咸阳市2020年高二下数学期末质量跟踪监视试题含解析

咸阳市2020年高二(下)数学期末质量跟踪监视试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．已知函数f(x)＝e x (x －b)(b∈R)．若存在x∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，使得f(x)＋xf′(x)＞0，则实数b 的取值范围
是( ) A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．5,
6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．35,26⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．8,3
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
2．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个
B ．120个
C ．96个
D ．72个
3．变量y 与x 的回归模型中，它们对应的相关系数r 的值如下，其中拟合效果最好的模型是（ ） 模型
1 2 3 4 r
0.48 0.15 0.96 0.30
A ．模型1
B ．模型2
C ．模型3
D ．模型4
4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
A ．
1
5
B ．
625
C ．
825
D ．
25
5．设集合(){}{}1
2
3
4
,,,|1,0,1,1,2,3,4i
A x x x x x i =
∈-=，那么集合A 中满足条件
“2222
12344x x x x +++≤ ”的元素个数为（ ）
A ．60
B ．65
C ．80
D ．81
6．中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按
照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．2
7．若偶函数()f x ()x R ∈满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时,(),f x x =则方程()3log f x x =的根的个数是( ) A ．2个
B ．4个
C ．3个
D ．多于4个
8．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ） A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
9．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线
C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){},1
D P d P C =≤所表示的图
形的面积为（ ） A ．36
B ．36332
π
-
C ．36π+
D ．3633π-
10．下列说法中：①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越弱；②
回归直线ˆˆˆy
bx a =+过样本点中心()
,x y ；③相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越不好．④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.正确．．的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．已知b 的模为1．且b 在a 方向上的投影为3
2
，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点,1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于（ ） A ．
12
B ．
4
π C ．44
π
-
D ．
72
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数22
log ? ,? 1()1?
,? 1x x f x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，若函数1
()()12g x f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是____．
14．二项式18
193x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式的常数项为________(用数字作答).
15．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x R ∀∈,()()1f x f x >-，则正实数a 的取值范围是_________．
16．正项等比数列{}n a 中，2510a a ⋅=，则34lg lg a a +=___________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知集合{
}{
}
2
22
|340,|240A x x x B x x mx m =--≤=-+-≤. （1）若[]1,4A B ⋂=，求实数m 的值； （2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围. 18．已知函数2()sin
cos 3cos 333
x x x
f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值，并求()f x 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）若3
323()24
f α+=
且(0,)
απ∈，求cos α． 19．（6分）如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos a A b C c B =+. (1)求角A 的大小；
(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，2,4AB BC ==，求AD 的长.
20．（6分）完成下列各题.
(1)求4
3x x ⎛
⎝
的展开式;
(2)化简()()()()()5
4
3
2
21521102110215211x x x x x +-+++-+++-.
21．（6分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入27．万元．设
该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且
22110.8,01030
()1081000,103x x R x x x
x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.
（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）
22．（8分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，已知sin A A +=0
，a =b=2. （1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求△ABD 的面积.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】
'()(1)x f x e x b =-+，若存在1[,2]2x ∈，使得()'()0f x xf x +>，即存在1
[,2]2x ∈，使得
()(1)0x
x
e x b xe x b -+-+>，即221x x b x +<+在1[,2]2恒成立，令221
(),[,2]12
x x g x x x +=∈+，则
22
22'()0(1)x x g x x ++=>+，所以()g x 在1[,2]2上单调递增，所以max 8
()(2)3g x g ==，故83
b <，所以b 的取值范围是8
(,)3
-∞，故选A. 2．B 【解析】
试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有2×24=48个， 共有72+48=120个． 故选B
考点：排列、组合及简单计数问题． 3．C 【解析】
分析：根据相关系数的性质，r 最大，则其拟合效果最好，进行判断即可． 详解：线性回归分析中，相关系数为r ，r 越接近于1，相关程度越大；
r 越小，相关程度越小，
∵模型3的相关系数r 最大，∴模拟效果最好， 故选：A ．
点睛：本题主要考查线性回归系数的性质，在线性回归分析中，相关系数为r r ，r 越接近于1，相关程度越大；r 越小，相关程度越小． 4．A 【解析】 【分析】
阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】
因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255
P ==. 故选：A. 【点睛】
本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数
