临床试验相关统计知识教材 第二讲.ppt
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G n X1X2 Xn
上式计算时需作连乘，还要开n次方，比较麻烦，一 般采用对数形式计算。
lg
G
lg x1
x2
x3
xn
1 n
1 n
lg
x1
lg
x2
lg
x3
lg
xn
1 lg x
n
G lg 1 lg x n
14
4～
22
8～
29
12～
18
16～
15
20～
6
24～
1
28～
2
累计频数ΣfL 14 36 65 83 98 104 105 107
累计频率(%) 13.1 33.6 60.7 77.6 91.6 97.1 98.1
100.0
结果：
百分位数
百分位数是一种位置指标，用PX表示。
百分位数是一个有序数列百等分的分割值。第50 百分位数(P50)也就是中位数，中位数是一个特 定的百分位数。
第十四章
数值变量 的统计描述
要求：
掌握★★★★
– 1．描述数值变量资料集中趋势常用指标（均数、 几何均数、中位数）的计算及适用条件。
– 2．描述数值变量资料离散趋势常用指标（极差、 四分位间距、方差、标准差、变异系数）的计算及 适用条件。
– 3.参考值范围的估计
熟悉★★★ 1. 频数分布表的编制方法 2.正态分布的概念、特征
组中值 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
频数 2 6 11 25 32 27 17 13 4 2 1
频率（％） 1.4 4.3 7.9 17.9 22.9 19.3 12.1 9.3 2.9 1.4 0.7
直方图
35 频 数 30
第一节 频数分布(frequency distribution)
目的：了解数值变量的分布。
连续型数值变量资料频数分布
频数表(frequency table)的编制：
–求极差(range)：R＝Max-Min –确定组段数、组距和组段
组段数(k)：通常10-15个。 组距(i)：相邻两组段的最小值（下限）之差，
25
20
15
10
5
0 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
频数分布表的用途
陈述资料 观察分布类型 发现可疑值 估计概率（样本较大时）
频数分布的两个特征：35 30
频数分布的类型
25
20
– 对称分布
15
– 偏态分布
10
正偏态： 负偏态：
5
0 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
40
30
20
10
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
离散型数值变量资料频数分布
例：1998年某山区96名孕妇产前检查次 数资料如下： 0，3，2，0，5，6，3……4，7。
X X 125.5 126 ... 122.5 140 132.1
n
10
–加权法：当样本含量n较大时，一般将观察 值分组，列出频数表，再用加权法计算均数。 其计算公式为：
X f1X1 f2X2 ...... fmXm
fX
f1 f2 ...... fm
n2
n
例.对甲组和乙组数据的标准差
数据计算标准差
甲组：n=5，
ΣX＝98+99+100+101+102 =500
50010 5002
S甲
5 1.58 51
ΣX2＝ 982+992+1002+1012+1022
M X n1 X3 6 天 2
若上例在第25天又发现一例患者，患者数
增加为6名
M
X
n 2
X
n 2
1
2
67 2
6.5
–频数表法：样本含量n较大时计算中位数可 用频数表法。将观察资料归纳成频数表，计 算累计频数，按下式计算。
例题：
三、方差与标准差
为克服全距的缺点，应全面考虑组内每 个观察值的离散情况。可考虑以总体中 每个变量值X与总体平均数之差，称为离 均差X-。由于离均差有正有负，其和为 0，这样仍不能反映变异度的大小。故将 离均差平方后再相加，称离均差平方和
(X )2
n
x x x x i 1
二、四分位间距
四分位间距是两个特定的百分位数之差， 用Q表示
Q＝QU－QL 适用于任何分布的计量资料，尤其适用于
偏态分布的资料(不宜用标准差表示离散 度) 四分位间距比全距稳定，但仍然未考虑到 每个观察值的变异。
小样本四分位间距的计算
Q＝ QU －QL QU =(n+1)*3/4 QL =(n+1)*1/4
