11 求导法则1

② 若有变量代入基本公式，则注意代入后，还要对该变量 继续求导.
例7
cos 1
y2 x
,
求y.
解
cos 1
y 2 x ln 2 (cos
1 )
cos 1
2x
ln
2
(
sin
1
)
(
1
)
x
xx
cos 1
2x
ln
2(
sin
1 x
)
1 x2
cos 1
2x
ln
2 sin
1 x
1 x2
14
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例11 设曲线C的方程为x3 y3 3xy, 求过C上点 3 , 3 2 2
的切线方程, 并证明曲线C在该点的法线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y ( 3,3) 22
y x2 y2 x
( 3,3 ) 22
1.
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
25
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例8 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解
dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
dx
10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例9
求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
解
x
tan
y在
I
y
(
2
,
2
)内
单
调
、
可
导,
且 (tan y) sec2 y 1 tan 2 y .
在 I x (,)内 有
(arctan
x) 1 (tan y)
1 sec2
y
1
1 tan
2
1 y 1 x2 .
即
(arctan x )
1
1 x2
.
10
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练习：求y arccos x和 y arc cot x 的导数.
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2. 例题分析
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 . 解 y 3x 2 4x cos x.
例2 求 y sin2x ln x 的导数.
解 y 2sin x cos x ln x y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x 2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
第11讲 求导法则1
主要内容：
一、函数的和、差、积、商的导数 二、反函数的导数 三、复合函数的导数 四、隐函数的导数
1
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基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式）
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
(secx) sec x tan x
(a x ) a x ln a
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0 .
在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
即 (arcsin x) 1 . 1 x2
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例5 求函数 y arctan x 的导数.
例6 求函数 y ln sin x 的导数. 解 y ln u, u sin x.
dy dy du 1 cos x cos x cot x
dx du dx u
sin x
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重要提示：
① 不能简单代入：对于非基本初等函数(与基本公式一致的 函数) 不能直接代公式;
2
3
y
1 2
1 x2
1
2x
1 3( x
2)
x x2
1
1 3( x
2)
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四、隐函数的导数
定义: 由方程F( x, y) 0所确定的函数称为隐函数.
y f ( x) 形式的称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
dy dx
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即：因变量对自变量求导, 等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. (链式法则)
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推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv dx du dv dx
隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
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例10 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
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二、 反函数的求导法则
定理
如
果
函
数x
(
y)在
某
区
间I
内
y
单
调
、
可
导
且( y) 0 , 那 末它 的反 函 数y f ( x)在 对
应
区
间I
内
x
也
可
导,
且
有
f ( x) 1 .
( y)
即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
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例4 求函数 y arcsin x 的导数.
2x
(6) y ( x2 2x)lg x ex
(8) y x2 2x
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2. 求抛物线y=3x2+x-6在x=1处的切线方程和法线方程。
3. 求曲线 y x 1 与 x 轴交点处的切线方程。 x
4. 计算
1)
y
sin
1
2
x x
2
,
求
dy dx
2(1 x 2 )
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
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练习
1. 求下列函数的导数
(1)
y
2x4
3 x2
5
(3) y x3 x
(2) y 3secx cot x (4) y sin x tan x
(5) y e x sin x (7) y sin x
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3) [ u( x)] v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v2(x)
(v( x) 0).
3
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推论
(1)
n
fi ( x)
n
fi( x);
i1
i1
(2) Cf (x) Cf (x).
(arc cot
x )
1 1 x
2
2
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一、 函数的和、差、积、商的导数 1. 和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数u( x), v( x)在点x处可导,则它们的和、 差、积、商(分母不为零)在点x处也可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
2x
(1 x 2 )2 cos 1 x 2
2) y 3 1 2x2 , 求 dy dx
4x 33 (1 2x2 )2
1 sin
3) y e x ,
求
dy dx
.
1 x2
sin 1
e x
cos
1 x
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小结： 1. 函数的和、差、积、商的导数 2. 反函数的导数 3. 复合函数的导数 4. 隐函数的导数
由原方程知 x 0, y 0,
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
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隐函数求导步骤：
A. 对方程两边求导；
B. 方程仅含x的式子按正常求导；凡含y的式子 要按复合函数求导，且结果必有 y(或 dy )
dx
C. 将 y的系数合并移项到等式左边，其余移 项到等式右边，求解出 y 。
6
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例4 求 y sec x 的导数 .
解
y
(sec
x)
(1 cos
) x
(coቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos 2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
即 (sec x) sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
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(loga
x)
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
( x ) x 1
(cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(csc x) csc x cot x
(e x ) e x
(ln x) 1 x
(arccos x) 1 1 x2
答案：(arccos x) 1 ; 1 x2
(arc cot
x)
1
1 x2
.
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三、 复合函数的求导法则
定理
如 果 函 数u ( x)在 点 x0可 导, 而y f (u)在
点u0 ( x0 )可 导, 则 复 合 函 数y f [ ( x)]在
点 x0可 导, 且 其 导 数 为
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例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x ) cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec 2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.