人教A版数学必修一1-3-2-251张.pptx

命题方向 2 单调性与不等式
[例 2] 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(－∞，0] 上是减函数，且 f(2)＝0，则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ()
A．(－∞，2) B．(－2,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[解析] 由题意知 f(－2)＝f(2)＝0，
(3)∵f(x)在 R 上是减函数． ∴f(x)在[－3,3]上的最大值是 f(－3)，最小值是 f(3)． f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－2)＝－6， ∴f(－3)＝－f(3)＝6. 从而 f(x)在区间[－3,3]上的最大值是 6，最小值是－6.
[点评] 对抽象函数的奇偶性与单调性的证明，围绕证明 奇偶性与单调性所需要的关系式，对所给的函数关系式赋值．
[答案] B
[解析] 根据函数奇偶性的定义可以验证 A，C 正确，D 的定义域不关于原点对称．
4．下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图象一定与 y 轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于 y 轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f(x)＝0(x∈R)．
A．1
课后强化作业（点此链接）
B．2
C．3
D．4
[答案] A
[解析] ①②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原 点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f(x)＝0(x∈(－a，a))．
5．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题： ①f(0)＝0； ②若 f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则 f(x)在(－∞，0) 上有最大值 1； ③若 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则 f(x)在(－∞，－1]上 为减函数； ④若 x>0 时，f(x)＝x2－2x，则 x<0 时，f(x)＝－x2－2x. 其中正确结论的序号是：________.
于( )
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
[解析] 令 g(x)＝f(x)＋8＝x5＋bx，则 g(x)是奇函数， ∴g(－2)＋g(2)＝0，∴f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0， ∵f(－2)＝10，∴f(2)＝－26，∴选 A.
[答案] A
已知函数 y＝f(x)是奇函数，y＝g(x)是偶函数，且对于定 义域内的任一 x 都有 f(x)－g(x)＝x2－2x，求 f(x)与 g(x)的解析 式．
(3) 解 ： f(4×4) ＝ f(4) ＋ f(4) ＝ 2 ， f(16×4) ＝ f(16) ＋ f(4) ＝ 3.f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，即 f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数且 f(x)是偶函数， ∴33xx＋＋1122xx－－66>≤06，4 或－3x＋3x1＋12x－2x6－<60≤，64.
[分析] 利用函数的性质再得到一个关于 f(x)与 g(x)的等 式，然后把 f(x)，g(x)看作未知量，利用方程的观点求解 f(x)， g(x)．
[解析] 用－x 代替 x 得 f(－x)－g(－x)＝(－x)2＋2x ∵y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数 ∴f(x)＋g(x)＝－x2－2x 它与 f(x)－g(x)＝x2－2x联立得 f(x)＝－2x，g(x)＝－x2.
(2)求函数单调性要先确定函数的定义域． (3)若 f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数． (4)复合函数 y＝f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原 则．
(5)奇函数的性质： ①图象关于原点对称； ②在关于原点对称的区间上单调性相同； ③若在 x＝0 处有定义，则有 f(0)＝0. (6)偶函数的性质： ①图象关于 y 轴对称； ②在关于原点对称的区间上单调性相反； ③f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
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成才之路·数学
人教A版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 集合与函数概念
第一章
1．3 函数的基本性质
第一章
1. 3.2 奇偶性
第一章
第 2 课时 习题课
知识整合
1．网络构建
2．规律小结 (1)判断函数单调性的步骤： ①任取 x1，x2∈R，且 x1<x2； ②和差：f(x1)－f(x2)； ③变形(通分、配方、因式分解)； ④判断差的符号，下结论．
[例 4] 函数 f(x)的定义域为 R，且对任意 x，y∈R，有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)证明 f(x)是奇函数； (2)证明 f(x)在 R 上是减函数； (3)求 f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
