2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二下学期期中数学(文)试卷 Word版含解析

2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二（下）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）
1．已知倾斜角为90°的直线经过点A（2m，3），B（2，﹣1），则m的值为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
2．对抛物线y=x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为（0，1） B．开口向右，焦点为（1，0）
C．开口向上，焦点为（0，） D．开口向右，焦点为（，0）
3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．球的体积与其表面积的数值相等，则球的表面积等于（ ）
A．π B． 4π C． 16π D． 36π
5．直线l1：ax+2y+3=0与l2：x﹣（a﹣1）y+a2﹣1=0，则“a=2”是“直线l1与l2垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
6．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．α⊥β，n∥α，m⊥β?n⊥m
C． m∥n，m∥α?n∥α D． m∥n，m⊥α?n⊥α
7．实数x，y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=2，E，F分别是A1B1和B1C1的中点，则异面直线AE与BF所成的角．（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
9．有下列四个命题：
①“平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆”；
②“若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根”的否命题；
③“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题．
④“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆否命题．
其中真命题的序号有（ ）
A．②③ B．①③④ C．①③ D．①④
10．分别过椭圆+=1的左、右焦点F1、F2所作的两条互相垂直的直线l1、l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D． [0，]
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．命题“?x0∈R，使得x02+2x0+5＞0”的否定是 ．
12．双曲线的渐近线方程为 ．
13．不论m为何实数，直线mx﹣y+3=0恒过定点 （填点的坐标）
14．已知直线l∥平面α，直线m?α，则直线l和m的位置关系是 ．（平行、相交、异面三种位置关系中选）
15．已知动圆M与圆C1：（x+5）2+y2=16外切，与圆C2：（x﹣5）2+y2=16内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，现将△ABD沿BD翻折至△A′BD，使二面角A′﹣BD﹣C的大小为60°，求CD和平面A′BD所成角的余弦值是 ．
17．设双曲线（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A1，A2，过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线的离心率为 ．
三．解答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）
18．（10分）（2015春?南昌校级期末）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：2＜x≤3
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（10分）（2015春?杭州期中）已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8
（Ⅰ）试求圆C的方程；
（Ⅱ）当P在圆C上运动时，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且|MD|=|PD|．求点M的轨迹方程．
20．（10分）（2015春?杭州期中）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．
（Ⅰ）求证：直线EA⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正切值．
21．（12分）（2015春?杭州期中）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON 为直角时，求△OMN的面积．
2014-2015学年浙江省杭州市七校联考高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）
1．已知倾斜角为90°的直线经过点A（2m，3），B（2，﹣1），则m的值为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点：直线的倾斜角．
专题：直线与圆．
分析：由题意可得2m=2，解出即可．
解答：解：∵倾斜角为90°的直线经过点A（2m，3），B（2，﹣1），
∴2m=2，
解得m=1．
故选：B．
点评：本题考查了倾斜角的应用，考查了推理能力，属于基础题．
2．对抛物线y=x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为（0，1） B．开口向右，焦点为（1，0）
C．开口向上，焦点为（0，） D．开口向右，焦点为（，0）
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：将抛物线方程化为标准方程，再由抛物线的性质，即可得到开口方向和焦点坐标． 解答：解：抛物线y=x2，即为抛物线x2=4y，
由抛物线的性质可得该抛物线开口向上，
焦点为（0，1）．
故选A．
点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点，属于基础题．
3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的三棱锥，求出它的体积即可． 解答：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是如图所示的四棱锥，
且该四棱锥的底面是边长为2cm的正方形ABCD，
高为cm；
所以，该四棱锥的体积为
V=×22×=cm3．
故选：A．
点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
4．球的体积与其表面积的数值相等，则球的表面积等于（ ）
A．π B． 4π C． 16π D． 36π
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径，即可求出球的表面积．
解答：解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2
因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2．
解得r=3
所以4πr2=36π．
故选：D．
点评：本题考查球的体积与表面积的计算，是基础题．
5．直线l1：ax+2y+3=0与l2：x﹣（a﹣1）y+a2﹣1=0，则“a=2”是“直线l1与l2垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：直线与圆；简易逻辑．
分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答：解：若直线l1与l2垂直，
则a﹣2（a﹣1）=0，
即a=2，
故“a=2”是“直线l1与l2垂直”的充要条件，
故选：C
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．
6．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．α⊥β，n∥α，m⊥β?n⊥m