基本本事件的总个数
.
5．D 【解析】
由题意可得，2222
12344x x x x +++≤成立，需要分五种情况讨论：
当2222
12340x x x x +++= 时，只有一种情况，即12340x x x x ====； 当222212341x x x x +++= 时，即12341,0x x x x =±===，有1
428C =种； 当2222
12342x x x x +++= 时，即12341,1,0x x x x =±=±==，有24424C =种； 当222212343x x x x +++= 时，即12341,1,1,0x x x x =±=±=±=，有3
4832C =种 当2222
12344x x x x +++= 时，即12341,1,1,1x x x x =±=±=±=±，有16种，
综合以上五种情况，则总共为：81种，故选D.
【点睛】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住123,4,,x x x x 只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况. 6．C 【解析】 【分析】
有茎叶图，找出获得“诗词能手”的称号的学生人数，求得概率，再利用分层抽样求得答案. 【详解】
由茎叶图可得，低于85分且不低于70分的学生共有16人， 所以获得“诗词能手”的称号的概率为：
162405
= 所以分层抽样抽选10名学生，获得“诗词能手”称号的人数为：2
1045
⨯= 故选C 【点睛】
本题考查了茎叶图以及分层抽样，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】
在同一坐标系中画出函数()y f x =和函数3log y x =的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求. 【详解】
因为偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数的周期为2， 又当[]0,1x ∈时，()f x x =，故当[1,0)x ∈-时，()f x x =-，
则方程()3log f x x =的根的个数，等价于函数()y f x =和函数3log y x =的图象的交点个数，
在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点， 即方程()3log
f x x =有4个根，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程
()3log f x x =的根的个数，转化为函数()y f x =和函数3log y x =的图象的交点个数，在同一坐标系
中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 8．B 【解析】 【分析】
求得圆心角的弧度数，用l
r α
=求得扇形半径.
【详解】
依题意150为5π
6
，所以5656
l
r π
πα===．故选B. 【点睛】
本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】
根据(),d P C 可画出满足题意的点P 所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果. 【详解】
由(),d P C 定义可知，若曲线C 为边长为6的等边三角形ABC ，则满足题意的点P 构成如下图所示的阴影区域
其中AE AC ⊥，AD AB ⊥，IH AC ⊥，JG AC ⊥，1AD AE IH JG ====
223
3DAE π
πππ∠=--=
，1AD = 21121233
S ππ
∴=⨯
⨯= 6
IAH π
∠=
，1IH = 3AH ∴= 413
3122
S ∴=
=
又2623HG AC AH =-=- (36231623S ∴=-⨯=-又2616S =⨯=
∴阴影区域面积为：12343336181863333633S S S S S ππ=+++=++-=-
即点集(){}
,1D P d P C =≤所表示的图形的面积为：3633π-+ 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于
1的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.
10．D 【解析】 【分析】
根据线性回归方程的性质，结合相关系数、相关指数及残差的意义即可判断选项. 【详解】
对于①，相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越强，所以①错误；
对于②，根据线性回归方程的性质，可知回归直线ˆˆˆy
bx a =+过样本点中心()
,x y ，所以②正确； 对于③，相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越不好，所以③正确； 对于④，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，所以④正确； 综上可知，正确的为②③④， 故选：D. 【点睛】
本题考查了线性回归方程的性质，相关系数与相关指数的性质，属于基础题.
【解析】 【分析】
根据平面向量的投影定义，利用平面向量夹角的公式，即可求解． 【详解】
由题意，1b =，则b 在a 方向上的投影为3cos 1cos b θθ=⨯=
， 解得3
cos θ=，又因为[0,180]θ∈，所以a 与b 的夹角为30θ=， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的投影定义和夹角公式应用问题，其中解答中熟记向量的投影的定义和向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 12．A 【解析】 【分析】
P 是底面ABCD 上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设
(,)P x y ，根据已知列出,x y 满足的关系．
【详解】
如图，以,AB AD 为,x y 轴在平面ABCD 内建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，由1PA PC ≥得
22222(2)(2)2x y x y +≥-+-+30x y +-≥，设直线:30l x y +-=与正方形ABCD 的
边交于点,M N ，则P 点在CMN ∆内部（含边界）， 易知(1,2)M ，(2,1)N ，∴1CM CN ==，11
1122
CMN S ∆=⨯⨯=． 故选A ．
本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面ABCD上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．
1 (2,)
2 -
【解析】【分析】
根据题意，可得函数f（x）的图象与直线y＝1
2
a+1有三个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象
求出实数a的取值范围即可．【详解】
根据题意可得函数f（x）的图象与直线y＝1
2
a+1有三个不同的交点，
当x≤1时，函数f（x）max＝f（﹣1
2
）＝
5
4
，如图所示：
则0＜1
2
a+1＜
5
4
，所以实数a的取值范围是﹣2＜a＜
1
2
．
故答案为（﹣2，1
2）．
【点睛】
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，考查了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．14．18564
【解析】
由已知得到展开式的通项为：
3
18
183632
(9)3
1818
3
r
r r r
r r
C x C x
x
-
--
=，
令r=12,得到常数项为012
318564
18
C=；
故答案为：18564.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
15．10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
试题分析：由已知可得0a >且()4,(4)f a a f a a =-=-，若()(),1x R f x f x ∀∈>-，则
4(2)1{2(4)1a a a a --<--<，解得16a <，所以实数a 的取值范围是10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 考点：函数图象的应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的图象及其应用，其中解答中涉及函数的图象及其简答的性质，全称命题、函数的恒成立问题等知识点的综合考查，其中解答中根据已知条件和函数的图象，列出相应的不等式组是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，属于中档试题.
16．1
【解析】
分析：根据等比数列的性质253
4a a a a ⋅=求解 详解：343425lg lg lg lg 1a a a a a a +==⋅=
点睛：等比数列的性质：若m n p q +=+，则a a a a m n p q =。

