天津市耀华中学2020届高三数学上学期开学暑假验收考试试题(PDF)

天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试
数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.
已知全集U R =
，集合{|A x y ==
，2{|1}B y y x ==-，那么集合
()U A B = ðA.(-∞，0] B.(0，1) C.(0，1]
D.[0，1)
2.设x R ∈，则“|2|1x -<”是“2
20x x +->”的
A.既不充分也不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.充分而不必要条件
3.
“十二平均律”是通用的音律体系.明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比
都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为
C.
D.
4.
已知2log a e =，ln 2b =，12
1
log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.a b c
>> B.b a c
>> C.c b a >> D.c a b
>>5.
若将函数2sin 2y x =的图象向左平移
π
12
个单位长度，则平移后图象的对称轴为A.()26k x k Z ππ=-∈ B.()26k x k Z ππ=+∈C.()212k x k Z ππ=-∈ D.()
212
k x k Z ππ=+∈6.
已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增.若实数a
满足
|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是
A.(-∞，12
B.(-∞，13
(22 ，)
+∞C.1(2，3)2 D.3(2
，)+∞7.已知抛物线2
8y x =的准线与双曲线222116
x y a -=相交于A ，B 两点，点F 为抛物线
的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为A.3
1
+ C.2
8.已知函数2231()ln 1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩
，若关于x 的方程1
()2f x kx =-恰有四个不
相等的实数根，则实数k
的取值范围是
A.1(2
B.1[2
C.1(2，
e
D.1(
2，e
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.
已知i 为虚数单位，则
21i
i
-=+__________.10.在6
1
(2)x x
-的展开式中2
x 的系数为________（用数字作答）.
11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中
心分别为点E 、F 、G 、H 、M (如图)，
则四棱锥M EFGH -的体积为__________.
12.直线3y kx =+与圆2
2
(4)(3)4x y -+-=相交于M 、N 两点，||MN ≥则k
的取值范围是__________.
13.已知a 、b 、c 为正实数，20a b c -+=，则2
b a
c 的最小值为___________.
14.在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =.若2BD DC = ，AE AC AB
λ=-
()R λ∈，且AD •4AE =-
，则λ的值为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4a =，c =
cos 4
A =-
.⑴求b 和sin C 的值；⑵求cos(2)6
A π
+
的值.16.（本小题满分13分）
甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试
的概率依次为
34、23、1
2
，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响．
⑴若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；
⑵记三个项目中通过考试的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且1PD CD ==，2BC =，E 是棱PC 的中点，过点E 作EF PB ⊥于点F .⑴求证：PB ⊥平面DEF ；
⑵求直线BD 与平面DEF 所成角的正弦值；⑶求二面角D BP C --
的余弦值.
18.（本小题满分13分）
设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为*()n S n N ∈，{}n b 是等差数列.已知
11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.
⑴求{}n a 和{}n b 的通项公式；⑵求
1
n
k
k k b
S =⋅∑.
已知椭圆C ：22221x y a b
+=(0)a b >>的离心率2e =，椭圆C 上的点到其左焦点
的最大距离为⑴求椭圆C 的方程；
⑵过点(A a -，0)作直线l 与椭圆相交于点B ，则y 轴上是否存在点P ，使得线段
PA PB =，且4PA PB ⋅=uur uur
？如果存在，求出点P 坐标；否则请说明理由．
20.（本小题满分14分）
已知函数2
()f x ax x =-，()ln g x b x =，且曲线()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线．
⑴求实数a ，b 的值；
⑵求证：()()f x g x ≥在(0，)+∞上恒成立；
⑶当[1n ∈，)+∞时，求方程()()f x x ng x +=在区间(1，)n
e 内实根的个数.
天津市耀华中学2020届高三年级暑假验收考试
数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678选项
C
D
D
D
B
C
A
D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9.
1322
i -；10.240；11.
1
12；
12.[15-，]15
；
13.8；
14.311
.
三、解答题：本题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分13分）
⑴由余弦定理得2
2
2
2cos a b c bc A =+-，即222
1682284
b b b b =+-⨯=++，也即2280b b +-=，解得2b =或4-（舍）.
由同角三角函数的基本关系，有14sin 4
A ==.
由正弦定理
sin sin a c
A C
=
得，sin 4C =.⑵由二倍角的正弦和余弦公式，得
223
cos 2cos sin 4A A A =-=-
，sin 22sin cos 4
A A A ==-，∴733
cos(2)cos 2cos sin 2sin 6668A A A πππ+=-=.
16．（本小题满分13分）
⑴记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A 、B 、C .则事件“甲同学进入复赛”表示为AC .
∵A 、C 相互独立，
∴313()()()428P AC P A P C ==
⨯=即甲同学进入复赛的概率为3
8
.
⑵随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，且
3211
(0)(1)(1)(1)43224
P X ==-⨯-⨯-=，
1111213111
(1)4324324324
P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯=，
12131132111
(2)43243243224P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯=
，3211
(3)4324
P X ==⨯⨯=.