2.000 2.301 2.602 2.903 3.204
flgX (5)＝(2)(4)
14.000 43.719 88.468 84.187 41.652 272.026
G
lg
1
f
lg f
X
lg
1
272.026 102
464
三、中位数
将一组观察值从小到大按顺序排列，位次 居中的观察值就称中位数。用M表示。
15.39
第三章 离散趋势
两组计量数据如下，分析其分布特征。
甲组：98，99，100，101，102
X1 100
乙组：80，90，100，110，120
X 2 100
丙组：80，98，100，102，120
X 3 100
三组数据的均数都是100，说明集中趋势相同。 但三组数据的分布特征不尽相同，5个数据间的 参差不齐的程度不一样。甲组数据的变化范围较 小，而乙、丙组数据的变化范围较大，乙、丙组 数据间隔不同，即三组的离散度不同；离散度是 一个非常重要的统计指标。
fX(4)＝(2)(3) 248 896 1188 2856 3920 2448 1332 760 156 160
13964（∑fX）
表1-1中第3列为组中值X，计算方法是将本 组下限和下组下限相加除以2，如第一组 X1=(122+126)/2=124，余此类推。第4列fX 是频数f和组中值X的乘积。
G
lg
1
f lg X f
102名健康人的钩端螺旋体血清抗体平均滴度
抗体滴度 （1）
1︰100 1︰200 1︰400 1︰800 1︰1600 合计
人数f （2）
7 19 34 29 13 102
滴度倒数X （3）
100 200 400 800 1600
lgX （ 4）
S (X X)2 n1
上式n-1称为自由度。 样本标准差计算也可用直接法或加权法。n较小时，选择 直接法，n较大，选择加权法
直接法：由于
(X
X)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X2
X2
n
标准差的计算公式可改写为：
S
X2
X2
n
n1
x x 2 x2 2xx x 2
一般用等距。 i=R /k，一般取整取偶数。 组段：界限分明，每个组段的起点称下限，终点
称上限。最末一行应同时写出下限和上限。
–列表划记：得到各组段的观察单位数。
某地140名正常男子红细胞数频数表
红细胞数 3.80～ 4.00 ～ 4.20 ～ 4.40 ～ 4.60 ～ 4.80 ～ 5.00 ～ 5.20 ～ 5.40 ～ 5.60 ～ 5.80～6.00
中位数适用于任何一种分布的计量数据， 一般多用于描述偏态分布或数据一端无界 资料的集中趋势。
计算方法
– 直接法：样本含量n较小时，可根据下式计算：
M X n1 2
M
X
n 2
X
n 2
1
2
n为奇数时
n为偶数时
某病患者5人潜伏期分别为2，4，6，7， 20，求中位数。本例n=5，为奇数
x2 2xx x 2 x2 2x x nx 2
x2 2x n x nx 2 n
x2 2nx x nx 2 x2 2nx 2 nx 2
x2
nx 2
x2
n
x
2
n
x2 n x2 x2 x2
M
L
i f
n 2
fL
L为本组(中位数所在组)下限，i为本组组距，f为本组 频数，ΣfL为上一组的累计频数。本组位置可根据累计 频数的数值来判断。当某一组的累计频数首先超过n/2 时或累计频率首先超过50%时，即定为本组。
107名正常人尿铅含量分布
尿铅(mg/l) 例数f
0～
X
fX f
13964 100
139.64
100名12岁男孩的身高均数为139.64cm。
二、几何均数
几何均数用G表示。适用于对数正态分布资料或 等比资料，例如抗体的平均滴度和平均效价。
计算方法：
–直接法：样本含量n较小时，选用此法。有n个观察值 X1， X2，……Xn，几何均数的计算公式为：
计算方法
–直接法：当样本含量n较小时，可选用此法。 设有n个观察值，分别为X1，X2 ……，Xn， 均数的计算公式为：
X X1 X 2 ...... X n X
n
n
例 1.10名12岁男孩身高(cm)分别为125.5，126.0， 127.0，128.5，147.0，131.0，132.0， 141.5.122.5，140.0。求平均数。
N
(X )2 N
实际工作中经常得到的是样本资料，总体均数是未 知的，只能用样本均数X代替。这样用 (X X)2 代
替 (X )2 ，用样本含量n代替N，所得的结果比σ
偏小。英国统计学家W.S.Gosset提出用n-1代替n， 求得样本标准差更接近总体标准差σ，样本标准差 用S表示，公式为：
