中考数学压轴专项--二次函数含参问题(答案版可编辑)45页

二次函数含参问题
1．（2016•温州）如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．
（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值
是．
2．（2016•广州）已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B
（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．
3．（2016•福州）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．
4．（2016•吉林）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
（1）当m=2时，a= ，当m=3时，a= ；
（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；
（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ 的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为；（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．
5．（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b 与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求
a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
6．（2015•润州区二模）如图，抛物线y=x2﹣2mx﹣3m2（m为常数，m＞0），与x 轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，
（1）用m的代数式表示：点C坐标为，AB的长度
为；
（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，将△ACD沿x轴翻折得到△AEM，延长AM交抛物线于点N，
的值；
①求AM
AN
②若AB=4，直线x=t交线段AN于点P，交抛物线于点Q，连接AQ、NQ，是否存在实数t，使△AQN的面积最大？如果存在，求t的值；如果不存在，请说明理由．
7．（2015•苏州）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC
（1）∠ABC的度数为；
（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．（2015•广元）如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交
于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题：
①求出△ABC的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
9．（2015•南通）已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x﹣1
（1）求证：点P在直线l上；
（2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l 的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；
（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．
10．（2014•成都）如图，已知抛物线y=k
（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）
8
与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣
√3
x+b与抛物线的另一交点为D．
3
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与
△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
11．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线
y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
12．（2014•乐山）如图，抛物线y=x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，﹣m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2014•邵阳）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
14．（2014•莆田）如图，抛物线C
1
：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物
线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C
1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C
2
．抛
物线C
2
交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．
（1）如图1，若m=1
2
．
①当OC=2时，求抛物线C
2
的解析式；
②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，当OB=2√3﹣m（0＜m＜√3）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．
15．（2014•大连）如图，抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m﹣1）．连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC．点C关于直线l的对称点为C′，连接PC′，即有PC′=PC．将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C与点C′重合，得到△PB′C′．
