定解问题与偏微分方程理论2

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2_偏微分方程数值解法引论

7.重调和方程
u 0, 其中u u( x ). n 2，
2 2 4 4 4 2 2 （ 2 2 ） 4 2 2 2 4 . x y x x y y
2
8. Navier Stokes方程
3 ui ui 1 p 3 t uk x x ui , i 1, 2, （动量守恒） k 1 k i 3 uk （质量守恒） 0 k 1 x k 其中，u ( u1 , u2 , u3 )表示速度，表示粘滞系数
（1）
其中
bij bij ( x , y , u 1 , u 2 ), i , j 1, 2 bi bi ( x , y , u 1 , u 2 ), i 1, 2
u xx ( u ss s x u st t x ) s x u s s xx ( u ts s x u tt t x ) t x u t t xx
2 2 u ss s x 2 u st t x s x u tt t x u s s xx u t t xx
的两个特解，则有 A 0 , 则方程（2）可简化为
C 0
2 Bu st Du s Eu t Fu G 0
由
2 az x 2 bz x z y cz 2 y 0 2
zx zx 2b c 0 得 a z z y y 令 z ( x , y ) 常数，表示 y 是 x 的函数。 zx dy dy 0 则有 z x z y dx dx zy
即 a 2 ' ( ) 2 b 2 ' ( ) 1 ' ( ) c 1 ' ( ) 0

第4节(达朗贝尔公式-定解问题)

只在区间（x1,x2）不为零，在x=(x1+x2)/2达到最大值u0
如图所示：
(x)
2u0
x x1 x2 x1
x1
x
x1
2
x2
u0
(x)
2u0
x2 x x2 x1
0
x1
2
x2
x
x2
x1
x2
x1 x2
x
2
达朗贝尔公式给出
x x1 , x x2
u( x, t) 1 ( x at) 1 ( x at)
从物理角度来说，问题的完整提法是在给定的定解条件下求解数学物理方程。但除了达朗贝尔公式等极少的例子，从数学的角度来讲，不可能先求偏微分方程的通解后在考虑定解必条件，须同时考虑方程本身和定解条件来求解！（和常微分方程不同!）
不管是从物理的角度，还是数学的角度，定解问题都是
一个整体！而不能割裂开。
把初始条件代入通解得到：
f1(x) f2 (x) (x) af1(x) af2(x) (x)
即
f1(x)
f2(x)
解方程 f得1( x)f1f(2x()x)
(x)
1
1
a
(
x x0
x)
(
1
)d
x
(
f1( x0
)d
)
1[
2
2a x0
2
f2( x0 )
f1( x0 )
f2 ( x0 )]
描述了波的传播情况，x=0保持不动，端点的影响反映为
反射波，而且此时反射波的相位根入射波相反，此所谓
半波损失。
12
u
t8
x
t7

偏微分方程

（1.1.5）
1.1 基本概念
对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数的最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。
例
1.1 基本概念
对于线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项。
当自由项为零时，该方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。注：齐次、非齐次是对线性偏微分方程而言的。
注：混合型的退缩的
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
定理：设φ(x,y)满足隐函数存在定理中的条件，，则φ(x,y)是方程（2.1.10）的解的充要条件是φ(x,y)=c是一阶常微分方程
的通积分。证明：设φ(x,y)是方程（2.1.10）的解。
例如，一维热传导方程及其定解问题的叠加原理。
1.5 线性叠加原理
1.5 线性叠加原理
1.5 线性叠加原理
1.5 线性叠加原理
分析
特解通解通解
1.5 线性叠加原理
1.5 线性叠加原理
1.5 线性叠加原理
第二章二阶线性偏微分方程的分类和标准型
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
偏微分方程
1.1 基本概念
数学物理方程通常是指物理学、力学、工程技术和其他学科中出现的偏微分方程。
反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系。
连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。
1.1 基本概念
偏微分方程是指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式。
（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5）

