组合数学(张永刚)吉林大学 3.3 多重集的排列与组合
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r
方法2 分析定理的结论， 是(n+r-1)元普 通集合的r-组合数，构造： M { a , a ,..., a }的r-组合 (n+r-1)元的普通集合S的r组合 一一对应.
1 2 n
n r 1 r
证明如下：为表达方便，将 M { a1 , a2 ,..., an } 中n种不同元素用数字1,2,…,n替换，这样每个 r-组合具有形式 { j1 , j2 ,, jr } 不妨设1 j1 i ，即 k1 j1 , k 2 j2 1,..., k r jr ( r 1) 1) 则
M 3 a,2 b,5 c,4 d
那么它的3排列？ 2排列？4*4
若M中每个元素的重复度大于等于r，则 结论仍然成立。 这个问题对应的分配问题模型是：将r个 有区别的球放入n个不同的盒子中，且每 个盒子的球数不加以限制( 实际上，容量 大于等于r就行），而且同盒的球不分次 序，则不同的放法为nr 种
j1 | j2 | j3 | | jr |
在序列中每个ji后面用以竖线“|”标记，则 设第1个竖线前面的数字个数为x1，第1个 竖线与第2个竖线间的数字个数为x2，…， 第r个竖线后面的数字个数为xr+1。 根据题意，因为 { j1 , j2 ,, jr } 中任意两个数 都彼此不相邻，所以满足： x1≥1，x2≥2，…，xr≥2，xr+1≥0， 因为一共有n个数字，所以 x1+x2+x3+…+xr+xr+1=n。
如果多重集M有n个元素(包括重复的元素)，则 M的n-组合只有一个，就是M本身。 如果M有n种不同元素，则M的1-组合恰有n个。
定理3.3.3 多重集M { a1 , a2 ,..., an }， 的r 组合数是C ( n r 1, r )
证明1 (1) M的任何一个r-组合都具有以下形式
例3.3.4 从4个a，4个b，4个c，4个d中选 择字母形成一个10个字母的序列，如果每 个字母至少出现两次，有多少种方法形成 这样的序列 解 这个问题实际上是求 M 4 a,4 b,4 c,4 d 的10-排列数，但要求每个10排列中包含 a,b,c,d每个字母至少两个。 我们设 M * 2 a,2 b,2 c,2 d ，则原问题可以分成如下两大类共10种 情况：
§3.3 多重集的排列与组合
§3.3.1 多重集的排列 §3.3.2 多重集的组合
§3.3.1 多重集的排列
多重集中可以有重复的元素。 多重集合表示为
M {k1 a1 , k2 a2 ,..., kn an }
其中：a1 , a2 ,, an 互不相同 M中有ki个ai（1≤i≤n）， 称ki为ai的重复度
1 2 3 4…………….第 r个球 n
n n n n
例3.3.1 用26个英文字母可以构造出 多少个包含2个元音字母（可以相同） 且长度为8的“单词”
解 该问题是求 M a, b,, z 的包含2个元音字母的8-排列数。在长度为8 的字符串中，2个元音字母出现的位置的选 8 取方式有 2 种，而每个元音位置可取5个元 音字母中的一个，剩余6个辅音字母的位置 可取21个辅音字母中的任一个，因而，满 8 2 6个. 足题意的“单词”有 · 5 · 21 2
{x1 a1 , x2 a2 ,, xn an }
其中
x1 x 2 x k r
的非负整数解的个数。
（2）方程 x1 x2 xn r 的一个非负整数解可以 表示为{(n-1)•0, r•1}的一个全排列，
反之{(n-1)•0, r•1}的一个全排列，在这个排 列中n-1个0把个1分成个组。 • 从左边数，第一个0左边的1的个数为x1， 第一个0和第二个0之间的1的个数为x2 ，依 此类推，最后一个0右边的1的个数为xn ， 则 x 1 , x2 , , x n 是一组非负整数解。
有4个元音字母的单词有
