，∠A=42°，（1）如图2，若∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点D ，求∠BDC 的度数.（2）如图3，若∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别交于点,,21D D 求∠C BD 2的度数.（3）如图3，若∠ABC 和∠ACB 的四等分线分别交于点,,,321D D D 求
C B
D 3∠的度数.（4）如图4，若∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别交于点1321,,,-n D D D D ，
求C BD n 1-∠的度数.
分析：在图2中，观察到BDC ∠在BDC ∆中，而DBC ∠和DCB ∠分别是原三角形中
ABC ∠和ACB ∠的二分之一，所以只要求出
()ACB ABC ∠+∠2
1
即可；同样道理，在图32
A B
C
O
1 图1
图2
图4
图3
中，只要求出()ACB ABC ∠+∠32
…第4个图形中，只要求出()ACB ABC n
n ∠+∠-1.
解：（1）()
11121180=∠+∠-=∠ACB ABC BDC ；
（2）∠()221801523BD C ABC ACB =-∠+∠=
（3）∠()33180148.54BD C ABC ACB =-∠+∠=
（4）∠()11180n n BD C ABC ACB n
--=-∠+∠
探索二：由三角形一个角的内角平分线和另一个角的外角平分线所组成的角 如图5，，△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点P ，试问∠P 与 ∠A 有什么关系？证明你的结论．
探索与分析：因为BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACD，所以
∠1=12∠ACD，∠2=1
2
∠ABC，又因为∠1是△PBC
的外角，所以∠1=∠P+∠2，所以∠P=∠1-∠2=
1
2
（∠ACD -∠ABC），因为∠ACD=∠A+∠ABC， 所以∠A=∠ACD -∠ABC，所以∠P=1
2
∠A，由此得到结论
结论2：由三角形一个角的内角平分线和另一个角的外角平分线所组成的角等于第三角的一半．
延拓二：如图6所示，已知ΔABC 中，∠A=96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点1A ，CD A BC A 11,∠∠的平分线交于点,2A 依次类推，CD A BC A 55,∠∠的平分线交于点,6A 求6A ∠的大小.
分析：利用外角的性质和角平分线的定义解答本题. 解：在A ABC ACD BC A CD A A ，BC A ∠=∠-∠=
∠-∠=∠∆2
1
21211111中； 图5
A
1
2 B C
P
D
图6
同样道理，
在A A BC A CD A BC A CD A A ，BC A ∠⎪⎭
⎫
⎝⎛=∠=∠-∠=∠-∠=∠∆2
111222*********中；
依此类推，
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⨯=∠⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠2396641216
6A A
归纳总结：探究规律题的魅力体现在观察和发现变化中隐含着不变的规律，常见的观察活动主要有三条途径：（1）数与式的特征的观察；（2）从几何图形的结构观察；（3）通过简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况.同学们在学习中要善于从现有的条件、结论，通过观察、联想，进而猜想到我们未知的知识.
探索三：由两条外角平分线所组成的角
如图7，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的外角平分线交于点P ，试问∠P 与∠A 有什么关系？
证明你的结论．
探索与分析：因为BP 、CP 分别平分∠DBC，∠ECB，所以
∠1=12∠DBC，∠2=1
2∠ECB，在△PBC 中，∠P= 1800-（∠1+∠2）=1802-12（∠DBC+∠ECB）=1802-12
（1802-∠ABC+1800-∠ACB）=1802-12[3600
-（∠ABC+∠ACB）]= 12
（∠ABC+∠ACB）=
12（1800-∠A）=900-12
∠A，由此得到结论 结论3：由三角形两条外角平分线所组成的角等于900
与第三角一半的差．
1
2
B
A
E
C D
图7。