计算公式：
PX
L
i fX
n x%
fL
对例1-6资料计算P25，P75。 求P25，由第4栏可见，第2组的累计频率超25％， 该组即P25所在组。
P25
4
4 22
107 25% 14
6.32
求P75，同理P75在第4 组段内
P75
12
4 18
107 75% 65
一、全距
亦称极差，用R表示，是一组观察值中最大值 与最小值之差，反映个体差异的范围。全距大， 说明变异度大；反之，说明变异度小。如例18中甲组全距为4，乙组全距为40，表明乙组变 异度大。 但全距除了最大值和最小值之外，不能反映组 内其它数据的变异度；易受个别数据的影响， 稳定性较差，抽样误差较大，而且还受n大小 的影响，平均起来，n越大，全距越大。
x nx n x nx
n nx nx 0
为了消除观察值的总个数 N的影响，将离均差平方 和 除以N，这就是总体方 差，用σ2表示。
方差的单位是原度量单位 (如kg)的平方，把总体方 差开 平方，这就是总体 标准差，度量单位与原始 观察值一致，即
2 (X )2
例.6份血清抗体滴度为：
1:2，1:4，1:8，1:8，1:16，1:32， 求平均数。
G
log
1 2
(
log
2
2
log
2
4
log
2
8
log 6
2
8
log
2
16
log
2
16
)
log
1 2
(1
2
3
6
3
4
5
)
log
1 2
3
8
几何平均滴度为1:8
– 加权法：
第二节 集中趋势
集中趋势指标用于描述一组同质计量 资料的集中趋势或反映一组观察值的平均 水平。常用的平均数有算术均数、几何均 数及中位数三种。
一、算术均数
算术均数简称平均数或均数：说明一组观察值 的集中位置或平均水平。
X表示变量X的样本均数，(希腊字母)表示总 体均数。
均数适用于对称分布资料，正态或近似正态分 布资料。
f
式中f为各组的频数，x为各组的组中值。
某地100名12岁男孩身高均数的计算(加权法)
身高组段(1)
122～
126 ～
130～
134～
138～
142～
146～
150～
154～
158～ 162
合
计
频数f(2) 2 7 9 21 28 17 9 5 1 1
100∑f）
组中值X(3) 124 128 132 136 140 144 148 152 156 160
上式计算时需作连乘，还要开n次方，比较麻烦，一 般采用对数形式计算。
lg
G
lg x1
x2
x3
xn
1 n
1 n
lg
x1
lg
x2
lg
x3
lg
xn
1 lg x
n
G lg 1 lg x n
14
4～
22
8～
29
12～
18
16～
15
20～
6
24～
1
28～
2
累计频数ΣfL 14 36 65 83 98 104 105 107
累计频率(%) 13.1 33.6 60.7 77.6 91.6 97.1 98.1
100.0
结果：
百分位数
百分位数是一种位置指标，用PX表示。
百分位数是一个有序数列百等分的分割值。第50 百分位数(P50)也就是中位数，中位数是一个特 定的百分位数。
第十四章
数值变量 的统计描述
要求：
掌握★★★★
– 1．描述数值变量资料集中趋势常用指标（均数、 几何均数、中位数）的计算及适用条件。
– 2．描述数值变量资料离散趋势常用指标（极差、 四分位间距、方差、标准差、变异系数）的计算及 适用条件。
– 3.参考值范围的估计
熟悉★★★ 1. 频数分布表的编制方法 2.正态分布的概念、特征
组中值 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
频数 2 6 11 25 32 27 17 13 4 2 1
频率（％） 1.4 4.3 7.9 17.9 22.9 19.3 12.1 9.3 2.9 1.4 0.7
直方图
35 频 数 30
第一节 频数分布(frequency distribution)
目的：了解数值变量的分布。
连续型数值变量资料频数分布
频数表(frequency table)的编制：
–求极差(range)：R＝Max-Min –确定组段数、组距和组段
组段数(k)：通常10-15个。 组距(i)：相邻两组段的最小值（下限）之差，
25
20
15
10
5
0 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
频数分布表的用途
陈述资料 观察分布类型 发现可疑值 估计概率（样本较大时）
