广西高考数学一轮复习第六章数列64数列求和课件文

整理得 2a1+3d=0.①
56
又 S8=8a1+ 2 d=32,整理得 2a1+7d=8,②
联立①②,解得 d=2,a1=-3,
90
∴
S
=10a
+
d=60,故选 C.
1
C 10
2
解析
关闭
答案
-10知识梳理
1 2 3 4 5
双基自测
5.(教材习题改编P61TA4(3))1+2x+3x2+…+nxn-1=
上述两式相减,得
-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1
12×(1-2 )
=
1-2
-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16,
得Tn=(3n-4)2n+2+16.
所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.
-21-
考点1
考点2
考点3

2+1
令 cn= ,则 cn= 2 ,

因此 Tn=c1+c2+…+cn
3
5
7
2-1
=2 + 22 + 23 +…+
1
3
2 -1
7
5
+
2+1
2
2-1
又2Tn=22 + 23 + 24 +…+
1
3
两式相减得2Tn=2 +
2+5
所以 Tn=5-
2
1
2
1
.
+
2+1
2 +1
,
合分组求和?
-12-
考点1
考点2
考点3
解 (1)等差数列{bn}的公差为d.
由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,
3 = 3 + 3,
= 1 + ,
故
⇒ 2
⇒q=3(q=1 舍去).
2
3 = 3 + 12
= 1 + 4
∴d=2,∴an=3n,bn=2n+1.
+1
3.已知数列{an}的通项 an=lg
则项数n的最大值为(
A.98 B.99

,Sn 为{an}的前 n 项和,若 Sn<2,
)
关闭
+1
∵an=lg =lg(n+1)-lg n,
∴Sn=a1+a2+…+an=(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+(lg 4-lg
3)+…+[lg(n+1)-lg n]=lg(n+1).
+ 22 + … +
2
1
2 -1
−
2+1
2 +1
,
.
-18-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.一般地,数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列
{an·
bn}的前n项和,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边同
乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.
2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,
)
答案
-7知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
2.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为
(
)
n+n2-n+1+n2-1
n+1+n2-n+n-2
关闭
2(1-2 )
(1+2-1) n+1
2
Sn=
+
=2
-2+n
.
2
1-2
关闭
C
解析
答案
-8知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
答案
-11知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
自测点评
1.含有参数的数列求和,常伴随着分类讨论.
2.在错位相减法中,两式相减后,构成等比数列的有(n-1)项,整个
式子共有(n+1)项.
3.用裂项相消法求和时,裂项相消后,前面剩余几项,后面就剩余
几项.
4.数列求和后,要注意化简,通常要进行通分及合并同类项的运算.
6.4
数列求和
-2知识梳理
双基自测
1 2 3
1.基本数列求和方法
(1 + )
(-1)
(1)等差数列求和公式:Sn= 2 =na1+ 2 d.
1 , = 1,
(2)等比数列求和公式:Sn= 1 -
1-
=
1 (1- )
,
1-
≠ 1.
-3知识梳理
双基自测
1 2 3
考点 3
裂项相消法求和
例3设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列

2+1
的前 n 项和.
思考裂项相消法的基本思想是什么?
解:(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.
相减法求得. (
)
(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1
的正整数). (
)
1
1
1
1
(5)已知等差数列{an}的公差为 d,则
= -
.
+1

+1
关闭
)
(1)(× (2)√
(3)√ (4)√ (5)× (6)√
(6)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S50=-25. (
1
− 2+1.
-16-
考点1
考点2
考点3
考点 2
错位相减法求和
例2已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,
求数列


的前 n 项和 Tn.
思考具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?
.
2
2
2
2
2
-6知识梳理
1 2 3 4 5
双基自测
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
1
1
1
(1)当 n≥2 时, 2 =
−
.(
)
-1
-1
+1
(2)利用倒序相加法可求得
sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.(
)
(3)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,当a≠0,且a≠1时,求Sn的值可用错位
(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+…+cn=(3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)]+3+32+…+3n.
3(1-3 )
n 为偶数时,Sn=n+ 1-3
3+1
3
当
= 2 +n-2;
3(1-3 )
3+1
7
当 n 为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+
=
-n- .
1-3
2
2
+1
3
3
+ - 2 ,为偶数,
2
∴Sn= +1
3
7
-,为奇数.
2
2
-13-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.若数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并
项求和法求数列前n项和.
2.具有下列特点的数列适合分组求和
-17-
考点1
考点2
考点3
解:(1)设{an}的公比为 q,由题意知 a1(1+q)=6,12 q=a1q2,
又 an>0,解得 a1=2,q=2,所以 an=2n.
(2+1)(1 +2 +1 )
(2)由题意知 S2n+1=
=(2n+1)bn+1,
2
又 S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以 bn=2n+1.
1
1
④
= ( +
+ +
− ).
;
-5知识梳理
1 2 3
双基自测
3.常用求和公式
(+1)
;
2
(1)1+2+3+4+…+n=
(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2;
(+1)(2+1)
(3)1 +2 +3 +…+n =
;
6
(+1) 2
3
3
3
3
(4)1 +2 +3 +…+n =
考点1
考点2
考点3
考点 1
分组求和与并项求和
例1在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足
b1=a1,b4=a2,b13=a3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn.
思考具有什么特点的数列适合并项求和?具有什么特点的数列适
以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
-19-
考点1
考点2
考点3
对点训练2已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项
为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).
解题心得裂项相消法的基本思想就是把an分拆成an=bn+kbn(k∈N*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的.在解
题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合
裂项相消的条件.
-23-
考点1
考点2
考点3
对点训练3(2018山东潍坊二模)已知等比数列{an}的前n项和为
2.非基本数列求和常用方法
(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”
的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如
等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.
(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比
数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后
(x≠0,且x≠1).
关闭
设 Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1,①
则 xSn=x+2x2+3x3+…+nxn,②
①-②得(1-x)Sn
1-
2 −
故 Sn=(1-
)
1-
(1-)2
−
1-
1-
=1+x+x2+…+xn-1-nxn=

ห้องสมุดไป่ตู้
1-
-nxn,
关闭
.
1-
解析
设数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 T2n.
,为偶数,
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为
q,∵a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3,
+ 3 + 3 + = 10,
= 2,
∴
∴
3 + 4-2 = 3 + 2, = 2.
∴an=2n+1,bn=2n-1.
-15-
考点1
考点2
考点3
(3+2+1)
(2)由(1)知,Sn=
1
∴cn=
2+1
1
,为奇数,
+2
2-1 ,为偶数,
∴T2n=
1
=n(n+2).
2
1
1
1
3
3
5
1- + − +…+
1
−
2-1
1+22 +1
2n-1
+(21+23+25+…+2
)=
3
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,
而b1=2,所以q2+q-6=0.
又因为q>0,解得q=2.
所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①
由S11=11b4,可得a1+5d=16,②
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
又 Sn<2,∴lg(n+1)<2,即 n+1<100,即 n<99.
∵
A n∈N*,∴n 的最大值为 98.故选 A.
关闭
解析
答案
-9知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
4.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等
比中项,S8=32,则S10等于(
)
关闭
∵a4 是 a3 与 a7 的等比中项,∴42 =a3a7,即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),
再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.
(3)并项求和法:一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用
并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.
(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位
相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
所以 an=
2
2-1
(n≥2).
2
又由题设可得 a1=2,从而{an}的通项公式为 an=2-1.
-22-
考点1
考点2
(2)记
考点3

2+1

的前 n 项和为 Sn.
2
1
1
由(1)知2+1 = (2+1)(2-1) = 2-1 − 2+1.