第一章偏微分方程定解问题

(3) 混合问题=泛定方程+初始条件+边界条件：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
定解问题
泛定方程
演化方程稳定方程
线性边界条件边界条件
波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类边界条件第二类第三类
dS u1
u
(2) 第二类（Neumann）边界条件
VS
k u q(t ) n s
当q(t) 0（齐次，表示绝热）
热场
(3) 第三类（Robin）边界条件牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQ
h(u
u1)dSdt
k
u n
dSdt
h 热交换系数；u1 周围介质的温度, k为热传导系数
举例（设未知函数为二元函数）
1. u 0 x
解为： u f ( y)
f 为任意函数
2. u a u 0 t x
x
t
1
a
(
)
作变量代换
x x at
a u 0
解为：u f (x at)
f 为任意函数
7
举例（未知函数为二元函数）
2u
3.
0
xt
解为： u g(x) h(t)
数学物理方程主要内容
三种基本问题
初值问题边值问题混合问题
三种基本方程、五种基本解法、两个基本原理、两个特殊函数
波动方程热传导拉普拉斯方程
通解法行波法分离变量法积分变换法格林函数法
叠加原理齐次化原理
贝塞尔函数勒让德函数
一些常见符号
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla

chapter1_偏微分方程定解问题

.
(2)
若取为齐次一阶线性偏微分方程
a ( x, y )
b ( x, y ) 0 x y
(3)
的解，则新方程 (2) 成为 (1) 型的方程
(a u b ) cu f x y
，
(Hale Waihona Puke ”)对积分便可求出通解。由于对只要求它是 a( x, y)
1.2 定解问题及其适定性：
1.2.1 通解和特解
偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如：例 1.2.1：求解二阶偏微分方程
2u 0 ，u u ( , ) 。
解：两边依次对，积分，得
u f ( ) g ( ) ，
对于任意C 1 ( R) 函数 f 和 g ，都是方程在全平面的解。
r
u x 2 y 2 等。
1.2.2 定解条件
方程的解中可以出现任意函数，不能确定一个真实的运动，这是因为在建立方程的过程中，仅仅考虑了系统内部的各部分之间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。而一个确定的物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对系统内部运动的制约。通常把反映系统内部作用导出的偏微分方程称为泛定方程，把确定运动的制约条件称为定解条件。泛定方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。常见的定解条件有： 1. 初始条件：如果方程中关于时间自变量 t 的最高阶导数是 m 阶的，则
当n 时，初始条件一致趋于 0，但对任意固定的 y，当n 时，解u ( x, y ) 无界，因而解不稳定。这说明调和方程的混合问题是不适定的。
1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程的解法：

偏微分方程讲义

习题3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.5 极坐标系下的分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 3.5.2 由射线和圆弧所界定区域中问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . 周期边界条件问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv 3.6.3 3.6.4 3.6.5 Legendre方程的级数解、 Legendre多项式 . . . . . . . . . . . . . . Bessel方程的级数解、 Bessel函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 圆盘中热传导方程的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
习题1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5 线性偏微分方程的叠加原理，定解问题的适定性 1.5.1 叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
习题3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.6 高维曲线坐标系下的分离变量法、球函数和柱函数 . . . . . . . . . . . . 3.6.1 3.6.2 Bessel方程和Legendre方程的导出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 . . . . . . . . . . . . . . . .