有5个元音字母的单词有 根据加法原理共
8 4 4 5 21 4 8 5 3 5 21 5
8 4 8 4 8 5 5 4 3 5 21 5 21 5 21 3 4 5
例3.3.3 求多重集
M 3 a,2 b,4 c的8-排列数
解 可分三种情况计算： M-{a}的8-排列数, 即为 2 a,2 b,4 c 排列数 8! 420 为： 2!2!4! M-{b}的8-排列数,即为 3 a,1 b,4 c 排列数 8! 280 为： 3!1!4! M-{c}的8-排列数,即为 3 a,2 b,3 c 排列数 8! 为： 560 3!2!13! 多重集M的8-排列数为 420+280+560=1260
kn k1 kn k2 kn N ... k1 k2 kn (k1 kn )! (k2 kn )! kn ! ... k1 ! (k2 kn )! k2 ! (k3 kn )! kn ! 0! (k1 kn )! k1 k2 k1 ! k2 ! ... kn ! k1 k2 kn kn
例3.3.2 我们再看例3.2.3，如其余条件不 变，只是允许字母随意重复，那么能构成多 少个这样的单词？ 解 因为一共有5个元音字母，每个单词至 少含有3个元音字母即包含3个，4个或者5 个元音字母。则分三种情况，
有3个元音字母的单词有
8 3 5 5 21 3
定理3.3.2 多重集M {k1 a1 , k 2 a2 ,..., k n an } （k1 k 2 ... k n） ! 的全排列数为 k1!k 2 !... k n !
证明 首先把M中所有的 k1 k2 kn 个元素看成是互不相同的，则全排列数 为 k1 k2 kn !。但ki个ai的位置相同， 且其他元素排列也相同的排列实质上是 同一个排列。 故M的全排列数为
（k1 k 2 ... k n） ! k1!k 2 !... k n !
证明（二） M的一个排列就是它的 (k1+k2+…+kn)个元素的一个全排列。因为M中 有k1个a1，在排列时要占据k1个位置，这些位置 的选法是C(k1+k2+…+kn, k1)种。接下去，我们 在剩下的k2+…+kn个位置中选择k2个放a2，选法 是C(k2+…+kn,k2)种。通过类似的分析可以得到， 我们有C(k3+…+kn,k3)种方法放a3,…，有 C(ki+…+kn,ki)种方法放ai. 根据乘法原则，M的排列数
x1 , x2 ,, xn 是非负整数，则有 x1 x2 xn r 反之，若给出方程 x1 x2 xn r 的非负整数解 x1 , x2 ,, xn x1 a1 , x2 a2 , , xn an 就是M的一个r-组合。 所以多重集M的r-组合数就等于方程
2!2!13!13!
*
•满足条件的方法数为 4
10! 10! 6 226800 2!2!2!4! 2!2!3!3!
§3.3.2 多重集的组合
• 多重集合的r-组合是指从M中无序地选出 r个元素
例子 M {2 a ,2 b,2 c},
M的2 组合有6个： {a, a},{a, b},{b, b},{a, c},{b, c},{c, c}
1 k1 k 2 k3 k r n r 1
显然 { j1 , j2 ,, jr } 与 {k1 , k 2 ,, , k r } 一一对应， 而 {k1 , k 2 ,, , k r } 是(n+r-1)元集合的r-组合，其数量 为 ，从而原结论成立.
n r 1 r
1 1 … 1 1 0 1 1 … 10 …01 1 1 … 011…11， x 1个 x2个 xn个
• 因此 x1 x2 xn r的非负整数解与 集合的全排列之间是一一对应。 • 由(1)(2)知，M的r-组合数等于 (n 1) 0, r 1 的全排列数，多重集M的r组合数为 n r 1
1 2 n
n 1
i
i
1
2
n
1
2
n
n (r n) 1 (r n) (n 1) r 1 r n r n n 1 .