频数分布的两个特征：35 30
频数分布的类型
25
20
– 对称分布
15
– 偏态分布
10
正偏态： 负偏态：
5
0 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
40
30
20
10
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
离散型数值变量资料频数分布
例：1998年某山区96名孕妇产前检查次 数资料如下： 0，3，2，0，5，6，3……4，7。
X X 125.5 126 ... 122.5 140 132.1
n
10
–加权法：当样本含量n较大时，一般将观察 值分组，列出频数表，再用加权法计算均数。 其计算公式为：
X f1X1 f2X2 ...... fmXm
fX
f1 f2 ...... fm
n2
n
例.对甲组和乙组数据的标准差
数据计算标准差
甲组：n=5，
ΣX＝98+99+100+101+102 =500
50010 5002
S甲
5 1.58 51
ΣX2＝ 982+992+1002+1012+1022
M X n1 X3 6 天 2
若上例在第25天又发现一例患者，患者数
增加为6名
M
X
n 2
X
n 2
1
2
67 2
6.5
–频数表法：样本含量n较大时计算中位数可 用频数表法。将观察资料归纳成频数表，计 算累计频数，按下式计算。
例题：
三、方差与标准差
为克服全距的缺点，应全面考虑组内每 个观察值的离散情况。可考虑以总体中 每个变量值X与总体平均数之差，称为离 均差X-。由于离均差有正有负，其和为 0，这样仍不能反映变异度的大小。故将 离均差平方后再相加，称离均差平方和
(X )2
n
x x x x i 1
二、四分位间距
四分位间距是两个特定的百分位数之差， 用Q表示
Q＝QU－QL 适用于任何分布的计量资料，尤其适用于
偏态分布的资料(不宜用标准差表示离散 度) 四分位间距比全距稳定，但仍然未考虑到 每个观察值的变异。
小样本四分位间距的计算
Q＝ QU －QL QU =(n+1)*3/4 QL =(n+1)*1/4
2.000 2.301 2.602 2.903 3.204
flgX (5)＝(2)(4)
14.000 43.719 88.468 84.187 41.652 272.026
G
lg
1
f
lg f
X
lg
1
272.026 102
464
三、中位数
将一组观察值从小到大按顺序排列，位次 居中的观察值就称中位数。用M表示。
15.39
第三章 离散趋势
两组计量数据如下，分析其分布特征。
甲组：98，99，100，101，102
X1 100
乙组：80，90，100，110，120
X 2 100
丙组：80，98，100，102，120
X 3 100
三组数据的均数都是100，说明集中趋势相同。 但三组数据的分布特征不尽相同，5个数据间的 参差不齐的程度不一样。甲组数据的变化范围较 小，而乙、丙组数据的变化范围较大，乙、丙组 数据间隔不同，即三组的离散度不同；离散度是 一个非常重要的统计指标。
fX(4)＝(2)(3) 248 896 1188 2856 3920 2448 1332 760 156 160
13964（∑fX）
表1-1中第3列为组中值X，计算方法是将本 组下限和下组下限相加除以2，如第一组 X1=(122+126)/2=124，余此类推。第4列fX 是频数f和组中值X的乘积。
G
lg
1
f lg X f
102名健康人的钩端螺旋体血清抗体平均滴度
抗体滴度 （1）
1︰100 1︰200 1︰400 1︰800 1︰1600 合计
人数f （2）
7 19 34 29 13 102
滴度倒数X （3）
100 200 400 800 1600
lgX （ 4）
S (X X)2 n1
上式n-1称为自由度。 样本标准差计算也可用直接法或加权法。n较小时，选择 直接法，n较大，选择加权法
直接法：由于
(X
X)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X2
X2
n
标准差的计算公式可改写为：
S
X2
X2
n
n1
x x 2 x2 2xx x 2
一般用等距。 i=R /k，一般取整取偶数。 组段：界限分明，每个组段的起点称下限，终点
称上限。最末一行应同时写出下限和上限。
–列表划记：得到各组段的观察单位数。
某地140名正常男子红细胞数频数表