(高等数学)偏微分方程

第十四章偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1 偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如()()()()y x f u y x c yuy x b x u y x a ,,,,=+∂∂+∂∂就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂u y x c y uu y x b x u u y x a yu u y x a y x u u y x a x u u y x a就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为()()()22222122211,,,,,,yuu y x a y x u u y x a x u u y x a ∂∂+∂∂∂+∂∂如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如()()()()0,,,,,,2222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y yu y x d x y u y x c yu y x b x u y x a就是半线性方程.[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如1)()1(222=∂∂+∂∂+yux u u就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1︒ 初值问题只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题. 2︒ 边值问题只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3︒ 混合问题既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解] 设函数u 在区域D 内满足泛定方程，当点从区域D 内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u 及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u 为定解问题的解.[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.§2 一阶偏微分方程一、柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、一阶线性方程1．一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x u x u t u u x x x t F()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂nn n n x u x x x a x u x x x a (1) 式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2)称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ 的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) )是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni i n i x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ 解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2．非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n i n i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R t un i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()u x x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 ===为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x up p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂== 若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂yb b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bVa V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解. 2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yb x b y a x a ，即回到完全解. 3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b Va V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uFp x F t p p F p t u p Ft x i i i ni iii i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或u F p x F p u F p x F p p Fp up F x p F xp F x n nnni i i nn ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂=∂∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组()()F x y z p q G x y z p q a,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解.例求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程dz a x zdx y azdy =++-22 得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为zFqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数)可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为n n n n i i iin n n x f p x f p p f p z p f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111 可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1)称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yP x Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足 zU R y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,,从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P xz发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解 ()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数. [特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-j i j i t xa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线. [狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ 的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量. 作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλ ϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tnj i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i (k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关. (ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c)).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1 ,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ图14.3于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B tu A xv D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统. 考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且()()()()()()()()v u t x u t x v v u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v x t u ,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A ut D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂t x v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.§3 二阶偏微分方程一、二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=nnnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni i a .如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u m i nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ 式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类：当Δ>0时，方程为双曲型；当Δ=0时，方程为抛物型；当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ）双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222tus u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ）抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ）椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，对任意x D ∈和任意的a i 有()∑∑==≥ni i nj i jiija aa a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。

偏微分方程定解问题

05 偏微分方程的数值解法
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程转化为差分方程的方法，通过在离散点上逼近微分算子，将微分方程转化为离散的差分方程
组。
02
有限差分法的优点是简单直观，易于实现，适用于规则区域。
03
有限差分法的缺点是对不规则区域适应性较差，且精度较低。
有限元法
有限元法是一种将偏微分方程转化为有限元方程的方法，通过将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域（即有限元），将微分方程转化为离散的有限元方程组。
弦或梁的振动模式。
Fisher方程的初值问题
总结词
Fisher方程描述了生物种群的增长或扩散过程，其初值问题涉及到种群在初始时刻的状态。
详细描述
Fisher方程的一般形式为 $frac{partial u}{partial t} = frac{partial^2 u}{partial x^2} + cu$，其中 $u$ 是种群密度，$t$ 是时间，$x$ 是空间位置，$c$ 是种群扩散系数。初值问题通常包括初始条件（如 $u(x,0) = f(x)$），其中 $f(x)$ 表示种群在初始时刻
混合问题
同时给定初始条件和边界条件，求解偏微分方程在整个定义域内的解。
定解问题的求解方法
分离变量法
将多维偏微分方程转化为多个一维常微分方程，通过求解这些常微分方程得到原方程的解。
有限差分法
将偏微分方程转化为差分方程，通过迭代求解差分方程得到原方程的近似解。
有限元方法
将偏微分方程的定义域划分为有限个小的子域（即有限元），在每个子域上构造近似函数，通过求解这些近似函数的线性方程组得到原方程的近似解。
分类

数理方法-第一讲-定解问题

（3）描绘稳定过程或状态的Poisson方程：
u h
(f和h—与源有关的已知函数) 1-3
其中

2 x2

2 y2

2 z2
, utt

2u t 2
,ut

u t
,u

u(x, y,z, t)
2、用数理方程研究物理问题的步骤
1. 导出或写出定解问题，包括数理方程和定解条件两部分。
du dx
u t x ux
x
对微元应用物理定律：
设杆材料的杨氏模量Y x x dx
两端应力分别为：
x
u
F1 YS x
YSux
x
u
F1 udx
x
F1
u F2du
F2
F2 YS x
YSux
xdx
xdx
应用牛顿定律：YSux xdx YSux
x

(1) 牛顿第二定律: F=ma
(2)傅立叶实验定律（热传导定律）
当物体内存在温差时，会产生热量的流动。热流强度q,与温度的下降率成正比：q ku
k为热传导系数，负号表示温度下降的方向。
分量形式为： qx

k
u x
,qy

k
u y
,qz

k
u z
(3)牛顿冷却定律物体冷却时放出的热量-k u与物体与外界的温
2. 求解已导出或写出的定解问题。
3. 对求得的解答讨论其适用性（即是否存在唯一且稳定的解）并作适当的物理解释。
3、求解数理方程的方法
行分波离法变
量法
积 Green 保复变

