天津市和平区第一中学2020届高三第一学期10月月考试题 数学【含解析】

天津市和平区第一中学2020届高三第一学期10月月考试题
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利! 一、选择题：
1.已知集合A ＝{x |x 2
﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |12
log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）
A. （﹣1，2）
B. （﹣1，2]
C. （0，1）
D. （0，2）
【答案】B 【解析】 【分析】
先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．
【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}，
B ＝{x |
12
log x ≥﹣1}＝{x |0＜x ≤2}，
∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤2}＝（﹣1，2]． 故选：B ．
【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.对一切R θ∈，2
1
3sin cos 2
m m θθ-
>恒成立，则实数m 的取值范围是（） A. 11,32⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B. 121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C. 11,23⎛⎫
-
⎪⎝⎭ D. 11,,23⎛
⎫⎛⎫
-∞-
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
先求得sin cos θθ的取值范围，根据恒成立问题的求解策略，将原不等式转化为2
11
322
m m ->，再解一元二次不等式求得m 的取值范围.
【详解】解：对一切θ∈R ，2
13sin cos 2m m θθ->恒成立，转化为：213sin cos 2m m
θθ->的最大值，又θ∈R 知111sin cos sin 2,222θθθ⎡⎤
=
∈-⎢⎥⎣⎦
，sin cos θθ的最大值为12；所以211322m m ->，解得13m <-或1
2
m >.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查恒成立问题的求解策略，考查三角函数求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
3.把函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12
倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移
6π
个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A. 12
x π
=-
B. 12
x π
=
C. 3
x π
=
D. 712
x π
=
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程. 【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为sin 2()sin(2)63
y x x π
π
=-=-， 令5
2,,3
2
212
k x k k Z x π
π
πππ-
=+
∈∴=
+， 令k=-1,所以12
x π
=-.
故选：A
【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4.已知0.13a =，3log 2b =，cos4c =，则（） A. c a b << B. a c b <<
C. c b a <<
D. b c a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
通过0,1分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出10a b c >>>>，由此选出正确结论.
【详解】解：∵0.10331>=，3330log 1log 2log 31=<<=，3
42
ππ<<，cos40<； ∴c b a <<.故选：C.
【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查0,1分段法比较大小，属于基础题.
5.若1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 22a π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
（）
A. 34
-
B. 23
-
C. 12
-
D. 13
-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用诱导公式以及二倍角公式，化简求得cos 22a π⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值. 【详解】解：∵1sin 42a π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则cos 2cos 222a a πππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+=--+
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
212sin 4πα⎛
⎫=-+- ⎪⎝
⎭111242=-+⨯=-,
故选：C.
【点睛】本小题主要考查利用诱导公式和二倍角公式进行恒等变换，求表达式的值，属于基础题.
6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若(2)()f x f x +=-，(1)3f =，则(2018)(2019)f f +的值为（ ） A. -3 B. 0
C. 3
D. 6
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数为奇函数，结合题中条件，求出函数()f x 的周期，即可求出结果. 【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-.
又(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，因此(4)(2)()f x f x f x +=-+=， ∴函数()f x 是周期为4的周期函数，
所以(45042)(45043)(2)(3)(2018)(2019)f f f f f f ⨯++⨯+=++=. 又(2)(0)0f f ==，(3)(1)(1)3f f f =-=-=-， 因此(2018)(2019)3f f +=-. 故选A.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，灵活运用函数奇偶性与周期性即可，属于常考题型.
7.用边长为18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
【答案】C 【解析】 【分析】
设截去的
小正方形的边长为x,求出铁盒的容积的解析式，再利用导数求函数的最值和此时x 的值得解. 【详解】设截去的小正方形的边长为x, 则铁盒的长和宽为18-2x,高为x,
所以2
(182)V x x =⋅-()2
49(09)x x x =-<<， 所以12(3)(9)V x x =--'，
所以函数在（0,3）单调递增，在（3,9）单调递减， 所以当x=3时，函数取最大值. 故选:C
【点睛】本题主要考查导数的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理应用能力.
