麻江县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

麻江县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S4=﹣2，S5=0，则S6=（）
A．0B．1C．2D．3
2．设偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
3．函数f（x）=2x﹣的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．3
4．在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（）
A．60°B．120°C．120°或60°D．45°
5．下列命题中正确的是（）
A．复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d
B．任何复数都不能比较大小
C．若=，则z1=z2
D．若|z1|=|z2|，则z1=z2或z1=
6．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
7．如图所示，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（）
A．B． C. D．
8．若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（）
A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}
9．已知直线a A平面α，直线b⊆平面α，则（）
a b A
A．B．与异面C．与相交D．与无公共点
10．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则等（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ）
A ．M ∪N
B ．（∁U M ）∩N
C ．M ∩（∁U N ）
D ．（∁U M ）∩（∁U N ）
12．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）
A.x
y e -=
B.3
y x =
C.ln y x =
D.y x
=二、填空题
13．过椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭
圆的离心率为 ．　
14．已知x ，y 满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．
15．在中，角的对边分别为，若，的面积，ABC ∆A B C 、、a b c 、、1cos 2c B a b ⋅=+ABC ∆S =则边的最小值为_______．
c 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．
16．设函数f （x ）=
，
①若a=1，则f （x ）的最小值为 ；
②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．
17．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数是奇函数的导函数，，当时，
()f x '()f x ()10f -=0x >，则使得成立的的取值范围是__________．
()()0xf x f x -<'()0f x >x
18．以抛物线y 2=20x 的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为
．
三、解答题
19．已知数列的前项和公式为.{}n a 2
230n S n n =-（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）求的最小值及对应的值.
n S 20．已知函数f （x ）=log a （x 2+2），若f （5）=3；（1）求a 的值； （2）求
的值；
（3）解不等式f （x ）＜f （x+2）．
21．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）一个周期内的一系列对应值如表：
x 0
y
1
﹣1
（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数g （x ）=f （x ）+sin2x 的单调递增区间．
22．已知全集U=R ，函数y=+
的定义域为A ，B={y|y=2x ，1≤x ≤2}，求：
（1）集合A ，B ；（2）（∁U A ）∩B ．
23．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=（a 1x xe -．∈R ，e 为自然对数的底数）
（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在上无零点，求a 的最小值；10,
2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
（Ⅲ）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，求a 的取值范围．
24．已知定义在的一次函数为单调增函数，且值域为．[]3,2-()f x []2,7（1）求的解析式；
()f x （2）求函数的解析式并确定其定义域．
[()]f f x
麻江县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
则S4=4a1+d=﹣2，S5=5a1+d=0，
联立解得，
∴S6=6a1+d=3
故选：D
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．
2．【答案】A
【解析】解：因为f（x）为偶函数，
所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）
又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，
即（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，
所以x的取值范围是（，1），
故选：A．
3．【答案】C
【解析】解：易知函数的定义域为{x|x≠1}，
∵＞0，
∴函数在（﹣∞，1）和（1，+∞）上都是增函数，
又＜0，f（0）=1﹣（﹣2）=3＞0，
故函数在区间（﹣4，0）上有一零点；
又f（2）=4﹣4=0，
∴函数在（1，+∞）上有一零点0，
综上可得函数有两个零点．
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判断．解题关键是掌握函数零点的判断方法．利用函数单调性确定在相应区间的零点的唯一性．属于中档题．
4．【答案】C
【解析】解：∵a=2，b=6，A=30°，
∴由正弦定理可得：sinB===，
∵B∈（0°，180°），
∴B=120°或60°．
故选：C．
5．【答案】C
【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R．
B．实数是复数，实数能比较大小．
C．∵=，则z1=z2，正确；
D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C．
6．【答案】D
【解析】解：设F2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．
又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．
根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a﹣c．
所以2a﹣c=，所以e=．
故选D．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
7．【答案】C
【解析】
考
点：平面图形的直观图.8． 【答案】D
【解析】解：A ∩B={x|﹣2＜x ＜1}∩{x|0＜x ＜2}={x|0＜x ＜1}．故选D ．　
9． 【答案】D 【解析】
试题分析：因为直线 a A 平面α，直线b ⊆平面α，所以或与异面，故选D.//a b 考点：平面的基本性质及推论.10．【答案】C
【解析】解：∵M 、G 分别是BC 、CD 的中点，
∴=， =
∴=
+
+
=
+
=
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关
键．　
11．【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，∴∁U M={0，1}，∴N ∩（∁U M ）={0，1}，故选：B ．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．　
12．【答案】B 【解析】
试题分析：对于A ，为增函数，为减函数，故为减函数，对于B ，，故x
y e =y x =-x
y e -=2
'30y x =>3
y x =为增函数，对于C ，函数定义域为，不为，对于D ，函数为偶函数，在上单调递减，0x >R y x =(),0-∞在上单调递增，故选B.
()0,∞考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.