（1）该抛物线的解析式为（用含m的式子表示）；
（2）求证：BC∥y轴；
（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．
参考答案
1.解：（1）∵C（0，﹣3），AC⊥OC，
∴点A纵坐标为﹣3，
y=﹣3时，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得x=0或m，
∴点A坐标（m，﹣3），
∴AC=m，
∴BE=2AC=2m．
（2）∵m=，
∴点A坐标（，﹣3），
∴直线OA为y=﹣x，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣3，
∴点B坐标（2，3），
∴点D纵坐标为3，
对于函数y=﹣x，当y=3时，x=﹣，
∴点D坐标（﹣，3）．
∵对于函数y=x2﹣x﹣3，x=﹣时，y=3，
∴点D在落在抛物线上．
（3）①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，
∴四边形ECAG是矩形，
∴EG=AC=BG，
∵FG∥OE，
∴OF=FB，∵EG=BG，
∴EO=2FG，
∵•DE•EO=•GB•GF，
∴BG=2DE，
∵DE∥AC，
∴==，
∵点B坐标（2m，2m2﹣3），
∴OC=2OE，
∴3=2（2m2﹣3），
∵m＞0，
∴m=．
②∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m2﹣3），
∴直线AE解析式为y=﹣2mx+2m2﹣3，直线OB解析式为y=x，
由消去y得到﹣2mx+2m2﹣3=x，解得x=，
∴点M横坐标为，
∵△AMF的面积=△BFG的面积，
∴•（+3）•（m﹣）=•m••（2m2﹣3），
整理得到：2m4﹣9m2=0，
∵m＞0，
∴m=．
故答案为．
2.（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；
当m≠0时，
∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，
∴1﹣4m≠0，
∴m≠，
∴m的取值范围为m≠0且m≠；
（2）证明：∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，
∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关，
显然当x2﹣2x﹣3=0时，y与m无关，
解得：x=3或x=﹣1，
当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；
当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），
∵P不在坐标轴上，
∴P（3，4）；
（3）解：|AB|=|x
A ﹣x
B
|===
==||=|﹣4|，
∵＜m≤8，
∴≤＜4，
∴﹣≤﹣4＜0，
∴0＜|﹣4|≤，
∴|AB|最大时，||=，
解得：m=8，或m=（舍去），
∴当m=8时，|AB|有最大值，
此时△ABP的面积最大，没有最小值，
则面积最大为：|AB|y
P
=××4=．
3. 解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，
∴0=a（0﹣1）2+2，
∴a=﹣2，
∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．
（2）∵抛物线经过原点，
∴设抛物线为y=ax2+bx，
∵h=﹣，
∴b=﹣2ah，
∴y=ax2﹣2ahx，
∵顶点A（h，k），
∴k=ah2﹣2ah2=﹣ah2，
抛物线y=tx2也经过A（h，k），
∴k=th2，
∴th2=ah2﹣2ah2，
∴t=﹣a，
（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，
∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，
∴h=，
∵﹣2≤h＜1，
∴﹣2≤＜1，
①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，
②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．
4.解：（1）如图1，
∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，
∴B（2m，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=m，OM=m，
∴A（m，m），
∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，
∴
当m=2时，a=﹣，
当m=3时，a=﹣，
故答案为：﹣，﹣；
（2）a=﹣
理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，∴B（2m，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=m，OM=m，
∴A（m，m），
∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，
∴
∴a=﹣，
（3）如图2，
∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，
设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），
∵P，Q，A，O在抛物线l：y=ax2+bx+c上，
∴，
∴，
①﹣②化简得，2ae﹣an+b=1④，
①﹣③化简得，﹣2ae﹣an﹣b=1⑤，
④+⑤化简得，an=﹣1，
∴a=﹣
故答案为a=﹣，
（4）∵OB的长度为2m，AM=m，
∴S
△AOB
=OB×AM=×2m×m=m2，
由（3）有，AN=n
∵PQ的长度为2n，
∴S
△APQ
=PQ×AN=×2n×n=n2，
由（2）（3）有，a=﹣，a=﹣，
∴﹣=﹣，
∴m=n，
∴===，
∴△AOB与△APQ的面积比为3：1．5. 解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，
解得x
1=﹣1，x
2