1 偏微分方程定解问题

(5)微小横振动——绝对位移和相对位移都很小。
建立坐标系：确立未知函数研究对象：u ( x, t ) ，弦上某点在 t 时刻的横向位移。
7
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
微元分析法：取微元[x,x+dx]， t时刻牛顿运动定律： F=ma
2 u ( x, t ) dx u0 T t , x dx T t , x G t , x; dx 2 t T x dx g t , x dxu0
17
数学物理方程翻译：对微元应用物理定律 dt时间内温度升高所需热量
第1章偏微分方程定解问题
Q Q流入 Q放出 u Q cdxdydz dt t
2u 2u 2 u Q流入 Q左右 Q上下 Q前后 k（ 2 2 2 )dtdxdydz x y z u u Q左右 k dtdydz k dtdydz x (t , x, y , z ) x (t , x dx, y , z ) 2u z k 2 dtdxdydz (x+dx, x+dy, z+dz) x 2u Q前后 k 2 dtdxdydz y dz 2 y u dy Q上下 k 2 dtdxdydz z (x,y,z) dx
2 2u u 2 a f t, x 2 2 t x
ut 6uxux uxxx 0
(4)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．
3
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
2u 2 2 a u f (t , x) ☆波动方程： 2 t
2 T2 u u u T2 T1 张力沿切线： T T12 T22 T1 1 T1 T1 x x x 由(1)得: T1 T1 t （T 与 x 无关）

偏微分方程的分离变量法与定解问题

偏微分方程的分离变量法与定解问题偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中非常重要的研究方向之一，它包含了很多数值逼近、物理和工程方面的问题。

对于一些特殊的偏微分方程，我们可以采用分离变量法来求解，而定解问题则可以帮助我们确定合适的初值和边界条件，以保证求解结果的正确性。

一、分离变量法偏微分方程要想求出来，通常需要一些特殊的求解方法，而分离变量法就是其中一种。

简单来说，分离变量法就是把方程中的变量“分离”出来，只留下一个变量来求解。

具体来看，我们假设方程可以写成下面的形式：$$u_{tt} + a(x,y) \, u_{xx} + b(x,y) \, u_{yy} + c(x,y) \, u_{xy} +d(x,y) \, u_x + e(x,y) \, u_y + f(x,y) \, u = 0$$其中 $u = u(x,y,t)$，$a, b, c, d, e, f$ 都是函数。

我们需要找到一种方式将 $u$ 表示成 $x$，$y$，$t$ 三个变量的乘积，即：$$u(x,y,t) = X(x) \, Y(y) \, T(t)$$将上式代入原方程，并分离出$x$，$y$，$t$ 三个变量，得到：$$\frac{X''}{X} + \frac{a}{T} \, \frac{T''}{T} + \frac{b}{Y} \,\frac{Y''}{Y} + c \, \frac{X'Y'}{XY} + d \, \frac{X'}{X} + e \,\frac{Y'}{Y} + f = 0$$由于此式左边只含有 $x$ 的函数、$y$ 的函数和 $t$ 的函数，右边只是一个常数，因此我们可以令它等于$-\lambda$，于是有：$$\begin{cases}\frac{X''}{X} + \left(d + \frac{\lambda}{a}\right) \, \frac{X'}{X} = - \frac{c}{a} \, \frac{Y'}{Y} - \frac{b}{a} \, \frac{Y''}{Y} - \left(e +\frac{\lambda}{a}\right) \, \frac{T'}{T} - f \\\frac{Y''}{Y} + \frac{\mu}{b} \, \frac{Y'}{Y} = -\frac{\lambda}{cb} X Y - \frac{a}{cb} X'' - \frac{c}{b}\frac{X'Y'}{XY} - \frac{e}{b} \frac{T'}{T} - \frac{f}{b} \\\frac{T''}{T} + \left(\frac{\mu}{c} + \frac{\lambda}{a}\right) \,\frac{T'}{T} = - \frac{\mu}{ca} \, \frac{X''}{X} - \frac{\lambda}{ca}\, \frac{Y''}{Y} - \frac{c}{a} \, \frac{X'Y'}{XY} - \frac{d}{a} \,\frac{X'}{X} - \frac{b}{c} \, \frac{Y''}{Y} - e \, \frac{Y'}{Y} - f \end{cases}$$这三个方程需要满足一定的初值条件和边界条件，才能求解。

