2018_2019学年高中数学4.4.2参数方程与普通方程的互化学案苏教版选修4_4word版本

4.4.2 参数方程与普通方程的互化
1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程． 2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程．
[基础·初探]
1．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝x0＋lcos α，y ＝y0＋lsin α
(l 为
参数)，其中参数l 的几何意义：有向线段P 0P 的数量(P 为该直线上任意一点)．
2．圆x 2
＋y 2
＝r
2
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝rcos θ，
y ＝rsin θ(θ为参数)．
圆心为M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝x0＋rcos θ，
y ＝y0＋rsin θ(θ为参数)．
3．椭圆x2a2＋y2
b2＝1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数)．
[思考·探究]
1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？
【提示】 不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．
2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？
【提示】 ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．
②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝
＋1
t θ，y ＝
－1t
θ，
如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2
θ＋
cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2
＝4mn 消参．
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：
_____________________________________________________
(1)⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1t －1
，y ＝2t
t3－1
(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5cos θ，
y ＝4sin θ－1
(θ为参数)．
【自主解答】 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1
x －1.
代入y ＝2t
t3－1
化简得y ＝
＋－3x2＋1
(x ≠1)．
(2)由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1
得⎩⎪⎨⎪⎧
cos θ＝x
5， ①sin θ＝y ＋1
4. ②
①2＋②2
得x225＋
＋16
＝1.
[再练一题]
1．将下列参数方程化为普通方程：
(1)⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1t ，y ＝t2＋1
t2
(t 为参数)；
(2)⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)．
【解】 (1)∵x ＝t ＋1t ，∴x 2＝t 2
＋1t2＋2.
把y ＝t 2＋1t2
代入得x 2
＝y ＋2.
又∵x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1
t ≥2；
当t ＜0时，x ＝t ＋1
t ≤－2.
∴x ≥2或x ≤－2.
∴普通方程为x 2
＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)．
(2)⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ
可化为⎩⎪⎨⎪⎧
cos θ＝x －23
，
sin θ＝y
3
.
两式平方相加，得(x －23)2＋(y 3)2
＝1.
即普通方程为(x －2)2
＋y 2
＝9.
(1)
－
3
＋
－5
＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)
(2)x 2
－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数) 【自主解答】 (1)将x ＝3cos θ＋1代入－
3
＋
－5
＝1得：y ＝2＋5
sin θ.
∴⎩⎨
⎧
x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2
(θ为参数)，
这就是所求的参数方程．
(2)将x ＝t ＋1代入x 2
－y ＋x －1＝0得：
y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝t2＋3t ＋1
(t 为参数)，
这就是所求的参数方程． [再练一题]
2．已知圆的方程为x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程．
【导学号：98990029】
【解】 把x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋9＝0化为标准方程为(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝1.
∴参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数).
【思路探究】 设出直线MN 的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中
t 的几何意义及根与系数的关系解题．
【自主解答】 直线MN
方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋tcos α，
y ＝tsin α(α≠0，t 为参数)代入y 2
＝8x ，
得t 2
sin 2
α－8t cos α－8＝0.
设M ，N 对应参数为t 1，t 2，MN 中点G 的参数为t 0，则t 0＝12(t 1＋t 2)＝4cos α
sin2α，
∵⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋4cos2α
sin2α，y ＝4cos α
sin α，
消去α得y 2
＝4(x －1)．
1．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．
2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数l 的几何意义．
[再练一题]
3．经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2
＝25相交于B 、C 两点．
(1)求弦BC 的长；
(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； (3)当BC ＝8时，求直线BC 的方程；
(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程． 【解】 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)， 则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－3＋tcos α，y ＝－3
2＋tsin α，
代入x 2
＋y 2
＝25，整理，得
t 2－3(2cos α＋sin α)t －554
＝0.
∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2
＋55>0恒成立， ∴方程必有相异两实根t 1，t 2，
且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－55
4.
(1)BC ＝|t 1－t 2|＝
＋－4t1t2＝
α＋sin α
＋55.
(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0， 即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 故直线BC 的方程为y ＋3
2＝－2(x ＋3)，
即4x ＋2y ＋15＝0. (3)∵BC ＝
α＋sin α
＋55＝8，
∴(2cos α＋sin α)2
＝1.∴cos α＝0或tan α＝－34.
∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0.
(4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t1＋t22＝3
2(2cos α＋sin α)，
∴点M 的轨迹方程为
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋3
2cos αα＋sin α，
y ＝－32＋32sin αα＋sin
α(0≤α<π)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋32＝3
2α＋1
2sin 2α
，
y ＋34＝3
2
α－1
2
cos 2
α
∴(x ＋32)2＋(y ＋34)2＝4516
.
即点M 的轨迹是以(－32，－34)为圆心，以35
4
为半径的圆．
[真题链接赏析]
(教材第56页习题4.4第2题)将下列参数方程化为普通方程，并说明它
表示什么曲线：
(1)⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4＋3t ，
y ＝3－4t
(t 为参数)；
(2)⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos θ－1，y ＝3sin θ＋2
(θ为参数)；
(3)⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－t21＋t2，y ＝4t
1＋t2
(t 为参数)；
(4)⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos θ，y ＝btan θ
(θ为参数)；
(5)⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝sin θ，y ＝cos 2θ
(θ为参数)．
在平面直角坐标系xOy
中，求过椭圆⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5cos φ，
y ＝3sin φ
(φ为参数)的右
焦点，且与直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4－2t ，
y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．
【命题意图】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化及椭圆的基本性质、直线方
程、两条直线的位置关系等知识．
【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3， 从而c ＝a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)． 将已知直线的参数方程化为普通方程：
x －2y ＋2＝0，
故所求直线的斜率为1
2，
因此其方程为y ＝1
2(x －4)，
即x －2y －4＝0.
1．将参数方程⎩⎨
⎧
x ＝t ，
y ＝2t －4
(t 为参数)化为普通方程为________．
【解析】 将x ＝t 代入y ＝2t －4得y ＝2x －4. 又∵x ＝t ≥0，∴普通方程为2x －y －4＝0(x ≥0)． 【答案】 2x －y －4＝0(x ≥0)
2．圆锥曲线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t2，
y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．
【导学号：98990030】
【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2
＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．
【答案】 (1,0)
3．将参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋sin2θ，
y ＝sin2θ
(θ为参数)化为普通方程为________．
【解析】 转化为普通方程为y ＝x －2，且x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 【答案】 y ＝x －2(2≤x ≤3)
4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨
⎧
x ＝t ，
y ＝t
(t 为参数)
和⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．
【解析】 C 1的普通方程为y 2
＝x (x ≥0，y ≥0)，
C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y2＝x ，x≥0，y≥0x2＋y2＝2得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝1.
∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1)
我还有这些不足：
(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。