四川省成都市经济技术开发区实验中学数列多选题试题含答案

四川省成都市经济技术开发区实验中学数列多选题试题含答案
一、数列多选题
1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}
n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()22
2123222022210f f f f f f -+-=
C ．12320192688g g g g ++++=
D ．222
21232019201820202f f f f f f ++++=
【答案】AB 【分析】
由+2+1+n n n f f f =可得()2
+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计
算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}
n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：
12345678910111211,2,3,1,0,1,12310
g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，
所以数列{}
n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；
对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选
项错误；
对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，
所以()()2
2222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()2
2121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()2
2
2123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：
()2
12+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，
()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，
，
()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

所以222
21232019f f f f +++
+
()()()()122312343220182019201820172019202020192018+++++f f f f f f f f f f f f f f f f f f =----
20192020f f =，故D 选项错误；
故选：AB.
【点睛】
本题考查数列的新定义，关键在于运用数列的定义研究其性质用于判断选项，常常采用求前几项的值，运用归纳法找到规律，属于难度题.
2．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，(
)*
n F n ∈N
为边BC 上的一列点，连接
n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅，其中数列
{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A ．313a =
B ．数列{}3n a +是等比数列
C ．43n a n =-
D ．1
22n n S n +=--
【答案】AB 【分析】
化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到
1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到
答案. 【详解】
()()
11
2232
n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅
+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故
1230n n a a +--=，
即()1323n n a a ++=+，11a =，故1
342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.
432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；
1
2
3n n a +=-，C 错误；2124323412
n
n n S n n +-=-=---，故D 错误.
故选：AB . 【点睛】
本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.
3．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项
B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <
C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列
D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC 【分析】
由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】
由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；
选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】
本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.
4．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列
B ．满足100n S <的n 的最大值是9
C ．n S 除以4的余数只能为0或1
D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】
根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加
法求得(
)*
21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：因为()111n n na n a +-+=，
故等式两边同除以()1n n +得：()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()1211122121
1n n a a n n n n n n --=------=--，，
2111121122
a a =-⨯-= 故根据累加法得：
()11
121n a a n n
n =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故(
)*
21n a n n N
=-∈
所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()
21212
n n n S n +-=
=，
故2
100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*
21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*
2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正
确；
对于D 选项，2
22n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.
故选：ABC 【点睛】
本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得
()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.
5．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
【答案】BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;
选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈是等差数
列，故对; 故选：BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
6．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．数列{}n a 为等比数列
B ．数列{}n S n +为等比数列
C ．数列{}n a 中10511a =
D ．数列{}2n S 的前n 项和为
2224n n n +---
【答案】BCD 【分析】 由已知可得
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得
2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公
式，可判断C ；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】
因为121n n S S n +=+-，所以
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++． 又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；
所以2n n S n +=，则2n
n S n =-．
当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11
121a -≠-，故A 错误；
由当2n ≥时，1
2
1n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；
因为1222n n S n +=-，所以231
1222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-
()()()23122
412122...2212 (22412)
2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=
-+=---⎢⎥-⎣
⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由
121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到
11222n n n n S n S n
S n S n
++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，
考查了推理运算能力，属于中档题,
7．在n n n A B C （1,2,3,
n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的
面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222
1
24n n n a c b ++=
，222
124
n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值
【答案】ABD 【分析】
先结合已知条件得到()22
2
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系12
21875
=644
n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222
1
24n n n a c b ++=
，222
124
n n n a b c ++=得，222222
1
1
2244
n n n n n n a c a b b
c
+++++=+
()22
21122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，222
25=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角
三角形，A 正确；
n n n A B C 的面积为1
2
n n n S b c =，而
()
422222
222222
1124224416
n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=
， 故()
422222
2222211
1
241875161875==16
166
41n n n n n n n n n n n a b c a b b
S S c c S +++++++==
+，
故22
21
22
18751875==6446434
n n n n n S S S
S S +-+--
， 又22125=244n n n n n b c b c S +=≤
（当且仅当=n n b c 2
21
2
1875=06344
n n n S S
S +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即
212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故
BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】
本题解题关键是利用递推关系得到()22
2
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判
断.
8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是递增数列 C ．0n
S <时，n 的最小值为13
D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
中最小项为第7项 【答案】ACD 【分析】 由已知得()
()612112712+12+2
2
0a a a a S ==
>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知
得出24
37
d -
<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又
()1112+3n a n d =-，可得出1n
a 在1,6n n N
上单调递增，1
n
a 在
7n n
N ，
上单调递增，可判断B ；由
()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；
【详解】
由已知得311+212,122d a a a d ===-，()
()612112712+12+2
2
0a a a a S =
=
>，又
70a <，所以6>0a ，故A 正确；
由716167
1+612+40
+512+3>0+2+1124+7>0
a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪
==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，
当[]
1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又
()11
12+3n a n d
=-，所以[]1,6n ∈时，1>0n
a ，7n ≥时，1
0n a <，
所以1
n
a 在1,6n
n N
上单调递增，1
n
a 在7n
n N
，上单调递增，所
以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
不是递增数列，故B 不正确；
由于()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；
当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]
1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，
0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，
0n
n
S a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项，故D 正确；
【点睛】
本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.
二、平面向量多选题
9．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（ ） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =
【答案】ABD 【分析】
作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】
根据题意，在直线AB 上取点,P Q '
'
，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q '
'
分别作直线AB 的
垂线，交曲线x
y e =于1P ，2P ，交曲线
ln y x =于12,Q Q ，在曲线x
y e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：
1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，
2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，
若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，
若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，
但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；
对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且
Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；
对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.
10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）
A ．::7:5:3sinA sin
B sin
C = B ．0AB AC ⋅>
C ．若6c =，则ABC 的面积是
D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】ACD 【分析】
先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到
3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选
项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】
依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，
由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；
222222
cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=
222222.5 1.5 3.515
028
k k +-==-<，
故选项B 不正确；
若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，
所以222106141
cos 21062
A +-==-⨯⨯，
所以sin 2
A =
，
故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；
若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，
所以2225371
cos 2532
A +-==-⨯⨯，
所以sin 2
A =， 则利用正弦定理得：
ABC 的外接圆半径是：12sin 3
a A ⨯=， 故选项D 正确；
故选：ACD.
【点睛】
关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.。