【数理方程】92偏微分方程的定解问题

即
（ u n
u）S
u1
S
其中 k1 / k
因此，边界条件可以写成：
（u n
u）S
g( x,
y, z,t)
其中u 表示u沿边界上的单位外法线方向n的方向
n
导数，g( x, y, z, t)表示点（x, y, z) 上的已知函数，
k1 / k为已知正数.
例
杆的热传导问题，x =L 的一端处在一种自由
稳定的解有实用价值，否则所得的解就无使用价值。
注意
1）定解条件通常总是利用实验的方法获得的，因此所得的结果总是有一定的误差。 2）当所得的解变动很大时，这种解显然是不符合客观实际要求的。 3）如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。 4）讨论定解问题的适定性往往十分困难，而我们所讨论的定解问题，它们的适定性都是经过证明了的。在以后的讨论中，我们应把着眼点放在讨论定解问题的解法上。
面流入的热量为q），杆的初始温度分布是 x(l x)，
试写出相应的定解问题。
2
答案
热传导温度的微分方程为：
u t
a2
2u x 2
这里a2 k .
c
x(l x) 初始条件： u t0 2
边界条件： u x0 0
定解问题为：
u
k x
xl
q
u t
a2
2u x 2
x(l x)
u t0
答案
弦振动的微分方程为：
2u t 2
a2
2u x 2
初始条件：
e u t0 l x
u t t0 0
边界条件：
u x0 0
u x
xl
0
定解问题为：

数学物理方程总复习

⎤ ⎥⎦
−
ρ
gdx
≈
ρ
∂ 2u ( x, ∂t 2
t)
dx
T
⎡ ⎢⎣
∂u(x + dx,t) ∂x
−
∂u( x, t ) ∂x
⎤ ⎥⎦
−
ρ
gdx
≈
ρ
∂ 2u( x, t ) ∂t 2
dx
∂u ( x,t )
由于x产生dx的变化而引起的用微分近似代替，即
∂x
的改变量，可
∂u(x + dx,t) ∂x
现在考虑弧段MM’在t时刻的受力情况
由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力的方向总是沿着弦在该点的切线方向。
t时刻位移NM记作u u(x,t)
弧段 Mq M ' 两端
所受的张力记作T,T’
根据牛顿第二定律 F = ma
在x轴方向弧段 Mq M ' 受力的总和为
T 'cos a '− T cos a = 0
行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)，
显然
T 'cos a '− T cos a = 0
Fds
−
T
sin
a
+
T
'
sin
a
'−
ρ
gds
≈
ρ
ds
∂2u ∂t 2
弦的强迫振动方程
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x2
+
f
( x, t )
弦的强迫振动方程
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x2
dx

偏微分方程的解法

i ,j i j xx i j i i x i
n
n
一定可以改写为如下“形式”：
d u
i
n
i x i'x i'
D D D D b ' cu ' f ' 0 x y y x iu x ' i
n i
4
根据 d i 符号的不同可以划分方程的类型如下：有某些 di 所有 di
常系数线性偏微分方程
如果在二阶线性偏微分方程
a u
i, j
n
ij xi x j
biuxi cu f 0
i
n
中, 所有系数均为常数, 则方程可以进一步简化为:
d 'u
i i
n
xi xi
c 'u f ' 0
7
行波法 d’Alembert公式
行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效.
解: 本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为:
u u1 u2
其中 u1 是如下定解问题(弦的自由振动问题)的解:
2 u a uxx 0, x , t 0 tt u x, 0 x , ut x, 0 x
u2 是上述纯强迫振动问题的解.
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求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足
相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问
题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理，
直接求出定解问题的解。
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1.行波法；