例3.3.5 求集合S={1,2,…,n}的r-组合数，其 中要求r-组合中任意两个元素在S中都不是 相邻的。 如当n=8，r=3时，S={1,2,3,4,5,6,7,8}， {1,3,8}是满足条件的3-组合，而{1,2,6}是不 满足条件的3-组合，因为1,2在S中是相邻 的。 解 考虑S的任意一个r-组合 { j1 , j2 ,, jr } ， 不妨设 1 j1 j2 jr n 我们把1,2,…,n这 n个数按从小到大的顺序排成一个序列， 其中我们把标识出来，其余数字用“……” 表示。
M {2 a}的10-排列数; M * {2 b}的 （一） * M 10-排列数； {2 c}的10-排列数： M * {2 d } 的10-排列数， 10! 这4种类情况的10-排列数相等，均为 2!2!2!4!
*
（二）M {a, b} 的10-排列数; M * {a, c}的 * M 10-排列数； {a, d }的10-排列数： M * {b, c} * * M { b , d } M 的10-排列数； 10-排列数； {c, d } 的10-排列数 这6种类情况的10-排列数相等，均为 10!
ki是正整数，也可以是∞，表示M中有无限多个ai
例子
M a, a, a, b, c, c, d , d , d , d
• 是一个10个元素的多重集合， • 其中有3个a，1个b，2个c，4个d. • M表示为
M 3 a,1 b, 2 c, 4 d
定理3.3.1 多重集合 M { a1 , a2 ,..., an } 的r-排列数是nr 证明 在构造M的一个r-排列时， 第一个元素 有n种选择， 第二个元素 有n种选择， ……， 第r个元素 有n种选择。 (由于M中的每个元素都是无限次地重复， 所以r-排列中的任意一项都有n种选择，而 且不依赖于前面各项的选择) 故M的r-排列数为nr
定理3.3.4 设多重集 M { a1 , a2 ,..., an } r≥n，则M中每个元素至少取一个的r-组 r 1 合数为 证明 设 x1 a1 , x2 a2 ,, xn an 是满足条件的任一 r-组合，则有 x x x r, xi 1(i 1,2,, n). 令 y x 1(1 i n), 则 y y y r n, yi 0(i 1,2,, n). 显然 x x x r, 其中的整数解个数等于方 程 y1 y2 yn r n的非负整数解的个数。 由定理3.3.3，满足定理条件的组合数为
方法2 分析定理的结论， 是(n+r-1)元普 通集合的r-组合数，构造： M { a , a ,..., a }的r-组合 (n+r-1)元的普通集合S的r组合 一一对应.
1 2 n
n r 1 r
证明如下：为表达方便，将 M { a1 , a2 ,..., an } 中n种不同元素用数字1,2,…,n替换，这样每个 r-组合具有形式 { j1 , j2 ,, jr } 不妨设1 j1 i ，即 k1 j1 , k 2 j2 1,..., k r jr ( r 1) 1) 则
M 3 a,2 b,5 c,4 d
那么它的3排列？ 2排列？4*4
若M中每个元素的重复度大于等于r，则 结论仍然成立。 这个问题对应的分配问题模型是：将r个 有区别的球放入n个不同的盒子中，且每 个盒子的球数不加以限制( 实际上，容量 大于等于r就行），而且同盒的球不分次 序，则不同的放法为nr 种
j1 | j2 | j3 | | jr |
在序列中每个ji后面用以竖线“|”标记，则 设第1个竖线前面的数字个数为x1，第1个 竖线与第2个竖线间的数字个数为x2，…， 第r个竖线后面的数字个数为xr+1。 根据题意，因为 { j1 , j2 ,, jr } 中任意两个数 都彼此不相邻，所以满足： x1≥1，x2≥2，…，xr≥2，xr+1≥0， 因为一共有n个数字，所以 x1+x2+x3+…+xr+xr+1=n。
如果多重集M有n个元素(包括重复的元素)，则 M的n-组合只有一个，就是M本身。 如果M有n种不同元素，则M的1-组合恰有n个。