C． m∥n，m∥α?n∥α D． m∥n，m⊥α?n⊥α
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：画出长方体这个几何体，利用几何体的面，棱可判断选项正确与否．
解答：解：
运用几何体得出：
A：有可能是异面直线，故选项A错误
B：有可能平行，故选项B错误，
C：n有可能在平面α内，故选项C错误，
故选：D
点评：本题考查了空间直线平面的平行，垂直的位置关系，考查了学生的空间想象思维能力，属于中档题，关键是利用好几何体的模型，解决容易些．
7．实数x，y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点：圆的一般方程．
专题：计算题；直线与圆．
分析：整理方程可知，方程表示以点（1，1）为圆心，以1为半径的圆，设=k，即kx﹣y ﹣2k+4=0，进而根据圆心（1，1）到kx﹣y﹣2k+4=0的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，即可得出结论．
解答：解：方程x2+y2﹣2x﹣2y+1=0表示以点（1，1）为圆心，以1为半径的圆．
设=k，即kx﹣y﹣2k+4=0，
由圆心（1，1）到kx﹣y﹣2k+4=0的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由1，
解得k=．
所以的最小值为．
故选：D．
点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．
8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=2，E，F分别是A1B1和B1C1的中点，则异面直线AE与BF所成的角．（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
考点：异面直线及其所成的角．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．
解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系．A（4，0，0），B（4，4，0），E（4，2，2），F（2，4，2）．
∴=（0，2，2），=（﹣2，0，2）．
∴===．
∴异面直线AE与BF所成的角是60°．
故选：B．
点评：本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的夹角方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．有下列四个命题：
①“平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆”；
②“若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根”的否命题；
③“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题．
④“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆否命题．
其中真命题的序号有（ ）
A．②③ B．①③④ C．①③ D．①④
考点：命题的真假判断与应用．
专题：推理和证明．
分析：根据椭圆的定义可判断①的真假；写出原命题的否命题，可判断②真假；写出原命题的逆命题，可判断③真假；写出原命题的逆否命题，可判断④真假．
解答：解：平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆或线段，故①为假命题；
“若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根”的否命题是“若q＞1，则方程x2+2x+q=0无实根”，当q＞1时，方程x2+2x+q=0的△＜0，方程x2+2x+q=0无实根，故②为真命题；
③“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题是“若mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R，则m＞1”，当mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R时，m＞0且△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故③为真命题；
“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”为假命题，故其逆否命题也为假命题，即④为假命题，
故真命题的序号有②③，
故选：A
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了四种命题，椭圆的定义，难度不大，属于基础题．
10．分别过椭圆+=1的左、右焦点F1、F2所作的两条互相垂直的直线l1、l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D． [0，]
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据椭圆内存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|=c＜b，从而可求椭圆离心率e的取值范围
解答：解：由题意可知椭圆内存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|=c＜b， 所以c2＜b2=a2﹣c2，∴e∈（0，）．
故选：B．
点评：本题考查椭圆的几何性质，离心率的求法，考查计算能力．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．命题“?x0∈R，使得x02+2x0+5＞0”的否定是　?x∈R，都有x2+2x+5≤0　．
考点：命题的否定．
专题：简易逻辑．
分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
解答：解：命题是特此命题，则命题的否定是：?x∈R，都有x2+2x+5≤0，
故答案为：?x∈R，都有x2+2x+5≤0
点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
12．双曲线的渐近线方程为　x±y=0　．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：双曲线的右边，设为0，可得渐近线方程．
解答：解：双曲线的右边，设为0，可得渐近线方程为x±y=0．
故答案为：x±y=0．
点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
13．不论m为何实数，直线mx﹣y+3=0恒过定点　（0，3）　（填点的坐标）
考点：恒过定点的直线．
专题：直线与圆．
分析：令，可得直线mx﹣y+3=0恒过定点的坐标．
解答：解：令，
解得：，
故直线mx﹣y+3=0恒过定点（0，3），
故答案为：（0，3）．
点评：本题考查了直线系的应用，属于基础题
14．已知直线l∥平面α，直线m?α，则直线l和m的位置关系是　平行或异面　．（平行、相交、异面三种位置关系中选）
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据线面平行的性质定理得到直线与平面α内的所有直线没有公共点，得到直线l 与m的位置关系．
解答：解：因为直线l∥平面α，直线m?α，
所以直线l与平面α内的所有直线没有公共点，
则直线l和m的位置关系是：平行或异面；
故答案为：平行或异面．
点评：本题考查了线面平行的性质定理的运用，熟记线面平行的性质定理是关键；属于基础题．
15．已知动圆M与圆C1：（x+5）2+y2=16外切，与圆C2：（x﹣5）2+y2=16内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
考点：轨迹方程．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC1|=r+4，|MC2|=r﹣4，可得|MC1|﹣|MC2|=r+4﹣r+4=8＜|C1C2|=10，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．
解答：解：设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC1|=r+4，|MC2|=r﹣4，