1写出定解问题——将物理问题表述成数学方程(2)求解定

f(x,t)称为力密度，方程的一般形式可写为 utt a2uxx f (x,t)
【例】 ➢ 长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为
l(1－2)，放手后自由振动。试写出该定
解问题的泛定方程。
➢ 长为l的均匀杆，一端固定，另一端受力F0 而伸长，放手后自由振动。试写出该定解问题的泛定方程。
【例】 ➢ 长为l的均匀杆，一端固定，另一端在纵向
A 均匀弦的横振动，B 均匀杆的纵振动
② 输运方程 ut a2u 0
A 扩散方程，B 热传导方程
③ 稳定场方程 u 0
A 静电场方程，B 稳定浓度（温度）方程
作业
1.混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速率正比于当时尚储存着的水化热密度Q，即
dQ bQ
dt
试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。
➢ 二者的关系——能量守恒定律
crut q
2. 热流由空间各点的温度差异决定
➢ 二者的关系——热传导定律：热流与温度梯度成正比 q ku
➢ 存在热源的热传导方程一般形式
• 考虑存在热源，热源强度为单位时间内单位体积中产生的热量，记为F(x,y,z,t) ，则方程为
crut ku F (x, y, z,t)
从而得热传导方程：
ut
a 2u xx
q (x rc
x0 )
三、稳定场方程
A 静电场的电势分布
问题：设一个静电场的电荷密度分布为r，求
该静电场中的电势分布。
解：记电势为V (x, y, z) ，电势与电场强度之间有关系：
E V
静电场高斯定理：
E
dS
1
0
rdV
将积分高斯定理 E dS EdV 代入上式，有

偏微分方程

第二节定解条件与定解问题数学院朱郁森常见的定解条件有初始条件和边界条件。

初始条件：用来说明初始状态的条件边界条件：用来说明边界约束情况的条件湖南大学数学院朱郁森一、弦振动方程的定解条件2,tt xx u a u =0,0.x l t <<>1、初始条件0(),t u x ϕ==0(),t t u x ψ==2、边界条件第一类可控制端点即端点的位移按已知规律变化。

则1(),x ug t ==2().x lug t ==特别地固定端边界条件第二类在边界上给定力设弦两端所受的横向外力分别为1(),G t 2().G t 而弦两端所受张力的横向分量分别为(0,),(,).x x Tu t Tu l t −又因弦的两端在横向方向受力平衡，所以有1(0,)()0,x Tu t G t +=2(,)()0,x Tu l t G t −+=12(0,)(),(,)(),x x u t g t u l t g t ==则相应的边界条件为其中1212()()(),(),G t G t g t g t T T=−=湖南大学数学院朱郁森特别地(0,)0,(,)0,x x u t u l t ==自由端边界条件第三类在边界上作弹性联结张力的横向分量弹性恢复力0x =x l=(0,)x Tu t (,)x Tu l t −11[(0,)()]k u t t θ−−22[(,)()]k u l t t θ−−于是有11(0,)[(0,)()]0,x Tu t k u t t θ−−=22(,)[(,)()]0,x Tu l t k u l t t θ−−−=11(0,)(0,)(),x u t u t g t σ−=22(,)(,)(),x u l t u l t g t σ+=其中1212112212,,()()(),().k k T Tk t k t g t g t T Tσσθθ===−=则相应的边界条件为例1长为l 的弦两端固定，开始时把弦在距O点处拉起来，拉起的高度为h （适当地小），然后轻轻放开让它振动，试写出描述其振动的方程与定解条件。

定解问题与偏微分方程理论2

2_偏微分方程数值解法引论

第4节(达朗贝尔公式-定解问题)

偏微分方程

第一章 偏微分方程定解问题

chapter1_偏微分方程定解问题

偏微分方程讲义

(高等数学)偏微分方程

偏微分方程定解问题

数理方法-第一讲-定解问题

1 偏微分方程定解问题

偏微分方程的分离变量法与定解问题

【数理方程】92偏微分方程的定解问题

数学物理方程总复习

偏微分方程的解法

1写出定解问题——将物理问题表述成数学方程(2)求解定

偏微分方程

第一章偏微分方程定解问题