河南省商丘市2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理(扫描版)

河南省商丘市2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题理（扫描
版）
商丘市2016年第二次模拟考试参考答案
高三数学（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）B （7）C （8）D （9）D （10）C （11）B （12）A 二、填空题（每小题5分，共20分）
（13）24
（14）①②③ （15）5[1,1]e + （16）1
3
三、解答题（本大题共6小题，共70分） （17）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，∵33S a +,55S a +，44S a +成等差数列， ∴
2
（
55
S a +）=（
33
S a +）+
（44S a +）， ……………………………………………… 2分 ∴
53
4a a =，因此，
2531
4
a q a =
= ……………………………………………………………4分 ∴12
q =±, ∵
数
列
{}
n a 不是递减数列，∴
1
2q =-
………………………………………………………5分 ∴
11*313
()(1),222n n n n a n --=-=-∈N
(6)
分
（
Ⅱ
）
∵
1
1
33(1)(1)22n n n n n n n a b n -+⋅=-⨯-=
…………………………………………………………7分
∴
231233()2222n n n
T =++++L
…………………………………………………………………
8分
∴
23111213()22222
n n n n n
T +-=++++L …………………………………………………………10分
以上两式相减得：12111
11113(
)3(1)2222222
n n n n n n n T ++=+++-=--L
∴
1
2
6(1)2
n n n T ++=-
. …………………………………………………………………………………………12分
（18）解：( 对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计
150
50
200
……………………………………………
…………………………2分
2
2
200(80104070)11.11110.8281505012080
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， …………………………
…………………3分
可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关 . …………4分
(Ⅱ) 每次购物时，对商品和服务都好评的概率为
2
5
，且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. ……5分
2~(5,)5X B ,其中53(0)()5P X ==； 14
523(1)()()55P X C ==；
223523
(2)()()55
P X C ==；
332
523(3)()()55P X C ==； 441523(4)()()55P X C ==； 52(5)()5
P X ==.
X 的分布列为：
X
0 1 2 3 4 5 P 53()5 14523()()55C 223523()()55C 332523()()55C 441
523()()55
C 52()5
…………………………………………10分
由
于
2
~(5,)
5
X B ，则
2
525
EX =⨯
=； ………………………………………………………………11分 226
5(1)555
DX =⨯⨯-=. ………………………………………………
……………………………12分
（19）解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ，点G 为FC 的中点，
∴OG ∥
AF ， ………………………………………………………………………………………………
……………1分
∵AF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDC ， ∴AF //平面
BDG ． …………………………………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）取AD 的中点M ，BC 的中点Q ，连接MQ ，则MQ ∥AB ∥EF ，∴,,,M Q F E 共面．
作FP MQ ⊥于P ，EN MQ ⊥于N ，则FP ∥EN 且FP EN =，连接,EM FQ ∵,AE DE BF CF AD BC ====， ∴ADE ∆≌BCF ∆，∴EM FQ =， ∴ENM ∆≌FPQ ∆，∴
1MN PQ ==，………………………………………………………………………4分
∵BF CF =， Q 为BC 的中点，∴BC FQ ⊥
又BC MQ ⊥，∴BC ⊥平面MQEF ，∴PF BC ⊥，∴PF ⊥平面
ABCD ， ………6分
以P 原点，PM 为x 轴，PF 为z 轴建立如图空间直角坐标系，则
(3,1,0),(1,1,0),(1,1,0)A B C ---，……………………
…7分
设(0,0,)F h ，则(3,1,)AF h =--u u u r ，(1,1,)CF h =u u u r
，
∵AF CF ⊥，∴0AF CF ⋅=u u u r u u u r
，解得2h =， (8)
分
设平面ABF 的法向量1111(,,)n x y z =u r
， (3,1,2)AF =--u u u r ，(1,1,2)BF =-u u u r
，
由1100n AF n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 得11111132020
x y z x y z --+=⎧⎨-+=⎩ 令11z =，则
1(0,2,1)n =u r
…………………………………………………………………………………………
……………9分
同理可以求得平面BCF 的一个法向量为
A
B
C
D
E
F
G
x y
Z N
P
Q M
O
2(2,0,1)n =-u u r
，…………………………………………………10分 ∴
121212
11cos ,555n n n n n n ⋅==
=⋅⋅u r u u r
u r u u r u r u u r
……………………………………………………………………………11分
∴平面ABF 与平面BCF 夹角的余弦值为1
5
． ………………………………………………………………12分 （20）解：（Ⅰ）由题意知12
c e a ==，∴2222
22
14c a b e a a -===， 即
224
3a b =
………………………………………………………………………………………
…………………2分
又6
311
b =
=+∴224,3a b ==， …………………………………………………………3分
故椭圆的方程为
22
143
x y +=． ………………………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =-,
由22(4)
143y k x x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩
得，2222(43)3264120k x k x k +-+-=，
由0∆>得，21
4
k <
， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22121222326412
,4343k k x x x x k k -+=⋅=
++，① ∴2
2
2
2
121212122
36(4)(4)4()1643
k y y k x k x k x x k x x k k =-⋅-=-++=+ ， ………………6分
∴1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 22222264123610012
434343k k k k k k --=
+=+++
287
2543
k =-
+， …………………………………………………………
……………………………………7分
Q 2104k ≤<
， ∴28787873434
k -≤-<-+， ∴28713425434k -≤-<+，即13
[4,)4
OA OB ⋅∈-u u u r u u u r ．
∴OA OB ⋅u u u r u u u r
的取值范围是
13
[4,
)4
-． …………………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）证明：∵ ,B E 两点关于x 轴对称，∴22(,)E x y -，
直线AE 的方程为
12
1112
()y y y y x x x x +-=
--，…………………………………………………………………9分
令0y =得：
1122112
11212
()y x x y x y x x x y y y y -+=-
=
++，…………………………………………………………10分
又1122(4),(4)y k x y k x =-=-，∴
12121224()
8
x x x x x x x -+=
+-，……………………………………11分
由将①代入得：1x =，∴直线AE 与x 轴交于定点
(1,0)． ……………………………………12分
（21）解:(Ⅰ)由题意知，方程ln 0x x b -+=有两个不同的根．
设
()ln g x x x b =-+，则
1
()1g x x
'=-
，…………………………… ……………………………………1分 ∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增； ∴
()g x 的最小值为
(1)1g b =+． …………………………… ………………………………………………3分
因此当1b <-时，方程ln 0x x b -+=在(0,1)上有一个根，在(1,)+∞上有一个
根．
所
以
b 的取值范围为
(,1)
-∞-.