定理3.3.3 多重集M { a1 , a2 ,..., an }， 的r 组合数是C ( n r 1, r )
证明1 (1) M的任何一个r-组合都具有以下形式
例3.3.4 从4个a，4个b，4个c，4个d中选 择字母形成一个10个字母的序列，如果每 个字母至少出现两次，有多少种方法形成 这样的序列 解 这个问题实际上是求 M 4 a,4 b,4 c,4 d 的10-排列数，但要求每个10排列中包含 a,b,c,d每个字母至少两个。 我们设 M * 2 a,2 b,2 c,2 d ，则原问题可以分成如下两大类共10种 情况：
§3.3 多重集的排列与组合
§3.3.1 多重集的排列 §3.3.2 多重集的组合
§3.3.1 多重集的排列
多重集中可以有重复的元素。 多重集合表示为
M {k1 a1 , k2 a2 ,..., kn an }
其中：a1 , a2 ,, an 互不相同 M中有ki个ai（1≤i≤n）， 称ki为ai的重复度
1 2 3 4…………….第 r个球 n
n n n n
例3.3.1 用26个英文字母可以构造出 多少个包含2个元音字母（可以相同） 且长度为8的“单词”
解 该问题是求 M a, b,, z 的包含2个元音字母的8-排列数。在长度为8 的字符串中，2个元音字母出现的位置的选 8 取方式有 2 种，而每个元音位置可取5个元 音字母中的一个，剩余6个辅音字母的位置 可取21个辅音字母中的任一个，因而，满 8 2 6个. 足题意的“单词”有 · 5 · 21 2
{x1 a1 , x2 a2 ,, xn an }
其中
x1 x 2 x k r
的非负整数解的个数。
（2）方程 x1 x2 xn r 的一个非负整数解可以 表示为{(n-1)•0, r•1}的一个全排列，
反之{(n-1)•0, r•1}的一个全排列，在这个排 列中n-1个0把个1分成个组。 • 从左边数，第一个0左边的1的个数为x1， 第一个0和第二个0之间的1的个数为x2 ，依 此类推，最后一个0右边的1的个数为xn ， 则 x 1 , x2 , , x n 是一组非负整数解。
有4个元音字母的单词有
有5个元音字母的单词有 根据加法原理共
8 4 4 5 21 4 8 5 3 5 21 5
8 4 8 4 8 5 5 4 3 5 21 5 21 5 21 3 4 5
例3.3.3 求多重集
M 3 a,2 b,4 c的8-排列数
解 可分三种情况计算： M-{a}的8-排列数, 即为 2 a,2 b,4 c 排列数 8! 420 为： 2!2!4! M-{b}的8-排列数,即为 3 a,1 b,4 c 排列数 8! 280 为： 3!1!4! M-{c}的8-排列数,即为 3 a,2 b,3 c 排列数 8! 为： 560 3!2!13! 多重集M的8-排列数为 420+280+560=1260
kn k1 kn k2 kn N ... k1 k2 kn (k1 kn )! (k2 kn )! kn ! ... k1 ! (k2 kn )! k2 ! (k3 kn )! kn ! 0! (k1 kn )! k1 k2 k1 ! k2 ! ... kn ! k1 k2 kn kn
例3.3.2 我们再看例3.2.3，如其余条件不 变，只是允许字母随意重复，那么能构成多 少个这样的单词？ 解 因为一共有5个元音字母，每个单词至 少含有3个元音字母即包含3个，4个或者5 个元音字母。则分三种情况，
有3个元音字母的单词有
8 3 5 5 21 3
定理3.3.2 多重集M {k1 a1 , k 2 a2 ,..., k n an } （k1 k 2 ... k n） ! 的全排列数为 k1!k 2 !... k n !
证明 首先把M中所有的 k1 k2 kn 个元素看成是互不相同的，则全排列数 为 k1 k2 kn !。但ki个ai的位置相同， 且其他元素排列也相同的排列实质上是 同一个排列。 故M的全排列数为
（k1 k 2 ... k n） ! k1!k 2 !... k n !