=3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴=，
∵CD=4AC，
∴==4，
∵OA=1，
∴OF=4，
∴D点的横坐标为4，
代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a．
（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N
设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y
AE =k
1
x+b
1
，
则，
解得：，
∴y
AE
=a（m﹣3）x+a（m﹣3），M（0，a（m﹣3））∵MC=a（m﹣3）﹣a，NE=m
∴S
△ACE =S
△ACM
+S
△CEM
=[a（m﹣3）﹣a]+[a（m﹣3）﹣a]m=（m+1）[a（m﹣3）
﹣a]=（m﹣）2﹣a，
∴有最大值﹣a=，
∴a=﹣；
（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，
解得x
1=﹣1，x
2
=4，
∴D（4，5a），
∵y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x=1，设P
1
（1，m），
①若AD是矩形的一条边，
由AQ∥DP知x
D ﹣x
P
=x
A
﹣x
Q
，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程
得Q（﹣4，21a），
m=y
D +y
Q
=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，
∴P
1
（1，﹣）．
②若AD是矩形的一条对角线，
则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），
m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，
PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，
AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，
解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，
∴P
2
（1，﹣4）．
综上可得，P点的坐标为P
1（1，﹣4），P
2
（1，﹣）．
6.解：（1）令x=0，则y=﹣3m2，即C点的坐标为（0，﹣3m2），∵y=x2﹣2mx﹣3m2=（x﹣3m）（x+m），
∴A（﹣m，0），B（3m，0），
∴AB=3m﹣（﹣m）=4m，
故答案为：（0，﹣3m2），4m；
（2）①令y=x2﹣2mx﹣3m2=﹣3m2，
则x=0（舍）或x=2m，
∴D（2m，﹣3m2），
∵将△ACD沿x轴翻折得到△AEM，
∴D、M关于x轴对称，
∴M（2m，3m2），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
将A、M两点的坐标代入y=kx+b得：，
解得：，
∴直线AM的解析式为：y=mx+m2，
联立方程组：，
解得：（舍）或，
∴N（4m，5m2），
∴；
②如图：
∵AB=4，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，直线AM的解析式为y=x+1，
∴P（t，t+1），Q（t，t2﹣2t，﹣3），N（4，5），A（﹣1，0），B（3，0）
设△AQN的面积为S，则：S===，
∴t=，S最大．
7.解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），令y=0，则x2+（1﹣m）x﹣m=0，
解得：x
1=﹣1，x
2
=m，
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，
∴B点坐标为：（m，0），
∴OB=OC=m，
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；
故答案为：45°；
（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，
由题意得，抛物线的对称轴为：x=，
设点P坐标为：（，n），
∵PA=PC，
∴PA2=PC2，
即AE2+PE2=CD2+PD2，
∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，
解得：n=，
∴P点的坐标为：（，）；
（3）存在点Q满足题意，
∵P点的坐标为：（，），
∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，
=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2
=1+m2，
∵AC2=1+m2，
∴PA2+PC2=AC2，
∴∠APC=90°，
∴△PAC是等腰直角三角形，
∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，
∴△QBC是等腰直角三角形，
∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，
若PQ与x轴垂直，则=﹣m，
解得：m=，PQ=，
若PQ与x轴不垂直，
则PQ2=PE2+EQ2
=（）2+（+m）2
=m2﹣2m+
=（m﹣）2+
∵0＜m＜1，
∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，
∵＜，
∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，
②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，
若PQ与y轴垂直，则=m，
解得：m=，PQ=，
若PQ与y轴不垂直，
则PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2
=m2﹣2m+
=（m﹣）2+，
∵0＜m＜1，
∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，
∵＜，
∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，
综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．
