推荐高中数学第三章不等式3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题名师讲义新人教B版必修5

3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3．5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
[新知初探]
1．二元一次不等式(组)的概念
(1)二元一次不等式
含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式．
(2)二元一次不等式组
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
2．二元一次不等式表示的平面区域
(1)直线l：Ax＋By＋C＝0，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面．开半平面与l 的并集叫做闭半平面．以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．
(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质：
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.
[点睛] 二元一次不等式表示的平面区域不是坐标平面内有限的一部分，而是一个无限区域．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域( )
(2)点(1,2)不在不等式2x ＋y －1>0表示的平面区域内( )
(3)不等式Ax ＋By ＋C >0与Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域是相同的( )
(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式( )
(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域( )
解析：(1)错误．不等式2x －1>0不是二元一次不等式，但表示的区域是直线x ＝12
的右侧(不包括边界)．
(2)错误．把点(1,2)代入2x ＋y －1，得2x ＋y －1＝3>0，所以点(1,2)在不等式2x ＋y －1>0表示的平面区域内．
(3)错误．不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．
(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1≥0，3x ＋2<0也称为二元
一次不等式组．
(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．在直角坐标系中，不等式y 2－x 2
≤0表示的平面区域是( )
解析：选C 原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.
3．不等式2x －y －6＞0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的( )
A ．左上方
B ．右上方
C ．左下方
D ．右下方
解析：选D 将(0,0)代入2x －y －6，得－6＜0，(0,0)点在不等式2x －y －6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．故选D.
4．已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________．
解析：因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )代入可得x ＋
2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12
.。