证明（二） M的一个排列就是它的 (k1+k2+…+kn)个元素的一个全排列。因为M中 有k1个a1，在排列时要占据k1个位置，这些位置 的选法是C(k1+k2+…+kn, k1)种。接下去，我们 在剩下的k2+…+kn个位置中选择k2个放a2，选法 是C(k2+…+kn,k2)种。通过类似的分析可以得到， 我们有C(k3+…+kn,k3)种方法放a3,…，有 C(ki+…+kn,ki)种方法放ai. 根据乘法原则，M的排列数
x1 , x2 ,, xn 是非负整数，则有 x1 x2 xn r 反之，若给出方程 x1 x2 xn r 的非负整数解 x1 , x2 ,, xn x1 a1 , x2 a2 , , xn an 就是M的一个r-组合。 所以多重集M的r-组合数就等于方程
2!2!13!13!
*
•满足条件的方法数为 4
10! 10! 6 226800 2!2!2!4! 2!2!3!3!
§3.3.2 多重集的组合
• 多重集合的r-组合是指从M中无序地选出 r个元素
例子 M {2 a ,2 b,2 c},
M的2 组合有6个： {a, a},{a, b},{b, b},{a, c},{b, c},{c, c}
1 k1 k 2 k3 k r n r 1
显然 { j1 , j2 ,, jr } 与 {k1 , k 2 ,, , k r } 一一对应， 而 {k1 , k 2 ,, , k r } 是(n+r-1)元集合的r-组合，其数量 为 ，从而原结论成立.
n r 1 r
1 1 … 1 1 0 1 1 … 10 …01 1 1 … 011…11， x 1个 x2个 xn个
• 因此 x1 x2 xn r的非负整数解与 集合的全排列之间是一一对应。 • 由(1)(2)知，M的r-组合数等于 (n 1) 0, r 1 的全排列数，多重集M的r组合数为 n r 1
1 2 n
n 1
i
i
1
2
n
1
2
n
n (r n) 1 (r n) (n 1) r 1 r n r n n 1 .
例3.3.5 求集合S={1,2,…,n}的r-组合数，其 中要求r-组合中任意两个元素在S中都不是 相邻的。 如当n=8，r=3时，S={1,2,3,4,5,6,7,8}， {1,3,8}是满足条件的3-组合，而{1,2,6}是不 满足条件的3-组合，因为1,2在S中是相邻 的。 解 考虑S的任意一个r-组合 { j1 , j2 ,, jr } ， 不妨设 1 j1 j2 jr n 我们把1,2,…,n这 n个数按从小到大的顺序排成一个序列， 其中我们把标识出来，其余数字用“……” 表示。
M {2 a}的10-排列数; M * {2 b}的 （一） * M 10-排列数； {2 c}的10-排列数： M * {2 d } 的10-排列数， 10! 这4种类情况的10-排列数相等，均为 2!2!2!4!
*
（二）M {a, b} 的10-排列数; M * {a, c}的 * M 10-排列数； {a, d }的10-排列数： M * {b, c} * * M { b , d } M 的10-排列数； 10-排列数； {c, d } 的10-排列数 这6种类情况的10-排列数相等，均为 10!
ki是正整数，也可以是∞，表示M中有无限多个ai
例子
M a, a, a, b, c, c, d , d , d , d
• 是一个10个元素的多重集合， • 其中有3个a，1个b，2个c，4个d. • M表示为
M 3 a,1 b, 2 c, 4 d
定理3.3.1 多重集合 M { a1 , a2 ,..., an } 的r-排列数是nr 证明 在构造M的一个r-排列时， 第一个元素 有n种选择， 第二个元素 有n种选择， ……， 第r个元素 有n种选择。 (由于M中的每个元素都是无限次地重复， 所以r-排列中的任意一项都有n种选择，而 且不依赖于前面各项的选择) 故M的r-排列数为nr
定理3.3.4 设多重集 M { a1 , a2 ,..., an } r≥n，则M中每个元素至少取一个的r-组 r 1 合数为 证明 设 x1 a1 , x2 a2 ,, xn an 是满足条件的任一 r-组合，则有 x x x r, xi 1(i 1,2,, n). 令 y x 1(1 i n), 则 y y y r n, yi 0(i 1,2,, n). 显然 x x x r, 其中的整数解个数等于方 程 y1 y2 yn r n的非负整数解的个数。 由定理3.3.3，满足定理条件的组合数为