8.设函数()2,0
()24,0
x x
x e e x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为
（） A. (0,2) B. (0,2]
C. (2,)+∞
D. [2,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
首先注意到()00g =，0x =是函数()g x 的一个零点.当0x ≠时，将()0g x =分离常数得到()
f x
a x
=，构造函数()
()f x h x x
=，画出()h x 的图像，根据“函数()h x 与函数y a =有一个交点”结合图像，求得a 的取值范围.
【详解】解：由()y f x ax =-恰有两个零点，而当0x =时，(0)00y f =-=，即0x =是函数()g x 的
一个零点，故当0x ≠时，()
f x a x =必有一个零点，即函数()()f x h x x =,04
2,0x x e e x x x x -⎧->⎪=⎨---<⎪
⎩
与函数y a =必有一个交点，利用单调性，作出函数()h x 图像如下所示，
由图可知，要使函数()h x 与函数y a =有一个交点，只需02a <<即可. 故实数a 的取值范围是(0,2). 故选：A.
【点睛】本小题主要考查已知函数零点个数，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
9.已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,
2πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，其图象关于直线6
x π
=
对称，对满足
()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2
x x π
-=
，将函数()f x 的图象向左平移
6
π
个单位长度得到函数
()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）
A. ()2,6
k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B. (),2k k k Z πππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C. ()5,36k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦ D. ()7,1212k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区间.
【详解】解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，其图像关于直线6x π=对称，
对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min
1222x x π
π
ω
-=
=⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6
x π
=对称，可得26
2
k π
π
θπ⨯
+=+
，k ∈Z .
∴6π
θ=
，∴()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
将函数()f x 的图像向左平移
6π
个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝
⎭的图像. 令222k x k πππ≤≤+，求得2
k x k π
ππ≤≤+，
则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤
+⎢⎥⎣
⎦
，k ∈Z ，
故选：B.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.
二、填空题：
10.已知复数()2ai
z a i
=∈-R 的实部为－1，则z =________ 5【解析】 【分析】
化简z 为x yi +的形式，根据实部为1-求得a 的值，由此求得z ，进而求得z . 【详解】解：∵ (2)2(2)(2)ai ai i z i i i +=
=--+255
a a
i =-+， ∴15
a
-
=-，即5a =. ∴12z i =-+，则5z =5【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数实部的概念和运算，考查复数模的求法，属于基础题.
11.已知1
sin cos (0)3
αααπ-=<<，则44cos sin αα+值是________. 【答案】
4981
【解析】 【分析】
先将已知条件1sin cos 3a a -=
两边平方，求得4sin cos 9
a a =，再根据44cos sin αα+()2
2222
sin cos 2sin cos αααα=+-，求得44cos sin αα+的值.
【详解】解：把1sin cos 3a a -=
，两边平方得：2
(sin cos )αα-112sin cos 9
αα=-=，即82sin cos 9
a a =
，
则4
sin cos 9
a a =，则
4
4
cos sin αα+()
2
2
2
2
2
sin cos 2sin cos αααα=+-2
449
12981⎛⎫=-= ⎪
⎝⎭
. 故答案为：
49
81
. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式的运用，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
12.已知函数()(1)(,)x
f x bx e a a b =-+∈R .若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，则
a ，
b 的值分别为a =________，b =________.
【答案】 (1). 1 (2). 2 【解析】 【分析】
先求得函数()f x 的导函数()'
f
x ，利用切点()00f =和斜率()'01f =列方程，解方程求得,a b 的值.
【详解】解：()(1)x f x bx e a =-+得()(1)x
f x e bx b '=+-，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程
为y x =.(0)1f '
=，(0)0f =，即11b -=，10a -+=，解得1a =，2b =，
故答案为：（1）1；（2）2.
【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关曲线的
切线方程的问题，考查方程的思想，属于基础题.
13.已知函数f (x )＝|3log x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则
n
m
＝________. 【答案】9. 【解析】 【分析】
先分析得到f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m 2
＜m ＜1，则f (x )在[m 2
，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n 的值，即得解.