8.解：（1）∵抛物线过G（2，2），
∴把G坐标代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得：m=4；
（2）①令y=0，得到﹣（x+2）（x﹣m）=0，
解得：x
1=﹣2，x
2
=m，
∵m＞0，
∴A（﹣2，0），B（m，0），
把m=4代入得：B（4，0），
∴AB=6，
令x=9，得到y=2，即C（0，2），
∴OC=2，
则S△ABC=×6×2=6；
②∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）的对称轴为x=1，
如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B与C坐标代入得：，
解得：，
∴直线BC解析式为y=﹣x+2，
令x=1，得到y=，即H（1，）；
（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，
分两种情况考虑：
（i）当△ACB∽△ABM时，则有=，即AB2=AC•AM，
∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，
如图2，过M作MN⊥x轴，交x轴于点N，则AN=MN，
∴OA+ON=2+ON=MN，
设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），
∵x＞0，∴x+2＞0，
∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），
∴AM==2（m+1），
∵AB2=AC•AM，AC=2，AB=m+2，
∴（m+2）2=2•2（m+1），
解得：m=2±2，
∵m＞0，
∴m=2+2；
（ii）当△ACB∽△MBA时，则=，即AB2=CB•MA，
∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，
∴△ANM∽△BOC，
∴=，
∵OB=m，设ON=x，
∴=，即MN=（x+2），
令M（x，﹣（x+2））（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），
∵x＞0，∴x+2＞0，
∵m＞0，∴x=m+2，即M（m+2，﹣（m+4）），
∵AB2=CB•MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），
∴（m+2）2=•，
整理得：=0，显然不成立，
综上，在第四象限内，当m=2+2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M 为顶点的三角形与△ACB相似．
9.（1）证明：∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，
∴点P的坐标为（m，m﹣1），
∵当x=m时，y=x﹣1=m﹣1，
∴点P在直线l上；
（2）解：当m=﹣3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5，
当y=0时，x2+6x+5=0，解得x
1=﹣1，x
2
=﹣5，则A（﹣5，0），
当x=0时，y=x2+6x+5=5，则C（0，5），
可得解方程组，解得或，
则P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），
作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，
∵OA=OC=5，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，
∴∠MCE=45°﹣∠ACM，
∵QG=3，OG=2，
∴AG=OA﹣OG=3=QG，
∴△AQG为等腰直角三角形，
∴∠QAG=45°，
∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣（∠PAQ+45°）=45°﹣∠PAQ，∵∠ACM=∠PAQ，
∴∠APF=∠MCE，
∴Rt△CME∽Rt△PAF，
∴=，
设M（x，x2+6x+5），
∴ME=﹣x，CE=5﹣（x2+6x+5）=﹣x2﹣6x，∴=，
整理得x2+4x=0，解得x
1=0（舍去），x
2
=﹣4，
∴点M的坐标为（﹣4，﹣3）；
（3）解：解方程组得或，则P（m，m﹣
1），Q（m+1，m），
∴PQ2=（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2=2，OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+（m﹣1）2=2m2﹣2m+1，
当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2，解得m
1=，m
2
=；
当PQ=OP时，2m2﹣2m+1=2，解得m
1=，m
2
=；
当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，解得m=0，
综上所述，m的值为0，，，，．
10．解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），
令y=0，解得x=﹣2或x=4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），
∴﹣×4+b=0，解得b=，
∴直线BD解析式为：y=﹣x+．
当x=﹣5时，y=3，
∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，
∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，
∴k=．
∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．
（2）方法一：
由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，
∴C（0，﹣k），OC=k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：，
∴y=x+k．
∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，
解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴，即，
