2019届山东省实验中学(西校区)高三11月模拟考试数学(理)试题

山东省实验中学西校区高三数学模拟试题
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合{}2
230M x x x =--≤，{}
3cos N y y x ==-，则M N =I （ ）
A ．[]2,3
B ．[]1,2
C ．[)2,3
D ．∅
2．已知x ∈R ,i 为虚数单位，若复数()2
2
4i 2i z x x =+++为纯虚数，则x 的值为（ ）
A ．2±
B ．2
C ．-2
D ．0
3．已知等比数列{}n a 中，2341a a a =，67864a a a =，则456a a a =（ ） A ．8± B ．-8 C ．8 D ．16
4．如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（ ）
A ．
1220 B ．119220 C ．2155 D ．34
55
5．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；
上底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）
A ．13.25立方丈
B ．26.5立方丈
C ．53立方丈
D ．106立方丈
6．已知偶函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，且5log 2a =，ln 2b =，0.1
2c =-，则()()()
,,f a f b f c 满足（ ）
A ．()()()f b f a f c <<
B ．()()()f c f a f b <<
C ．()()()f c f b f a <<
D ．()()()f a f b f c <<
7．某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若运行如图所示的程序框图，输出的n 的值为127，则输入的正整数n 的所有可能取值的个数为（ ）
A ．8
B ．3
C ．2
D ．1
9．已知点,E F 分别在正方形ABCD 的边,BC CD 上运动，且AB =
uu u r
，设CE x =，CF y =，
若AF AE AB -=uu u r uu u r uu u r
，则x y +的最大值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．．
10．已知函数()()2
2cos 102x
f x x ωωω=
-+>，将()f x 的图象向右平移02πϕϕ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭个单位，所得函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）
A ．
12π B ．6π C ．8π D ．3
π
11．若函数()y f x =满足：①()f x 的图象是中心对称图形；②若x D ∈时，()f x 图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M ，则称()f x 是区间D 上的“M 对称函数”.若函数
()()()3
10f x x m m =++>是区间[]4,2-上的“3m 对称函数”，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．)
+∞ B ．)⎡+∞⎣
C ．(
-∞ D ．
)
+∞
12．已知双曲线()2
2
2:10y C x b b
-=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 上的任意一点，过点
P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于,A B 两点，若四边形PAOB （O 为坐标原
120PF PF ⋅>uuu r uuu r
，则点P 的横坐标的取值范围为（ ）
A ．,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U
B ．⎛ ⎝⎭
C ．,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U
D ．⎛ ⎝⎭
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知tan 2α=，则22sin 22cos 2sin 4αα
α
-= ．
14．已知抛物线2:C y ax =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．
15．已知实数,x y 满足不等式组1,440,210,y x y x y ≥-⎧⎪
+-≤⎨⎪--≥⎩
则目标函数224z x y =+的最大值与最小值之和
为 ．
16．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，ACD ∠与CBD ∠互为余角，2AD =，3AC =，则sin A 的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知数列{}n a 的前n 项和n S
恰好与1
1n +⎛ ⎝⎭
的展开式中含2
x -项的系数相等.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()1
1n
n n n
a b S +=-⋅
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T . 18． 在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点，点F 是线段AD
上的一个动点，且()01DF DA λλ=≤≤uuu r uu u r
.如图，将BCE ∆沿BE 折起至BEG ∆，使得平面BEG ⊥平面ABED
.
（1）当1
2
λ=
时，求证：EF BG ⊥； （2）是否存在λ，使得FG 与平面DEG 所成的角的正弦值为1
3
？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
19． 春节过后，某市教育局从全市高中生中抽去了100人，调查了他们的压岁钱收入情况，按照金额（单位：百元）分成了以下几组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.统计结果如下表所示：
该市高中生压岁钱收入Z 可以认为服从正态分布()
2
,14.4N μ，用样本平均数x （每组数据取区间的中点
值）作为μ的估计值. （1）求样本平均数x ； （2）求()54.197.3P Z <<；
（3）某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动，并针对该市的高中生制定了赠送“读书卡”的活动，赠送方式为：压岁钱低于μ的获赠两次读书卡，压岁钱不低于μ的获赠一次读书卡.已知每次赠送的读书卡张数及对应的概率如下表所示：
现从该市高中生中随机抽取一人，记Y （单位：张）为该名高中生获赠的读书卡的张数，求Y 的分布列及数学期望.