【详解】因为f (x )＝|log 3x |＝33
log ,01
log ,1x x x x -<<⎧⎨≥⎩,
所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得33011log log m n n m
<<⎧⎪
>⎨⎪=-⎩,
则01
11m n mn <<⎧⎪>⎨⎪=⎩
,所以0＜m 2＜m ＜1， 则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，
所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，
解得m ＝
13
，则n ＝3，所以n
m ＝9.
故答案为：9
【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
14.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数为i ξ(1,2)i =，则()()12E E ξξ+的值为________ 【答案】
23
7
【解析】 【分析】
当抽取1个球时，1ξ的取值为1,2，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.当抽取2个球时，2ξ的取值为1,2,3，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值. 【详解】解：甲盒中含有红球的个数1ξ的取值为1，2，
则()1
4117417C P C ξ===，()131173
27
C P C ξ===.
则()1431012777
E ξ=⨯
+⨯=； 甲盒中含有红球的个数2ξ的值为1，2，3，
则()2
42272
17C P C ξ===，()113422
7427C C P C ξ===，()23227137
C P C ξ===. 则()2241131237777
E ξ=⨯
+⨯+⨯=. ∴()()12101323777
E E ξξ+=
+=. 故答案为：23
7
.
【点睛】本小题主要考查随机变量期望值的计算方法，考查古典概型概率计算公式，考查组合数的计算，属于中档题.
15.已知函数()2
3sin 22cos 1f x x x =-+，有以下结论：
①若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π-=∈； ②()f x 在区间73,84ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦上是增函数； ③()f x 的图象与()22cos 23g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭图象关于x 轴对称；
④设函数()()2h x f x x =-，当12
π
θ=时，()()()222
h h h π
θθθ-+++=-。

其中正确的
结论为__________。

【答案】②③④ 【解析】 【分析】
首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案. 【详解】()32cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫
=-=- ⎪⎝
⎭
①当()()12f x f x =时，函数的周期为π，
∴12,x x k k Z π=+∈，或1
21222266,223
x x k x x k k Z
ππππππ⎛
⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⇒+=+∈ ，所以①不正确；
②7
3,84x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，2352,6123x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦32,2ππ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，所以是增函数，②正确； ③函数还可以化简为()22cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，所以()g x 与()f x 关于x 轴对称，正确；
④()2sin 226h x x x π⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭，当6
π
θ=时， ()22sin 22222sin 4412
6126f ππππθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
+=+--+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
()()22sin 22222sin 442sin 4412
61266f πππππθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
-=----=--+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()2sin 22126126f ππππθ⎛
⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭
()()()222
f f f π
θθθ∴-+++=-
，④正确
故选②③④
【点睛】本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型.
三、解答题： 16.已知02
π
α<<
，5cos 45
πα⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭. （1）求tan 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值；
（2）求sin 23πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值. 【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）343
10
+ 【解析】 【分析】
（I ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin 4πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值，可得tan 4πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值.（II ）先求得tan α的值,再利用二倍角公式结合齐次式计算求得sin 2α、cos2α的值,再利用两角和的正弦公式求得
sin 23πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
【详解】解：（I ）∵已知02
π
α<<
，5cos 4πα⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭， ∴225sin 1cos 44ππαα⎛⎫
⎛⎫+
=-+=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ ∴sin 4tan 24cos()4
παπαπα⎛
⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭+.
（II ）∵tan 1tan 241tan πααα+⎛⎫
+
== ⎪
-⎝
⎭，∴1tan 3
α=，
∴2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα===++，2222cos sin cos 2sin cos ααααα-=+22
1tan 4
tan 15
αα-==+ 343sin 2sin 2cos cos 2sin 33310πππααα+⎛
⎫+=+=
⎪⎝
⎭ 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查齐次式的计算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.
