2020年福建省莆田市光泽第一中学高二数学理模拟试题含解析

2020年福建省莆田市光泽第一中学高二数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知A(1,2,－1),B(5,6,7)，则直线AB与xOz平面交点的坐标是（）
A．(0,1,1) B．(0,1,－3) C.(－1,0,3) D．(－1,0,－5)
参考答案：
D
设直线AB与平面交点为，则，又与共线，所以，则，解得，选D.
2. 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）. A．60° B．90° C．105°D．75°
参考答案：
B
略
3. 函数的图像大致是（）
参考答案：
B
4. 将5种不同的商品在货架上排成一排，其中甲乙两种必须排在一起，丙，丁两种不能在一起，则不同的排法种数是（）
A．12种B．20种 C．24种D．48种参考答案：
C
5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非法半轴重合，终边经过点，则
A. B. C. D.
参考答案：
D
角的终边与单位圆的交点为，所以，，于是
．选D.
6. “直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的（）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
7. 设f（x）=asin2x+bcos2x，且满足a，b∈R，ab≠0，且f（）=f（），则下列说法正确的是（）
A．|f（）|＜|f（）|
B．f（x）是奇函数
C．f（x）的单调递增区间是[k]（k∈Z）
D．a=b
参考答案：
D
【考点】余弦函数的对称性；余弦函数的奇偶性．
【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，由于θ的值不确定，故A、B、C不能确定正确，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），且满足a，b∈R，ab≠0，
sinθ=，cosθ=，
由于θ的值不确定，故A、B、C不能确定正确．
∵f（）=f（），∴f（x）的图象关于直线x=对称，
∴令x=，可得f（0）=f（），即b=a﹣，求得a=b，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的奇偶性、单调性，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
8. .已知曲线C的参数方程为（为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T的极坐标方程为，则点M到曲线T的距离的最大值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
在曲线上的动点，点的坐标为；曲线的直角坐标方程为：
，则点到的距离为
，的最大值为，故选.
点睛：（1）在解决极坐标方程这类题型时，常用的方法是转化成直角坐标方程求解。

（2）求解椭圆、圆上的点到直线距离的最值问题时，将椭圆、圆的参数方程求出，带入点到值线的距离公式转化成三角函数求解。

9. 已知集合，，则
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据集合的基本运算进行求解即可．【详解】因为，，
所以，
故选C．
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.
10. 已知函数，则下列错误的是（）
A．为奇函数
B．在R上单调递减
C．在R上无极值点
D．在R上有三个零点
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段
与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为▲
参考答案：
12. 已知正方体
的棱长是，则直线与间的距离为。

参考答案：
解析：
设
则，而另可设
，
13. 过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则使|PA|·|PB|的值最小时直线l 的方程为__________．
参考答案：
如图所示：设，，
，，
∴，
∴，即时，取最小值，
时、直线的倾斜角为，斜率为，
∴直线的方程为，
即．
14. 将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共
有种.(结果用数值作答)
参考答案：
80 按的位置分类，当在第三个位置时，共有种排法；
当在第四个位置时，共有种不同的排法；
当在第五高为位置时，共有种不同的排法，
所以当都在的左侧时，共有种不同的排法，
所以都在的同侧时，共有种不同的排法.
15. 长方体的三条侧棱长的比1：2：3，全面积是88，则长方体的体积
是
参考答案：
48
16. 已知集合A={x|（x2+ax+b）（x﹣1）=0}，集合B满足条件：A∩B={1，2}，A∩（C U B）={3}，U=R，则a+b等于．
参考答案：
1
节连上，这个教师的课有种不同的排法．
参考答案：
12
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆过点，且离心率。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），椭圆的右顶点为D，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。

参考答案：
解：（Ⅰ）
即
∴椭圆方程为――――――――――4分
又点在椭圆上
解得
∴椭圆的方程为―――――――――6分
(II)设，由得
，
，.ks5u
―――――――――――――8分
所以，又椭圆的右顶点ks5u
，，
，
，解得――――――――――――――10分
，且满足.
当时，，直线过定点与已知矛盾；―――――12分当时，，直线过定点
综上可知，当时, 直线过定点，定点坐标为――――――14分
略
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点满足，且的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的动直线与椭圆相交于两点，直
线与直线的交点为，证明：点总在直线上。

参考答案：略
20. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosB=，b=2．
（1）当A=时，求a的值；
（2）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．
参考答案：
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出sinB，利用正弦定理求出a即可．
（2）通过三角形的面积求出ac的值，然后利用余弦定理即可求出a+c的值．
【解答】解：（1）∵，∴．…
由正弦定理得．…
∴．…
（2）∵△ABC的面积，
∴．…
由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，…
得4=，即a2+c2=20．…
∴（a+c）2﹣2ac=20，（a+c）2=40，…
∴．…
21. （2016秋?湛江期末）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c?cosA+a?cosC=2b?cosA．（Ⅰ）求cosA；
（Ⅱ）若，b+c=4，求△ABC的面积．参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、和差公式与诱导公式即可得出．
（Ⅱ）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：c=2rsinC，a=2rsinA，b=2rsinB（其中r为外接圆半径）．…（1分）
代入c?cosA+a?cosC=2b?cosA得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA
即：sin（A+C）=2sinBcosA?sin（π﹣B）=2sinBcosA．…（3分）∴sinB=2sinBcosA，…（4分）∵B∈（0，π）∴sinB≠0．∴．…
（Ⅱ）由余弦定理，即（b+c）2﹣3bc=7…（7分）
上式代入b+c=4得bc=3．…（8分）∴．
所以△ABC的面积是．…（10分）
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其诱导公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22. 由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题一讲题一再刷题”的模式，效果不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型一刷题一检测效果”的模式，并记录了某学生的记题型时间t（单位：h）与检测效果y的数据如下表所示.
（1）据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r 加以说明（若，则认为y 与t有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；
（2）建立y关于t 的回归方程，并预测该学生记题型8h 的检测效果；
（3）在该学生检测效果不低于3.6的数据中任取2个，求检测效果均高于4.4的概率. 参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，
，相关系数
参考数据：，，，.
参考答案：
（1），与有很强的线性相关关系.（2）y关于t的回归方程为，预测
值为6.3（3）
【分析】
（1）求出相关系数即可得解；
（2）由图表信息求出关于的回归方程；
（3）先求出各种情况的基本事件的个数，再利用古典概型的概率求法，运算即可得解.
【详解】（1）由题得，
，
所以，
所以与有很强的线性相关关系.
（2）由（1）可得，
所以，
所以关于的回归方程为.
当时，，
所以预测该学生记题型的检测效果约为6.3.
（3）由题知该学生检测效果不低于3.6的数据有5个，任取2个数据有，，，，，，，，，共10种情况，其中检测效果均高于4.4的有，，，共3种结果，
故所求概率为.
【点睛】本题考查了变量间的相关性、回归方程及古典概型，属中档题.。