人教版高三数学下学期平面向量多选题单元 易错题自检题学能测试试题

人教版高三数学下学期平面向量多选题单元 易错题自检题学能测试试题
一、平面向量多选题
1．下列命题中真命题的是（ ）
A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）
B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π
＜θ≤π
C ．A 、B 、C 、
D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形
D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向
【答案】BC
【分析】
对于A ：利用共线定理判断
对于B ：利用平面向量的数量积判断
对于C ：利用数量积的应用判断
对于D ：利用向量的四则运算进行判断
【详解】
对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误.
对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12
a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3
π＜θ≤π，即B 正确. 对于C ：
()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD
cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.
对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误.
故选：BC.
【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.
2．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB
是圆()()22
:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（ ）
A ．弦A
B 的中点轨迹是圆
B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22
222x y -+-=上
C ．线段PG
长的最大值为1
D ．PA PB ⋅
的最小值6+
【答案】ABC
【分析】
对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算
得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r
=--问题，即可判断. 【详解】
对于选项A ：设()00,G x y
，
2AB =
G 为弦AB 的中点，
GB ∴=，
而()()22:114C x y
+++=，
半径为2，
则圆心到弦AB 的距离为1CG =
=，
又圆心()1,1C --， ()()22
00111x y ∴+++=，
即弦AB 的中点轨迹是圆.
故选项A 正确；
对于选项B ： 由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩
， 得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩
， 代入()()22
22x y -+-整理得2，
故选项B 正确；
对于选项C ：由选项A 知：
点G 的轨迹方程为：()()22
111x y +++=，
由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=， ()()
11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=
所以线段1112max
11PG PG r r =++=+=，
故选项C 正确；
对于选项D ： ()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+
()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅
22203PG PG GB PG =+⋅-=-，
故()()2min min
3PA PB PG ⋅=-，
由选项C 知：1112min
11PG PG r r =--=-=，
所以()()2
min 136PA PB ⋅=-=-， 故选项D 错误；
故选：A B C.
【点睛】
关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.
3．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ）
A ．()a b a +⊥
B ．|2|5a b +=
C ．向量a 在向量b 上的投影是2
D ．向量a 的单位向量是⎝⎭
【答案】ABD
【分析】
多项选择题需要要对选项一一验证:
对于A:利用向量垂直的条件判断；
对于B:利用模的计算公式；
对于C:利用投影的计算公式；
对于D:直接求单位向量即可．
【详解】 (2,1),(3,1)a b ==-
对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；
对于B: 222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；
对于C: 向量a 在向量b 上的投影是
2210||(3)1a b b ⋅==--+，故C 错误； 对于D: 向量a 的单位向量是255,⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】 多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
4．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）
A ．当0x =时，[]2,3y ∈
B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52
y = C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段
D ．x y -的最大值为1-
【答案】BCD
【分析】
利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确.
【详解】
当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错
当P 是线段CE 的中点时，13()2
OP OE EP OB EB BC =+=++
1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对 x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对
如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；
又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；
由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；
此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确
故选：BCD
【点睛】
结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.
5．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）
A ．1233AE AC AD =+
B ．25
DF DB = C ．,3AB AD π=
D ．2725
FB FC ⋅= 【答案】BCD
【分析】
根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于选项A ：()
22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选
项A 不正确；
对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；
对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()
223AD A B D AB A ⎛
⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以114233
2AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=， 11cos ,212
AB AD
AB AD AB AD ⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π
=，
故选项C 正确；
对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭
()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
22969362734252525252525
AB AB AD AD =
⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.
6．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()
0a b c -⋅=
B ．()0a b c a +-⋅=
C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
【答案】ABC
【分析】 作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误.
【详解】
如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确； 对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
7．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<
【答案】AC
【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．
【详解】 解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；
由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而
2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()
(),44,1λ∈-∞--，故D 错误； 故选：AC ．
【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．
8．下列各式结果为零向量的有（ ）
A ．A
B B
C AC ++
B ．AB A
C B
D CD +++ C ．OA OD AD -+
D ．NQ QP MN MP ++-
【答案】CD
【分析】
对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确.
【详解】
对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；
对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；
对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确；
对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确.
故选：CD
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）
A ．2b =
B ．a b ⊥
C ．2a b ⋅=
D ．(2)a b BC +⊥
【答案】AD
【分析】
本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确.
【详解】
因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=，
因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确，
因为AB a =，BC b =， 所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误， 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
，C 错误， 因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=，
所以(2)a b BC +⊥，D 正确，
故选：AD.
【点睛】 本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.
10．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；
B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；
C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；
D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】BCD
【分析】 通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确．
【详解】
对A ，当0a = 时，可得到A 不成立；
对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形， a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．
对D ，22()()()()110||||||||||||
a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特
点．属于基础题．。