……………………………………… …………………………………………4分
(
Ⅱ
)
由
(
Ⅰ
)
可
知
1201,1
x x <<>，
12()()0g x g x ==． ……………………………………………5分
111222222
222()(
)(ln )(ln )g x g x x b b x x x ∴-=-+--+ 22222222(ln )(
ln )x x b b x x =-+--+222
22
3ln ln 2x x x =--+． ……………………7分
令2
2
()3ln ln 2h t t t t =--+， 则
343
()1h t t t
'=+-
32334t t t -+=23(2)(1)t t t -+=……………………………………
…………………8分
当2t ≥时，()0h t '≥，()h t 是增函数， 所
以
3
()(2)2ln 202
h t h ≥=
->． …………………………………………………………………………9分
∴
当
22
x ≥时，
122
2
()(
)0g x g x ->，即
1222
()(
)
g x g x >
……………………………………10分 又∵()g x 在(0,1)上单调递减，122
2
01,01x x <<<
<， ∴
12
22x x <
，
故
2122x x ⋅<． (12)
分
（22）解：（Ⅰ）因为CA 为⊙O 的切线，所以
B EA
C ∠=∠, ………………………………………………1分
因为DC 是ACB ∠的平分线，所以
ACD DCB ∠=∠, …………………………………2分
所以B DCB EAC ACD ∠+∠=∠+∠，即
ADF AFD ∠=∠, ………………………3分
因为90DAE ∠=︒，所以1(180)452ADF DAE ∠=︒-∠=︒ ………………………5分 （Ⅱ）因为B EAC ∠=∠，ACB ECA ∠=∠，
所以ACE ∆∽BCA ∆，所以AC AE BC AB
=， ……………………………………………………7分 在ABC ∆中，又因为AC AB =，所以
30B ACB ∠=∠=︒，…………………………8分
ABE Rt ∆中，
3
330tan tan =︒===B AB AE BC AC .……………………………………………10分 （23）解：（Ⅰ）∵圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-
∴2314sin()4(sin cos )622πρρθρθθ=-=- …………………………………………2分
又∵222x y ρ=+，cos ,sin x y ρθρθ==，∴22232x y y x +=-,
∴圆C 的普通方程为
222230x y x y ++-=. ………………………………………………5分
（Ⅱ）设3z x y =+，
由圆C 的方程222230x y x y ++-=，即22(1)(3)4x y ++-=，
∴圆C 的圆心是(1,3)-，半径是2，
将312132
x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 代入3z x y =+，得
z t =-， ……………………………7分
又∵直线l 过点(3)C -，圆C 的半径是2，∴
22t -≤≤， …………………8分
∴22t -≤-≤， 即3z x y =+的取值范围是
[2,2]-. ……………………………………………………………10分
（24）解：（Ⅰ）当2a =，12)(+≥x x f ，即122+-≥-x x ，
即⎩⎨⎧≥-+-≥-02122x x x 或
⎩⎨⎧<-+-≥-02122x x x ， …………………………………3分 解得
{}1-≥x x . …………………………………………………………………5分
（Ⅱ）37)2(2-+≥a x x f 可化为37)2(2
-≥-a x x f ，令()(2)7g x f x x =-， 3()2()(2)72()2
a x a x g x f x x x a x a a x x ⎧-≥⎪⎪=-=-+=⎨⎪-<⎪⎩， ………………………6分
因为(,)2a x ∈-∞,()g x 单调递减，(,)2a x ∈+∞,()g x 单调递增；
所以当2a
x =时，()g x 有最小值，
min ()()22
a a g x g ==，…………………………………8分 若使原命题成立，只需
232
a a ≥-，………………………………………………………………………9分 解得
(]2,0∈a .…………………………………………………………………………………………………………10分。