二、填空题
13．【答案】　
　．
【解析】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
14．【答案】　4　．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，
直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．【答案】1
16．【答案】　≤a ＜1或a ≥2　．
【解析】解：①当a=1时，f （x ）=
，
当x ＜1时，f （x ）=2x ﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，
当x ＞1时，f （x ）=4（x ﹣1）（x ﹣2）=4（x 2﹣3x+2）=4（x ﹣）2﹣1，当1＜x ＜时，函数单调递减，当x ＞时，函数单调递增，故当x=时，f （x ）min =f （）=﹣1，②设h （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）若在x ＜1时，h （x ）=与x 轴有一个交点，
所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1，所以≤a ＜1，
若函数h （x ）=2x ﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点，则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，
当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h （1）=2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是≤a ＜1，或a ≥2．　
17．【答案】()()
,10,1-∞-⋃【解析】
18．【答案】　（x ﹣5）2+y 2=9　．
【解析】解：抛物线y 2=20x 的焦点坐标为（5，0），双曲线：的两条渐近线方程为3x ±4y=0
由题意，r
=3，则所求方程为（x ﹣5）2+y 2=9
故答案为：（x ﹣5）2+y 2=9．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】（1）；（2）当或时，最小，且最小值为.432n a n =-7n =n S 78112S S =-【解析】
试题分析：（1）根据数列的项和数列的和之间的关系，即可求解数列的通项公式；（2）由n a n S {}n a n a （1）中的通项公式，可得，，当时，，即可得出结论．11270a a a <<<< 80a =9n ≥0n a >试题解析：（1）∵，2
230n S n n =-∴当时，.
1n =1128a S ==-当时，.
2n ≥2
2
1(230)[2(1)30(1)]432n n n a S S n n n n n -=-=-----=-∴，.432n a n =-n N +∈（2）∵，
432n a n =-∴，，1270a a a <<< 80a =当时，.
9n ≥0n a >∴当或8时，最小，且最小值为.7n =n S 78112S S =-考点：等差数列的通项公式及其应用．20．【答案】
【解析】解：（1）∵f （5）=3，∴，
即log a 27=3解锝：a=3…（2）由（1）得函数，则
=
…
（3）不等式f （x ）＜f （x+2），
即为化简不等式得
…
∵函数y=log 3x 在（0，+∞）上为增函数，且的定义域为R ．
∴x 2+2＜x 2+4x+6…即4x ＞﹣4，解得x ＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…　
21．【答案】
【解析】（本题满分12分）
解：（1）由表格给出的信息知，函数f （x ）的周期为T=2（﹣0）=π．
所以ω=
=2，由sin （2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=
．
所以函数的解析式为f （x ）=sin （2x+）=cos2x …6分
（2）g （x ）=f （x ）+sin2x=
sin2x+cos2x=2sin （2x+
），
令2k
≤2x+
≤2k
，k ∈Z 则得k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z
故函数g （x ）=f （x ）+sin2x 的单调递增区间是：，k ∈Z …12分
【点评】本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应
用，属于基本知识的考查．　
22．【答案】 【解析】解：（1）由，解得0≤x ≤3
A=[0，3]，
由B={y|y=2x ，1≤x ≤2}=[2，4]，（2））∁U A=（﹣∞，0）∪[3，+∞），∴（∁U A ）∩B=（3，4]　
23．【答案】（1） f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f （x ）在 10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是.3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝
⎦
【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中求出f ′（x ），令f ′（x ）＞0求出x 的范围即为函数的增
区间，令f ′（x ）＜0求出x 的范围即为函数的减区间；（Ⅱ）f （x ）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，
）上无零点，只需要对x ∈（0，）时f （x ）＞121
2
0恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值；
试题解析：
（1）当a=1时，f （x ）=x ﹣1﹣2lnx ，则f ′（x ）=1﹣，由f ′（x ）＞0，得x ＞2；由f ′（x ）＜0，得0＜x ＜2．
故f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；
（2）因为f （x ）＜0在区间上恒成立不可能，
故要使函数上无零点，
只要对任意的
，f （x ）＞0恒成立，即对
恒成立．
令，则
，
再令，
则
，故m （x ）在
上为减函数，于是
，
从而，l （x ）＞0，于是l （x ）在上为增函数，所以
，
故要使
恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数f （x ）在 上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；10,
2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
（3）g ′（x ）=e 1﹣x ﹣xe 1﹣x =（1﹣x ）e 1﹣x ，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，
所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
当a=2时，不合题意；
当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]
当x=时，f′（x）=0．
由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故，即①
此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
x（0，）（，e] f′（x）﹣0+
f（x）↘最小值↗
又因为，当x→0时，2﹣a＞0，f（x）→+∞，
，
所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），
使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：
即
令h（a）=，
则h，令h′（a）=0，得a=0或a=2，
故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；
当时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．
所以，对任意，有h（a）≤h（0）=0，
即②对任意恒成立．由③式解得：
．④
综合①④可知，当a 的范围是 时，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝
⎦
x i （i=1，2），使f （x i ）=g （x 0）成立．
24．【答案】（1），；（2），.()5f x x =+[]3,2x ∈-[]()10f f x x =+{}3x ∈-【
解
析
】
试
题解析：
（1）设，111]()(0)f x kx b k =+>由题意有：解得32,27,k b k b -+=⎧⎨
+=⎩1,
5,
k b =⎧⎨
=⎩∴，．()5f x x =+[]3,2x ∈-（2），．
(())(5)10f f x f x x =+=+{}3x ∈-考点：待定系数法．。