三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）3m =（2）6m >或3m <-
【解析】
【分析】
（1）先化简集合{}
{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，根据[]1,4A B ⋂=求解.
（2）由（1）得到{|2R C B x x m =<-或}2x m >+，再利用子集的定义由R A C B ⊆求解.
【详解】
（1）因为集合{}
{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，
又因为[]1,4A B ⋂=，
所以21m -=，
所以3m =.
（2）{|2R C B x x m =<-或}2x m >+，
因为R A C B ⊆，
所以42m <-或21m +<-，
解得6m >或3m <-.
【点睛】
本题主要考查集合的基本关系及其运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．（Ⅰ）()1f x =+
， x ∈|3,4x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ 【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求出()f x 取最大值时x 的取
值集合．（Ⅱ）根据3()2f a =且(0,)απ∈，求得3sin()34
πα+=，再利用两角差的余弦公式求出cos α．
【详解】
（Ⅰ）122()sin cos )233
x x f x =+=
1222sin sin()23333x x x π+=+
∴()1f x =，由22332x k πππ+=+，得x ∈|3,4x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
（Ⅱ）由3
()sin()23f παα=++=得，得3sin()34πα+=
若02πα<≤，则sin()sin 33ππ
α+<= 所以(,)32ππ
απ+∈，
∴cos cos()cos()cos sin()sin 333333ππππππαααα=+
-=+++= 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
19． (1)3A π
=；(2)AD =.
【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出1cos 2A =，从而得出A 的大小；（2）利用余弦定理求出AC ，根据BD 是ABC ∠的平分线，可得AD AB DC BC =，故而可求得结果. 试题解析：(1)在ABC ∆中，∵2cos cos cos a A b C c B =+,
∴由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C C B B C A =+=+=，
∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∵()0A π∈，，∴3
A π=. (2)在ABC ∆中，由余弦定理得
2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，
即21642AC AC =+-,解得113AC =+,或113AC =-（负值，舍去）
∵BD 是ABC ∠的平分线，2,4AB BC ==，
∴12AD AB DC BC ==,∴111333
AD AC +==. 20．（1）221218110854x x x x
+++
+；（2）532x 【解析】 分析：（1）根据二项定理，即可得到二项时的展开式；
（2）根据二项式定理的逆用，即可得到相应的二项式.
详解：（1）43x x ⎛+ ⎪⎝
⎭ ()()4432223118110854121x x x x x x x +==++++ 22
1218110854x x x x =++++. （2）原式()()()543012555212121C x C x C x =+-+++ ()()23455–2121C x C x +++
()05521C x -+ ()()55
5211232x x x ⎡⎤=+-==⎣⎦. 点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项式定理的展开式的结果形式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力.
21．（1）
（2）当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大
【解析】
试题分析：解：（Ｉ）当010x <≤时，3
()(10 2.7)8.11030
x W xR x x x =-+=--； 当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x
=-+=--． ∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为
3
8.110,010,30{100098 2.7,10.3x x x W x x x
--<≤=--> （Ⅱ）当010x <≤时，由2
8.100910
x W x =->⇒<<'， 即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减
∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）．
当10x >
时，100098( 2.7)98383W x x =-+≤-=，仅当1009
x =时取“=” 综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元．
考点：本试题考查了函数模型在实际生活中的的运用。

点评：解决应用题，首先是审清题意，然后利用已知的关系式表述出利润函数：收入-成本=利润。

将实际
问题转换为代数式，然后利用函数的性质，或者均值不等式来求解最值，但是要注明定义域，属于中档题。

22．（1）c=4（2
【解析】
【分析】
（1）根据同角三角函数的基本关系式求得tan A ，由此求得A 的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得c .
（2）先求得三角形ABD 和三角形ACD 的面积比，再由三角形ABC 的面积，求得三角形ABD 的面积.
【详解】
（1
）由已知可得tan A =，所以23A π=
. 在△ABC 中，由余弦定理得222844cos
3c c π=+-， 即22240c c +-=，解得c=-6（舍去），c=4.
（2）由题设可得2CAD π
∠=，所以6BAD BAC CAD π
∠=∠-∠=.
故△ABD 与△ACD 面积的比值为1sin 26112
AB AD AC AD π⋅⋅=⋅.
又△ABC的面积为1
42sin23
2
BAC
⨯⨯∠=，
所以△ABD的面积为3.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.。