参考数据：若()
2,Z N μσ:，则()0.6826
P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.
20． 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的上顶点为点D ，右焦点为()21,0F .延长2DF 交椭圆C 于点
E ，且满足223D
F F E =.
（1）试求椭圆C 的标准方程；
（2）过点2F 作与x 轴不重合的直线l 和椭圆C 交于,A B 两点，设椭圆C 的左顶点为点H ，且直线,HA HB 分别与直线3x =交于,M N 两点，记直线22,F M F N 的斜率分别为12,k k ，则1k 与2k 之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由. 21． 已知函数()()ln 2f x x mx m =-+∈R .
（1）若函数()f x 恰有一个零点，求实数m 的取值范围；
（2）设关于x 的方程()2f x =的两个不等实根12,x x e （其中e 为自然对数的底数）. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为1cos ,
sin x r y r θθ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数，0r >）.以原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin 13πρθ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
. （1）若直线l 与圆C 有公共点，试求实数r 的取值范围；
（2）当2r =时，过点()2,0D 且与直线l 平行的直线l '交圆C 于,A B 两点，求11DA DB
-的值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≤；
（2）若函数()2201822019g x x a x =--+-，若对于任意的1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得
()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
理数答案 一、选择题
1-5:ABCDB 6-10:DCBCA 11、12：AA 二、填空题
13．
112 14．83 15．314 16．3或4
三、解答题
17．解：（1）依题意得()2
121n n S C n n +==+，
故当2n ≥时，()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--=， 又当1n =时，112a S ==，也适合上式，
故()
2n a n n =∈*
N .
（2）由（1）得()()
21
11n
n n b n n +=-⨯
+
()1
111n n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭
，
故2122n n T b b b =+++L
1111
1111223212221n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L
()1212121
n
n n n =-+
=-∈++*N . 18．解：（1）当1
2
λ=时，点F 是AD 的中点.
∴112DF AD ==，1
13DE CD ==.
∵90ADC ∠=︒，∴45DEF ∠=︒. ∵2
23
CE CD =
=，2BC =，90BCD ∠=︒， ∴45BEC ∠=︒. ∴BE EF ⊥.
又平面GBE ⊥平面ABED ，平面GBE I 平面ABED BE =，EF ⊂平面ABED ， ∴EF ⊥平面BEG .
∵BG ⊂平面BEG ，∴EF BG ⊥.
（2）以C 为原点，,CD CB u u u r u u r
的方向为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系Cxyz .
则()2,0,0E ，()3,0,0D ，()3,2,0F λ. 取BE 的中点O ，
∵2GE BG ==，∴GO BE ⊥， ∴ 易证得OG ⊥平面BCE ，
∵BE =
OG =
(
G .
∴(2,12FG λ=--uu u r
，(
EG =-uu u r
，(DG =-uuu r
.
设平面DEG 的一个法向量为(),,n x y z =r
，
则20,0,
n DG x y n EG x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r uuu r r uu u r
令z =
(0,n =-r
.
设FG 与平面DEG 所成的角为θ，
则sin cos ,FG n θ=uu u r r
13
=
=， 解得12λ=
或710
λ=-（舍去） ∴存在实数λ，使得DG 与平面DEG 所成的角的正弦值为13，此时1
2
λ=. 19．解：（1）()1
455552065307530851095568.5100
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， （2）由（1）得68.5μ=，14.4σ=.
∴()()54.197.368.514.468.528.8P Z P Z <<=-<<+()2P Z μσμσ=-<<+
()P Z μσμσ=-<<++
()()1
220.81852P Z P Z μσμσμσμσ-<<+--<<+=⎡⎤⎣
⎦. （3）易知()()1
2
P Z P Z μμ<=≥=.
∴Y 的所有可能取值为1,2,3,4.
()1421255
P Y ==
⨯=； ()1114421
22525550P Y ==⨯+⨯⨯=；
()1144
3225525P Y ==⨯⨯⨯=；
()1111
425550P Y ==⨯⨯=.
∴()f x 的分布列为
∴()221419123455025505
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 20．解：（1）椭圆C 的上顶点为()0,D b ，右焦点()21,0F ，点E 的坐标为(),x y .