解得：k=．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．
与①同理，可求得：k=．
综上所述，k=或k=．
方法二：
∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角，①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，
∴K
AP +K
AC
=0，
∵C（0，﹣k），A（﹣2，0），
∴K
AC
=﹣，
∴K
AP
=，
∵A（﹣2，0），∴l
AP
：y=x+k，
∵抛物线：y=（x+2）（x﹣4），
∴x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（舍）
∴P（8，5k），
∵△ABC∽△APB，∴，
∴，
∴k=，
②若△ABC∽△APB，则有∠ABC=∠PAB，同理可得：k=；
（3）方法一：
如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA===，
∴∠DBA=30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t
最小
=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，
∴y=﹣×（﹣2）+=2，
∴F（﹣2，2）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：
作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA=30°，
∴∠BDH=30°，
∴FH=DF×sin30°=，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，
点M在整个运动中用时为：t=，
∵l
BD
：y=﹣x+，
∴F
X =A
X
=﹣2，
∴F（﹣2，）．
11.方法一：
解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．
联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，
解得：x=﹣1或x=2，
当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（﹣1，0），B（2，3）．
（2）设P（x，x2﹣1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．
∴PF=y
F ﹣y
P
=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．
S
△ABP =S
△PFA
+S
△PFB
=PF（x
F
﹣x
A
）+PF（x
B
﹣x
F
）=PF（x
B
﹣x
A
）=PF
∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+
当x=时，y
P
=x2﹣1=﹣．
∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．
（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．
令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．
∴EN=OE﹣ON=﹣．
∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，
∴△EQN∽△EOF，
∴，即：，
解得：k=±，
∵k＞0，
∴k=．
∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=．
Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，
将C（﹣k，0）代入y=kx+1中，
可得k=1，k=﹣1（舍去），
故存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1．
综上所述，k=或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．
方法二：
（1）略．
（2）过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，
设P（t，t2﹣1），则F（t，t+1）
∴S
△ABP =（F
Y
﹣P
Y
）（B
X
﹣A
X
），
∴S
△ABP
=（t+1﹣t2+1）（2+1），
∴S
△ABP
=﹣t2+t+3，
当t=时，S
△ABP 有最大值，∴S
△ABP
=．
（3）∵y=x2+（k﹣1）x﹣k，∴y=（x+k）（x﹣1），
当y=0时，x
1=﹣k，x
2
=1，
∴C（﹣k，0），D（1，0），
点Q在y=kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0），
∵∠OQC=90°，∴CQ⊥OQ，∴K
CQ ×K
OQ
=﹣1，
∴＜
∴（k2+1）t2+3kt+1=0有唯一解，∴△=（3k）2﹣4（k2+1）=0，
∴k
1=，k
2
=﹣（k＞0故舍去），∴k=．
12.方法一：
解：（1）若m=2，抛物线y=x2﹣2mx=x2﹣4x，
∴对称轴x=2，
令y=0，则x2﹣4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（4，0），
∵P（1，﹣2），令x=1，则y=﹣3，
∴B（1，﹣3），
∴C（3，﹣3）．
（2）∵抛物线y=x2﹣2mx（m＞1），
∴A（2m，0）对称轴x=m，
∵P（1，﹣m）
把x=1代入抛物线y=x2﹣2mx，则y=1﹣2m，
∴B（1，1﹣2m），
∴C（2m﹣1，1﹣2m），
∵PA2=（﹣m）2+（2m﹣1）2=5m2﹣4m+1，
PC2=（2m﹣2）2+（1﹣m）2=5m2﹣10m+5，
AC2=1+（1﹣2m）2=2﹣4m+4m2，
∵△ACP为直角三角形，
∴当∠ACP=90°时，PA2=PC2+AC2，
即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2，整理得：4m2﹣10m+6=0，
解得：m=，m=1（舍去），
当∠APC=90°时，PA2+PC2=AC2，
即5m2﹣4m+1+5m2﹣10m+5=2﹣4m+4m2，整理得：6m2﹣10m+4=0，