17.已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '
为()f x 的导数．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：()f x '
在区间()0,π上存在唯一零点；
（Ⅲ）设2
()2()g x x x a a R =-+∈，若对任意[]
10,x π∈，均存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，求
实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）0y =；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）(),1-∞. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将0x =代入()f x 求出切点坐标，由题可得()cos sin 1f x x x x +'=-，将0x =代入()f x '求出切线斜率，进而求出切线方程。

（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos g x x x '=，由导函数研究()()g x f x '=的单调性进，而得出答案。

（Ⅲ）题目等价于min min f g >，易求得min (1)1g g a ==-，利用单调性求出()f x 的最小值，列不等式求解。

【详解】（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x +'=-，所以(0)0f '=，即切线斜率0k =，且(0)0f =，从而曲线
y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程为0y =.
（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π
(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
单调
递减.
又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫
=>=-
⎪⎝⎭
，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '
在(0,π)存在唯一零点.
（Ⅲ）由已知，转化为min min f g >， 且2
()2()g x x x a a R =-+∈的对称轴1x =[]1,2∈所以
min (1)1g g a ==- .
由(Ⅱ)知，()f x '
在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，
()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.
又(0)0,(π)0f f ==，所以当[0,π]x ∈时，min 0f =. 所以01a >-，即1a <，因此，a 的取值范围是(),1-∞.
【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题。

18.已知函数f （x ）=sin （2ωx +3π）+sin （2ωx -3
π）+2cos 2
ωx ，其中ω＞0，且函数f （x ）的最小正周期为π
（1）求ω的值；
（2）求f （x ）的单调增区间
（3）若函数g （x ）=f （x ）-a 在区间[-
4π，4
π
]上有两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1.(2) [-3π8+kπ，π
8
+kπ]，k∈Z，(3)见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()2sin 214f x wx π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，利用三角函数周
期公式可求w 的值．
（2）由正弦函数的单调性可求()f x 的单调增区间． （3）作出函数()y f x =在,44ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上的图象，从图象可看出()02,48f f f ππ⎛⎫
⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21=，可
求当曲线()y f x =与y a =在x ∈,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上有两个交点时，221a ≤<+，即可得解实数a 的取值范围．
【详解】（1）由三角恒等变换的公式，可得f （x ）=sin （2wx +
π3）+sin （2wx -π
3
）+22cos wx =
12sin2wx +32cos2wx +12sin2wx -3
2
cos2wx +1+cos2wx =sin2wx +cos2wx +12sin 214wx π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭，
又因为T=
2π
2ω
=π，所以1w =． （2）由2k π-π2 ≤2x +π4 ≤2k π+π2，k∈Z，解得：-3π8+k πx ≤≤ π
8
+k π，k∈Z，
可得f （x ）的单调增区间为：[-3π8+kπ，π
8
+kπ]，k∈Z， （3）作出函数()y f x =在,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的图象如图： 函数g （x ）有两个零点，即方程()0f x a -=有两解， 亦即曲线()y f x =与y a =在x∈,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上有两个交点， 从图象可看出f （0）=f （
π4）=2，f （π
8
）=2+1， 所以当曲线()y f x =与y a =在x∈,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上有两个交点时， 则2a ≤< 21+，即实数a 的取值范围是)
2,21⎡+⎣．
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其中解
答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．
19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B .5
13AB =.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线l ：(0)y kx k =<与椭圆交于M ，N 两点，且点M 在第二象限.l 与AB 延长线交于点P ，若BNP ∆的面积是BMN ∆面积的3倍，求k 的值.
【答案】（Ⅰ）22
194
x y +=（Ⅱ）89-
【解析】 【分析】
（I ）根据离心率和弦长AB 列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.（II ）设出,M P 两点的坐标，利用BNP ∆的面积与BMN ∆面积的关系得到||3||PN MN =，利用向量3PN MN =结合平面向量共线的坐标运算，求得,M P 两点横坐标的关系.分别联立直线l 的方程与直线AB 、直线l 的方程与椭圆的方程，根据,M P 两点横坐标的关系列方程，解方程求得k 的值.
【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得22
5
13
c a a b ⎧=⎪
+=∴3a =，2b =， 所以，椭圆的方程为22
194
x y +=.