∵223DF F E =，可得223DF F E =uuu r uuu r
，
又()21,DF b =-uuu r ，()21,F E x y =-uuu r
，
∴4,33x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
代入22221x y a b +=可得22
22
4331b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 又2
2
1a b -=，解得2
2a =，2
1b =，
即椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y
，()
H ，()3,M M y ，()3,N N y . 由题意可设直线AB 的方程为1x my =+，
联立22
112
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ， 得()
22
2210m y my ++-=，
∴1221222,21.
2m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
根据,,H A M
=，
∴
13M y y +=
同理可得23N y y +=
∴,M N
的坐标分别为
13y ⎛⎫+
⎝
，23y ⎛⎫
+ ⎝， ∴1200131314
N M M N y y k k y y --=
⋅=
--
123314y y =
2
123
y y =
((
()(2
122
2121
2
3411y y m y y m y y +=
⎡⎤
+++++⎢⎥⎣
⎦
()
2
2
222214322
m m m m m +=
⎡-+-⎢
+++⎢+
+⎣
⎦
2
2
m =
=
+∴1k 与2k 之积为定值，且该定值是
9
8
. 21．解：（1）由题意知()f x 的定义域为()0,+∞， 且()11mx
f x m x x
-'=
-=. ①当0m <时，()0f x '>，()f x 在区间()0,+∞上单调递增，
又()120f m =-+>，()()
2
22e
e 1e 0m m m
f m m m ---=-=-<， ∴()()
2
1e
0m f f -⋅<，即函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ②当0m =时，()ln 2f x x =+， 令()0f x =，得2
e x -=.
又易知函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，
∴()f x 恰有一个零点.
③当0m >时，令()0f x '=，得1x m =
， 在区间10,m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 在区间1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 故当1x m =
时，()f x 取得极大值， 且极大值为11ln 1ln 1f m m m ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭
，无极小值. 若()f x 恰有一个零点，则1ln 10f m m ⎛⎫=-+=
⎪⎝⎭，解得e m =， 综上所述，实数m 的取值范围为(]{},0e -∞U .
（2）记函数()()2ln g x f x x mx =-=-，0x >，
则函数()g x 的两个相异零点为12,x x
不妨设120x x >>，
∵()10g x =，()20g x =，
∴11ln 0x mx -=，22ln 0x mx -=，
两式相减得()1212ln ln x x m x x -=-，
两式相加得()1212ln ln x x m x x +=+.
∵120x x >>，
e >，即证12ln ln 2x x +>，
只需证()122m x x +>， 只需证121212
ln ln 2x x x x x x ->-+， 即证()121212
2ln x x x x x x ->+，
设12
1x t x =>，则上式转化为()()21ln 11t t t t ->>+， 设()()21ln 1t h t t t -=-+，()()()
22101t h t t t -'=>+， ∴()h t 在区间()1,+∞上单调递增，
∴()()10h t h >=，∴()21ln 1
t t t ->+， 即12ln ln 2x x +>
e >.
22．解：（1）由sin 13πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
， 得sin cos cos sin 133ππρθθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
，
即112y x =， 故直线l
20y -+=.
由1cos ,sin ,
x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩
得1cos ,sin ,x r y r ϕϕ-=⎧⎨=⎩
所以圆C 的普通方程为()2
221x y r -+=. 若直线l 与圆C 有公共点，则圆心()1,0到直线l
的距离d r =≤
，即22
r ≥， 故实数r
的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭
. （2）因为直线l '的倾斜角为3
π，且过点()2,0D ， 所以直线l '
的参数方程为2,2t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），① 圆C 的方程为()2
214x y -+=，②
联立①②，得2
30t t +-=，
设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，
则121t t +=-，123t t =-， 故12121113
DB DA t t DA DB DA DB t t -+-===⋅. 23．解：（1）依题意，得()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩
由()3f x ≤，得1,233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≤⎩或11,223
x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≤⎩或1,3 3.x x ≥⎧⎨≤⎩ 解得11x -≤≤.
即不等式()3f x ≤的解集为{}11x x -≤≤.
（2）由（1）知，()min 1322
f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()2201822019
g x x a x =--+-≥22018220191x a x a ---+=-， 则312
a -≤
， 解得1522a -≤≤， 即实数a 的取值范围为15,22⎡⎤-
⎢⎥⎣
⎦.。