∴|MC1|﹣|MC2|=r+4﹣r+4=8＜|C1C2|=10，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a=8，a=4，b=3
双曲线的方程为：（x＞0）．
点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，现将△ABD沿BD翻折至△A′BD，使二面角A′﹣BD﹣C的大小为60°，求CD和平面A′BD所成角的余弦值是 ．
考点：直线与平面所成的角．
专题：空间角．
分析：根据条件先判断∠A′OC是二面角A′﹣BD﹣C的平面角，从而△A′OC为等边三角形，根据线面所成角的定义得到∠CDE是CD和平面A′BD所成的角，根据三角形的边角关系进行求解即可．
解答：解：连接AC交B于O，连接OA′，
∵ABCD是菱形，
∴OC⊥BD，A′O⊥BC，
即∠A′OC是二面角A′﹣BD﹣C的平面角，
即∠A′OC=60°，
连接A′C，则△A′OC为等边三角形，
则平面A′OC⊥平面ABCD，
取A′O的中点E，连接CE，
则CE⊥A′O，且CE⊥平面A′BD，
连接DE，则∠CDE是CD和平面A′BD所成的角，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴BD=6，AO=OC=A′O=，
则OE=，OD=1，
则DE==，
则cos∠CDE==，
故答案为：
点评：本题主要考查空间二面角和直线和平面所成角的应用，根据空间角的定义寻找二面角和直线和平面所成的角是解决本题的关键．
17．设双曲线（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A1，A2，过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线的离心率为 ．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点P的坐标，代入以A1A2为直径的圆的方程，即可得出离心率e．
解答：解：假设过焦点F（c，0）与渐近线平行的直线与渐近线相交，
联立，解得，得到P，
∵若P恰好在以A1A2为直径的圆上x2+y2=a2，
∴+=a2，化为c2a2+b2c2=4a4，即c4=4a4，化为c2=2a2．
∴=．
则双曲线的离心率为．
故答案为．
点评：熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．
三．解答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）
18．（10分）（2015春?南昌校级期末）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：2＜x≤3
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，结合p∧q为真，即可求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，根据充分条件和必要条件的定义和性质，即可求实数a
的取值范围．
解答：解：（1）p：a＜x＜3a，a=1时，1＜x＜3，q：2＜x≤3，（2分），
若p∧q为真，故2＜x＜3；（5分）
（2）若q是p的充分不必要条件，则q?p，（7分）
∴，
解得1＜a≤2．（10分）
点评：本题主要考查充分条件和必要条件以及复合命题真假之间的关系，求出命题的等价条件是解决本题的关键．
19．（10分）（2015春?杭州期中）已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8
（Ⅰ）试求圆C的方程；
（Ⅱ）当P在圆C上运动时，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且|MD|=|PD|．求点M的轨迹方程．
考点：轨迹方程；直线与圆相交的性质．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）求出到直线3x+4y+15=0的距离，利用，求出圆的半径，即可求出圆C的方程；
（Ⅱ）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（xP，yP），确定坐标之间的关系，利用P在圆x2+y2=25上，求点M的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）已知圆C的圆心在坐标原点，且被直线3x+4y+15=0截得的弦长为8，
而圆心到直线3x+4y+15=0的距离d=3，
由弦长公式得，所以r=5
所以所求圆的方程为x2+y2=25；（5分）
（Ⅱ）设点M的坐标是（x，y），P的坐标是（xP，yP），
∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|，
∴xP=x，且yP=y，∵P在圆x2+y2=25上，
∴x2+（y）2=25，整理得，
即C的方程是．（5分）
点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查代入法求圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（10分）（2015春?杭州期中）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．
（Ⅰ）求证：直线EA⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正切值．
考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
专题：证明题；立体几何．
分析：（1）只需证明直线EA⊥AB，且EA⊥PA即可；
（2）先证明AH⊥平面PCD，得出∠AEP为直线AE与平面PCD所成角，在Rt△PAE中计算tan ∠AEP的值．
解答：解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，
∴△AED是以∠AED为直角的Rt△；
又∵AB∥CD，∴EA⊥AB；
又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA；
且AB∩PA=A，
∴EA⊥平面PAB；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点，
∵CD⊥EA，CD⊥PA，且PA∩EA=A，
∴CD⊥平面PAE；
又AH?平面PAE，
∴AH⊥CD；
又AH⊥PE，且CD∩AE=E，
∴AH⊥平面PCD，
∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
在Rt△PAE中，∵PA=2，AE==，
∴tan∠AEP===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）
点评：本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是基础题目．
21．（12分）（2015春?杭州期中）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON 为直角时，求△OMN的面积．
考点：抛物线的简单性质．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入运算求得 p的值，即可求得抛物线的标准方程；
（Ⅱ）由直线与圆相切可得，把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的范围．利用根与系数的关系及∠MON为直角则，求得t=4，运用弦长公式求得|MN|，求得点O到直线的距离，从而求得△OMN的面积．
解答：解：（Ⅰ）设抛物线方程为x2=2py，
由已知得：22=2p所以p=2，
所以抛物线的标准方程为x2=4y；
（Ⅱ）因为直线与圆相切，
所以，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0，
由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得 t＞0或t＜﹣3，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=4k且x1?x2=﹣4t，
∵∠MON为直角∴，解得t=4或t=0（舍去），
∵，
点O到直线的距离为，
∴=．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，向量的数量积公式的应用，点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。