（Ⅱ）设点()11,M x y ，()00,P x y ，由题意，010x x <<且()11,N x y -- 由BNP ∆的面积是BMN ∆面积的3倍，可得||3||PN MN =，所以
3PN MN =，从而()1010,x x y y ----()11113,x x y y =----，所以
()10113x x x x --=--，即015x x =.
易知直线AB 的方程为236x y +=，由236x y y kx +=⎧⎨
=⎩
消去y ，可得06
32x k =+
由方程组22
194x y y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
消去y ，可得12
94x k =+由015x x =，可得
263294
k k =++
整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或1
2
k =-. 当8
9k =-
时，090x =-<，符合题意； 当1
2
k =-时，0120x =>，不符合题意，舍去.
所以，k 的值为89
-
. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查两条直线交点、直线和椭圆交点坐标的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.
20.已知函数()ln f x x =，2()1a
g x bx x
=
+-，(),a b ∈R （Ⅰ）当1a =-，0b =时，求曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）当0b =时，若对任意的[1,2]x ∈，()()0f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当0a =，0b >时，若方程()()f x g x =有两个不同的实数解()1212,x x x x <，求证：122x x +>. 【答案】（Ⅰ）30x y +-=（Ⅱ）,2e
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
（Ⅲ）详见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出()()y f x g x =-的导函数，求出函数在1x =时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；
（Ⅱ）对[1,2]x ∀∈，()()0f x g x +≥都成立，则对[1,2]x ∀∈，22ln a x x x ≥-+，恒成立，构造函数
22()ln (12)h x x x x x =-+≤≤，求出()h x 的最大值可得a 的范围；
（Ⅲ）由()()f x g x =，得ln 10x bx -+=，构造函数()()ln 10F x x bx x =-+>，将问题转化为证明
()1120F x F x b ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，然后构造函数证明()()21120F x F x F x b ⎛⎫
->== ⎪⎝⎭
即可.
【详解】解：（Ⅰ）当1a =-时，0b =时，21
ln 1y x x
=++，∴当1x =时，2y =， ∴3
12
y x x '=
-，∴当1x =时1y '=-. ∴曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程为30x y +-=；
（Ⅱ）当0b =时，对[1,2]x ∀∈，()()0f x g x +≥都成立，则对[1,2]x ∀∈，22ln a x x x ≥-+恒成立， 令2
2
()ln (12)h x x x x x =-+≤≤，则()2ln h x x x x '=-+.令()0h x '=，则x e =
∴当1x e <<
()0h x '>，此时()h x 2e x <<时，()0h x '<，此时()h x 单调递减，
∴max ()()2e
h x h e ==
，∴2
e a ≥， ∴a 的取值范围为,2
e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
；
（Ⅲ）当0a =，0b >时，由()()f x g x =，得ln 10x bx -+=， 方程()()f x g x =有两个不同的实数解()1212,x x x x <. 令()ln 1(0)F x x bx x =-+>.则()()120F x F x ==.1()F x b x '=-.令()0F x '=.则1x b
=， ∴当10x b <<
时.()0F x '>.此时()F x 单调递增；当1
x b
>时.()0F x '<.此时()F x 单调递减， ∴max 1()0F x F b ⎛⎫=> ⎪
⎝⎭，∴01b <<，又10b F e e ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，(1)10F b =->， ∴
1111x e b <<<，∴121
x b b
->， ∴只要证明212x x b >
-，就能得到1222x x b +>>.即只要证明()1120F x F x b ⎛⎫
->= ⎪⎝⎭
， 令2()()G x F x F x b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2ln ln 22x x bx b ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭10x b ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，则2
12()02b x b G x x x b ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭'=<⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，
∴()G x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减，则1211()0G x G F F b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
>=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ∴()()11120G x F x F x b ⎛⎫=-->
⎪⎝⎭，∴()()21120F x F x F x b ⎛⎫
->== ⎪⎝⎭
，
∴212x x b >
-，∴122
2x x b
+>>，即122x x +>，证毕. 【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查恒成立问题的求解策略，考查利用导数求函数的单调区间、最值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.。