解得：m=，m=1，和1都不符合m＞1，
故m=．
（3）设点F（x，y）是直线PE上任意一点，过点F作FN⊥PM于N，∵∠FPN=∠PCB，∠PNF=∠CBP=90°，
∴Rt△FNP∽Rt△PBC，
∴NP：NF=BC：BP，即=，
∴y=2x﹣2﹣m，
∴直线PE的解析式为y=2x﹣2﹣m．
令y=0，则x=1+，
∴E（1+m，0），
∴PE2=（﹣m）2+（m）2=，
∴=5m2﹣10m+5，解得：m=2，m=，
∴E（2，0）或E（，0），
∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E （2，0）或E（，0）；
令x=0，则y=﹣2﹣m，
∴E（0，﹣2﹣m）
∴PE2=（﹣2）2+12=5
∴5m2﹣10m+5=5，解得m=2，m=0（舍去），
∴E（0，﹣4）
∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E （0，﹣4），
∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E 点的坐标为（2，0）或（，0）或（0，﹣4）；
方法二：
（1）略．
（2）∵P（1，﹣m），
∴B（1，1﹣2m），
∵对称轴x=m，
∴C（2m﹣1，1﹣2m），A（2m，0），
∵△ACP为直角三角形，
∴AC⊥AP，AC⊥CP，AP⊥CP，
①AC⊥AP，∴K
AC ×K
AP
=﹣1，且m＞1，
∴，m=﹣1（舍）
②AC⊥CP，∴K
AC ×K
CP
=﹣1，且m＞1，
∴=﹣1，∴m=，
③AP⊥CP，∴K
AP ×K
CP
=﹣1，且m＞1，
∴=﹣1，∴m=（舍）
（3）∵P（1，﹣m），C（2m﹣1，1﹣2m），
∴K
CP
=，
△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PE⊥PC，∴K
PE ×K
CP
=﹣1，∴K
PE
=2，
∵P（1，﹣m），
∴l
PE
：y=2x﹣2﹣m，
∵点E在坐标轴上，
∴①当点E在x轴上时，
E（，0）且PE=PC，
∴（1﹣）2+（﹣m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，∴m2=5（m﹣1）2，
∴m
1=2，m
2
=，
∴E
1（2，0），E
2
（，0），
②当点E在y轴上时，E（0，﹣2﹣m）且PE=PC，
∴（1﹣0）2+（﹣m+2+m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，∴1=（m﹣1）2，
∴m
1=2，m
2
=0（舍），
∴E（0，4），
综上所述，（2，0）或（，0）或（0，﹣4）．
13.方法一：
解：（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），
∴x=m或x=n时，y都为0，
∵m＞n，且点A位于点B的右侧，
∴A（m，0），B（n，0）．
∵m=2，n=1，
∴A（2，0），B（1，0）．
（2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），∴﹣1=mn，
∴n=﹣，
∵B（n，0），
∴B（﹣，0）．
∵AO=m，BO=，CO=1
∴AC==，
BC==，
AB=AO+BO=m+，
∵（m+）2=（）2+（）2，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°．
（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．
∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，
∴AC==，
BC==|n|，
AB=x
A ﹣x
B
=2﹣n．
①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；
②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣；
③当BC=AB时，|n|=2﹣n，
当n＞0时，n=2﹣n，解得n=，
当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．
综上所述，n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形．
方法二：
（1）略
（2）∵C点的坐标是（0，﹣1），
∴mn=﹣1，设A（m，0），
∴B（﹣，0），
∴即，
∵∠AOC=∠CBO=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∴∠ACB=90°．
（3）∵m=2，∴mn=2n，
∴C（0，2n），B（n，0），A（2，0）
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，AB=BC，AC=BC，
∴（n﹣2）2+（0﹣0）2=（2﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n1=0，n2=﹣，
（n﹣2）2+（0﹣0）2=（n﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n
1=，n
2
=，
（2﹣0）2+（0﹣2n）2=（n﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n
1=2，n
2
=﹣2，
经检验n=0，n=2（舍）
∴当n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形．
（4）过点A作BC的平行下交抛物线于点D，
∵m=2，
∴n=﹣，
∴A（2，0），B（﹣，0），
∵AD∥BC，
∴K
AD =K
BC
=﹣2，又A（2，0），
∴，
解得x
1=﹣2（舍），x
2
=﹣，
∴D
1
（﹣，），
过点B作AC的平行线交抛物线于点D，∵BD∥AC，
∴K
BD =K
AC
=，又B（﹣，0），
∴，
解得：x1=﹣（舍），x2=，
∴D
2
，9），
综上所述，满足题意的D点有两个，
D 1（﹣，），D
2
（，9）．
14.解：（1）当m=时，抛物线C
1
：y=（x+）2．
∵抛物线C
2的顶点D在抛物线C
1
上，且横坐标为a，
∴D（a，（a+）2）．
∴抛物线C
2
：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2①．
①∵OC=2，∴C（0，2）．