红细胞数 3.80～ 4.00 ～ 4.20 ～ 4.40 ～ 4.60 ～ 4.80 ～ 5.00 ～ 5.20 ～ 5.40 ～ 5.60 ～ 5.80～6.00
中位数适用于任何一种分布的计量数据， 一般多用于描述偏态分布或数据一端无界 资料的集中趋势。
计算方法
– 直接法：样本含量n较小时，可根据下式计算：
M X n1 2
M
X
n 2
X
n 2
1
2
n为奇数时
n为偶数时
某病患者5人潜伏期分别为2，4，6，7， 20，求中位数。本例n=5，为奇数
x2 2xx x 2 x2 2x x nx 2
x2 2x n x nx 2 n
x2 2nx x nx 2 x2 2nx 2 nx 2
x2
nx 2
x2
n
x
2
n
x2 n x2 x2 x2
M
L
i f
n 2
fL
L为本组(中位数所在组)下限，i为本组组距，f为本组 频数，ΣfL为上一组的累计频数。本组位置可根据累计 频数的数值来判断。当某一组的累计频数首先超过n/2 时或累计频率首先超过50%时，即定为本组。
107名正常人尿铅含量分布
尿铅(mg/l) 例数f
0～
X
fX f
13964 100
139.64
100名12岁男孩的身高均数为139.64cm。
二、几何均数
几何均数用G表示。适用于对数正态分布资料或 等比资料，例如抗体的平均滴度和平均效价。
计算方法：
–直接法：样本含量n较小时，选用此法。有n个观察值 X1， X2，……Xn，几何均数的计算公式为：
计算方法
–直接法：当样本含量n较小时，可选用此法。 设有n个观察值，分别为X1，X2 ……，Xn， 均数的计算公式为：
X X1 X 2 ...... X n X
n
n
例 1.10名12岁男孩身高(cm)分别为125.5，126.0， 127.0，128.5，147.0，131.0，132.0， 141.5.122.5，140.0。求平均数。
N
(X )2 N
实际工作中经常得到的是样本资料，总体均数是未 知的，只能用样本均数X代替。这样用 (X X)2 代
替 (X )2 ，用样本含量n代替N，所得的结果比σ
偏小。英国统计学家W.S.Gosset提出用n-1代替n， 求得样本标准差更接近总体标准差σ，样本标准差 用S表示，公式为：
计算公式：
PX
L
i fX
n x%
fL
对例1-6资料计算P25，P75。 求P25，由第4栏可见，第2组的累计频率超25％， 该组即P25所在组。
P25
4
4 22
107 25% 14
6.32
求P75，同理P75在第4 组段内
P75
12
4 18
107 75% 65
一、全距
亦称极差，用R表示，是一组观察值中最大值 与最小值之差，反映个体差异的范围。全距大， 说明变异度大；反之，说明变异度小。如例18中甲组全距为4，乙组全距为40，表明乙组变 异度大。 但全距除了最大值和最小值之外，不能反映组 内其它数据的变异度；易受个别数据的影响， 稳定性较差，抽样误差较大，而且还受n大小 的影响，平均起来，n越大，全距越大。
x nx n x nx
n nx nx 0
为了消除观察值的总个数 N的影响，将离均差平方 和 除以N，这就是总体方 差，用σ2表示。
方差的单位是原度量单位 (如kg)的平方，把总体方 差开 平方，这就是总体 标准差，度量单位与原始 观察值一致，即
2 (X )2
例.6份血清抗体滴度为：
1:2，1:4，1:8，1:8，1:16，1:32， 求平均数。
G
log
1 2
(
log
2
2
log
2
4
log
2
8
log 6
2
8
log
2
16
log
2
16
)
log
1 2
(1
2
3
6
3
4
5
)
log
1 2
3
8
几何平均滴度为1:8
– 加权法：
第二节 集中趋势
集中趋势指标用于描述一组同质计量 资料的集中趋势或反映一组观察值的平均 水平。常用的平均数有算术均数、几何均 数及中位数三种。
一、算术均数
算术均数简称平均数或均数：说明一组观察值 的集中位置或平均水平。
X表示变量X的样本均数，(希腊字母)表示总 体均数。
均数适用于对称分布资料，正态或近似正态分 布资料。
f
式中f为各组的频数，x为各组的组中值。
某地100名12岁男孩身高均数的计算(加权法)
身高组段(1)
122～
126 ～
130～
134～
138～
142～
146～
150～
154～
158～ 162
合
计
频数f(2) 2 7 9 21 28 17 9 5 1 1
100∑f）
组中值X(3) 124 128 132 136 140 144 148 152 156 160