[分析] 给出函数关系而未给出解析式，要证明函数的奇 偶性与单调性，关键是紧紧扣住条件 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 x>0 时，f(x)<0，对其中的 x，y 不断赋值．
C．f(x)f(－x)＝0
D．f(0)≠0
[答案] B
[解析] 根据奇函数的定义即得．
2．已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x)在
[0，＋∞)上是减函数．下列关系式中，正确的是( )
A．f(5)>f(－5)
B．f(4)>f(3)
C．f(－2)>f(2)
D．f(－8)＝f(8)
[解析] (1)令 y＝－x，得 f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)， ∴f(x)＋f(－x)＝f(0)． 又∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
(2)任取 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)] ＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)] ＝－f(x2－x1)． ∵x1<x2，∴x2－x1>0。 又∵当 x>0 时，f(x)<0， ∴f(x2－x1)<0， ∴－f(x2－x1)>0，即 f(x1)>f(x2)， 从而 f(x)在 R 上是减函数．
解得－x>733≤或xx≤<－5 13，
或－13<x<3，∴3<x≤5 或－73≤x<
－13或－13<x<3，∴x 的取值范围为{x|－73≤x<－13或－13<x<3 或 3<x≤5}．
课堂基础巩固
1．对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x)有( )
A．f(x)－f(－x)＝0
B．f(x)＋f(－x)＝0
[答案] ①②④ [解析] 根据奇函数的定义与性质一一验证即可．
6．已知函数 f(x)＝x2＋2(1－2a)x＋6 在(－∞，－1)上为减 函数．
(1)求 f(2)的取值范围； (2)比较 f(2a－1)与 f(0)的大小．
[解析] (1)二次函数图象的对称轴为 x＝2a－1， ∴原函数在(－∞，2a－1]上为减函数， ∴－1≤2a－1，∴a≥0， 而 f(2)＝22＋2(1－2a)×2＋6＝－8a＋14， ∵a≥0，∴f(2)＝14－8a≤14. (2)∵当 x＝2a－1 时，函数 y＝f(x)取最小值， ∴f(2a－1)≤f(0)．
[解析] 由条件知，f(16)＝f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，故不等 式 f(x＋6)＋f(x)>2，
即 f(x＋6)＋f(x)>f(16)
x＋6>0
等价于x>0
，解之得 x>2.
xx＋6>16
命题方向 3 分段函数的图象与最值
[例 3] 对于每个实数 x，设 f(x)取 y＝4x＋1，y＝x＋2， y＝－2x＋4 三个函数中的最小值，用分段函数写出 f(x)的解 析式，并求 f(x)的最大值．
[解析] (1)令 x1＝x2＝1，得 f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得 f(1) ＝0.
(2)f(x)为偶函数． 证明：令 x1＝x2＝－1，则 f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)， 解得 f(－1)＝0.令 x1＝－1，x2＝x，则 f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴ f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(7)若奇函数 f(x)在[a，b]上有最大值 M，则在区间[－b， －a]上有最小值－M；若偶函数 f(x)在[a，b]上有最大值 m， 则在区间[－b，－a]上也有最大值 m.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型讲解
命题方向 1 奇偶性的应用
[例 1] 已知 f(x)＝x5＋bx－8，且 f(－2)＝10，则 f(2)等
当 x∈(－2,0)时，f(x)<f(－2)＝0，由对称性知，x∈[0,2) 时，f(x)为增函数，f(x)<f(2)＝0，故 x∈(－2，2)时，f(x)<0， 因此选 B.
[答案] B
[点评] 可用数形结合法求解．由题意画出示意图如图所 示可知选 B.
已知定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)是增函数，对任意 x1、 x2∈(0，＋∞)都有 f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，又 f(4)＝1，求使不等 式 f(x＋6)＋f(x)>2 成立的 x 的取值范围．
[解析] 由直线 y＝4x＋1 与 y＝x＋2 求得交点 A13，73； 由直线 y＝x＋2 与 y＝－2x＋4，求出交点 B23，83.由图象可看 出：
－2x＋4
x≥23
f(x)＝x＋2
13<x<23
4x＋1 x≤13
f(x)的最大值为 f23＝83.
探索延拓创新
命题方向 4 函数性质的综合应用
[答案] C
[解析] f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，所以 当 x>0 时，f(x)<f(0)＝0；当 x<0 时，f(x)>f(0)＝0.
3．下列说法错误的是( ) A．f(x)＝x＋1x是奇函数 B．f(x)＝|x－2|是偶函数 C．f(x)＝0，x∈[－6,6]既是奇函数，又是偶函数 D．f(x)＝xx3－－1x2不具有奇偶性
函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对于任意 x1， x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明； (3)如果 f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且 f(x)在(0，＋ ∞)上是增函数，求 x 的取值范围．