∴随机变量X 的分布列为：
X
0123
P
1241
411
2414
数学期望1111123
()012324424412
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
.17.（本小题满分13分）
⑴∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥.∵底面ABCD 为长方形，∴CD BC ⊥.又PD CD D = ，∴BC ⊥平面PCD .∵DE ⊂平面PCD ，∴DE BC ⊥.
∵PD CD =，E 为PC 的中点，∴DE PC ⊥.又∵PC BC C = ，∴DE ⊥平面PBC .∴DE PB ⊥.又EF PB ⊥，DE EF E = ，∴PB ⊥平面DEF .
⑵由题意易知，DA 、DC 、DP 两两垂直，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0D ，0，0)，(0P ，0，1)，(0C ，1，0)，(2B ，1，0).
∴(2BD =- ，1-，0)，(2BP =-
，1-，1)
设直线BD 与平面DEF 所成角为θ，且由⑴知BP
为平面DEF 的法向量.
∴sin |cos BD θ=< ，|6
BP >=
即直线BD 与平面DEF 所成角的正弦值为30
6
.
⑶由⑵知，(0E ，12，1
)2，(2BD =- ，1-，0)，(2BP =- ，1-，1)
可求得平面PBD 的法向量(1n =
，2-，0)由⑴知DE ⊥平面PBC ∴DE 为平面PBC 的法向量，(0DE = ，12，1)
2
设二面角D BP C --为α，且由图可知，α为锐角，则
cos |cos DE α=< ，|5
n >=
∴二面角D BP C --的余弦值为5
.
18.（本小题满分13分）
解：⑴设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，322a a =+，可得2
20q q --=.∵0q >，可得2q =.故1
2
n n a -=.
设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，得134b d +=，由5462a b b =+，得131316b d +=，∴11b d ==.故n b n =；
⑵解：由⑴，可得122112
n
n n S -==--，
故21
1
1
1
1
(2
1)(2)2(1)2
22
n
n n n
k
k
k
n n k k k k n n T k k k k k n +====+=
-=⋅-=⋅-=-+-
∑∑∑∑19.（本小题满分14分）
解：⑴2
214
x y +=；
⑵由⑴知(2A -，0)，设1(B x ，1)y ，由题意，直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =+，联立方程得22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，整理得2222
(14)16(164)0k x k x k +++-=，由212164214k x k --=+得212
2814k x k
-=+则12
414k
y k
=+，假设y 轴上存在点P ，使得线段PA PB =，且4PA PB ⋅=uur uur 则由PA PB =得点P 为线段AB 中垂线与y 轴交点.设(0P ，0)y .设AB 中点为M ，则M 的坐标为228(14k k -+，
2
2)14k
k +.以下分两种情况：
当0k =时，点(2B ，0)，此时AB 中垂线为y 轴，于是(2PA =-uur
，0)y -，(2PB =uur ，
0)y -.由4PA PB ⋅=uur uur
得0y =±.
当0k ≠时，线段AB 中垂线的方程为2
22
218()
1414k k y x k k k -=-+++令0x =，解得02
614k
y k
=-+.(2PA PB ⋅=-uur uur
，01)(y x -⋅，101010)2()y y x y y y -=---242222222
2(28)6464(16151)(41+41+41+41+4(1+4)
k k k k k k k k k k k --+-=++==
解得7k =±
，∴05
y =±
，
综上，y 轴上存在点P ，使得线段PA PB =，且4PA PB ⋅=uur uur
，点P 坐标为(0
，±或(0，214
)5
±
.20.（本小题满分14分）解：⑴()21f x ax '=-，()b g x x
'=
，∵曲线()()f x g x 和在1x =处有相同的切线，∴(1)21=(1)(1)1(1)0
f a
g b
f a
g ''=-=⎧⎨
=-==⎩，解得1a =，1b =；
⑵证明：设2()()()ln u x f x g x x x x =-=--，0x >.
1(21)(1)()21x x u x x x x
+-'=--
=∴当01x <<时，()0u x '<，()u x 单调递减；当1x >时，()0u x '>，()u x 单调递增.∴()(1)0u x u ≥=，即()()f x g x ≥在(0，)+∞上恒成立.⑶设2()()()ln h x f x ng x x n x =-=-，
∴2
2(222()2x x n x n h x x x x
x
+
--'=-==
①当
12
≤即12n ≤≤时，()0h x '>在(1，)n e 上恒成立，即()h x 单调递增，从而()(1)10h x h >=>，所以()h x 零点个数为0；
②当
12
>即2n >
时，()012h x x '<⇒<<
，()02n h x x e '>⇒<<，从而()h x 在(1
，
2上单调递减，在2，)n
e 上单调递增，有极小值(1ln )222
n n
h =-.
∵x e x >在(1，)n
e 上恒成立，22()()(+)0n n n n h e e
n e n e n =-=->，又∵(1)10h =>，所以
当)(1ln )0
222n n
h =->时，即22n e <<时，()h x 零点个数为0；当)(1ln
)0222n n h =-=时，即2n e =时，()h x 零点个数为1；
当)(1ln )0222
n n h =-<时，即2e n <时，()h x
零点个数为2；
综上所述，12n e ≤<时，方程实根个数为0；2n e =时，方程实根个数为1；2e n <时，方程实根个数为2.。