∵点C在抛物线C
2
上，
∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，
解得：a=，代入抛物线C
2
：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2，
得抛物线C
2
的解析式为：y=﹣x2+x+2．
②存在a使得点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP；在①式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，
解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；
令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：
，解得，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．
假设存在满足条件的a值．
∵AP=BP，
∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C
2
的对称轴上；
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，
∴OP⊥BC．
如答图1所示，设C
2
对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．
∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．
∵tan∠EOP=tan∠BCO===2，
∴==2，
解得：a=．
∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP．
（2）∵抛物线C
2的顶点D在抛物线C
1
上，且横坐标为a，
∴D（a，（a+m）2）．
∴抛物线C
2
：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．
令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x
1=2a+m，x
2
=﹣m，∴B（2a+m，
0）．
∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．
∴D（﹣m，3）．
AB=OB+OA=2﹣m+m=2．
如答图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．
∵tan∠ABD===，∴∠ABD=60°．
又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．
作∠ABD的平分线，交DE于点P
1，则P
1
E=BE•tan30°=•=1，
∴P
1
（﹣m，1）；
在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P
2、P
3
、P
4
．
在Rt△BEP
2中，P
2
E=BE•tan60°=•=3，
∴P
2
（﹣m，﹣3）；
易知△ADP
3、△BDP
4
均为等边三角形，∴DP
3
=DP
4
=AB=2，且P
3
P
4
∥x轴．
∴P
3（﹣﹣m，3）、P
4
（3﹣m，3）．
综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，
其坐标为：P
1（﹣m，1），P
2
（﹣m，﹣3），P
3
（﹣﹣m，3），P
4
（3﹣
m，3）．
15.（1）解：∵A（0，m﹣1）在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣2上，∴a（0﹣m）2+2m﹣2=m﹣1．
∴a=．
∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m﹣2．
（2）证明：如图1，
设直线PA的解析式为y=kx+b，
∵点P（m，2m﹣2），点A（0，m﹣1）．
∴．
解得：．
∴直线PA的解析式是y=x+m﹣1．
当y=0时，x+m﹣1=0．
∵m＞1，
∴x=﹣m．
∴点B的横坐标是﹣m．
设直线OP的解析式为y=k′x，
∵点P的坐标为（m，2m﹣2），
∴k′m=2m﹣2．
∴k′=．
∴直线OP的解析式是y=x．
联立
解得：或．
∵点C在第三象限，且m＞1，
∴点C的横坐标是﹣m．
∴BC∥y轴．
（3）方法一：
解：若点B′恰好落在线段BC′上，
设对称轴l与x轴的交点为D，连接CC′，如图2，则有∠PB′C′+∠PB′B=180°．
∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得，
∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．∴∠PBC+∠PB'B=180°．
∵BC∥AO，
∴∠ABC+∠BAO=180°．
∴∠PB′B=∠BAO．
∵PB=PB′，PC=PC′，
∴∠PB′B=∠PBB′=，
∴∠PCC′=∠PC′C=．
∴∠PB′B=∠PCC′．
∴∠BAO=∠PCC′．
∵点C关于直线l的对称点为C′，
∴CC′⊥l．
∵OD⊥l，
∴OD∥CC′．
∴∠POD=∠PCC′．
∴∠POD=∠BAO．
∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，
∴△BAO∽△POD．
∴=．
∵BO=m，PD=2m﹣2，AO=m﹣1，OD=m，∴=．
解得：
∴m
1=2+，m
2
=2﹣．
经检验：m
1=2+，m
2
=2﹣都是分式方程的解．
∵m＞1，
∴m=2+．
∴若点B′恰好落在线段BC′上，此时m的值为2+．
方法二：
∵点C关于直线l的对称点为C″，
∴，∵C（﹣m，2﹣2m），P（m，2m﹣2），
∴m=，∴C′
X
=3m，
∴C′（3m，2﹣2m），
∵将△PBC绕点P逆时针旋转，∴△BCP≌△B′C′P，
∵点B′恰好落在线段BC′上，∴线段BP所对的∠BCP=∠B′C′P，
∴点P，B，C，C′四点共圆，（同侧共底的两个三角形顶角相等，则四点共圆）
∵C
Y =C′
Y
=2﹣2m，
∴CC′⊥BC，
∴BC′为P，B，C，C′四点共圆所在圆的直径，∴BP⊥C′P，
∴K
BP ×K
C′P
=﹣1，
∵P（m，2m﹣2），
∴C′（3m，2﹣2m），B（﹣m，0），∴=﹣1，
∴m2﹣4m+2=0，
∴m
1=2﹣，m
2
=2+，
∵m＞1，∴m=2+．。