高二数学下学期第一次质检考试试题

平阳二中2021-2021学年第二学期质检考试
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
高二数学
一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．)
1．向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，假设a 与b 一共线，那么〔 〕 A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12 C ．x ＝16，y ＝－32 D ．x ＝－16，y ＝2
3
2.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，那么以下向量中与M B 1相等的向量是〔 〕 A.－
21a +21b +c B.21a +2
1
b +
c C.
21a －21b +c D.－21a －2
1b +c 3．设1ln )(2
+=x x f ，那么=)2('f 〔 〕
A ．
54 B ．52 C ．51 D ．5
3
4．假设a ，b 均为非零向量，那么a ·b ＝|a ||b |是a 与b 一共线的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5、对于实数c b a ,,有以下命题：〔 〕
①假设b a >，那么bc ac >； ②假设2
2bc ac >，那么b a >； ③假设2
2
0b ab a b a >><<，则； ④假设001
1
<>>
>b a b
a b a ，，则，。

其中真命题的个数是
A 、1
B 、2
C 、3 C 、4
()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，那么导函数()y f x '=可能为〔 〕
7．假设函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2
－f ′(2)x ＋3，那么f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角
为( )
A.
π4 B.π3 C.2π3 D.3π
4
8. △ABC 的三个顶点A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，那么BC 边上的中线长为( )
A ．2
B ．3 C.647 D.657
9 . 假设函数)1,1(12)(3
+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，那么实数k 的取值范围〔 〕 A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或
C ．22<<-k
D ．不存在这样的实数k
10．二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有
()0f x ≥，那么
(1)
'(0)
f f 的最小值为〔 〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．32
二 填空题(本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分．)
11．命题“假设m>0，那么x 2
＋x －m=0有实根〞的逆否命题是__________．
12．a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2
)，且a 与b 的夹角为钝角，那么实数x 的取值范围是________． 13．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为__________．
14．函数f 〔x 〕＝x ＋2cos x 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡π2,0上的最大值为______;
15．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，那么异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ．
16．函数f (x )＝x 3
－3ax 2
＋3x ＋1.设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，那么a 的取值范围是________．
三 解答题(本大题一一共4小题，一共46分．)
17．〔本小题满分是10分〕如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，
PA ⊥平面ABCD ， PA=AB=2,60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．
〔1〕证明：AE PD ⊥；
〔2〕求二面角E AF C --的余弦值．
18.〔本小题满分是12分〕函数f (x )＝x 3
－12x 2＋bx ＋c .
(1)假设f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；
(2)假设f (x )在x ＝1处获得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2
恒成立，求c 的取值范围．
P
B
E
C
D
F
A
19．〔本小题满分是12分〕如图，在四棱锥S­ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥
底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.M 是棱SB 的中点． (1)求证：AM ∥平面SCD ；
(2)设点N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值．
20 〔本小题满分是12分〕函数f(x)＝(a －12
)x 2
＋lnx (a∈R)．
(1)当a ＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；
(2)假设在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．
平阳二中2021学年第二学期质检考试(答案)
高二数学
一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．)
CABAC DDBBC
二填空题(本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分．)
1
11．假设x2＋x－m=0无实根，那么 m≤0 12. x<－4. 13． 9
5
14． 15． 16． 3
17．〔10分〕如图，四棱锥，底面为菱形，
平面，PA=AB=2,，分别是的中点．
〔1〕证明：；
〔2〕求二面角的余弦值．
17.〔1〕证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，
所以．
(2)由〔1〕知两两垂直，以为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以
，
，
所以．
设平面的一法向量为，
那么因此
取，那么，
因为，，，所以平面，
故为平面的一法向量．
又，所以．
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
18. (12分)函数f (x )＝x 3
－21x 2＋bx ＋c .
(1)假设f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；
(2)假设f (x )在x ＝1处获得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2
恒成立，求c 的取值范围．
解析：(1)f ′(x )＝3x 2
－x ＋b ，因f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，那么f ′(x )≥0，即3x 2
－x ＋b ≥0，
∴b ≥x －3x 2
在(－∞，＋∞)恒成立．
设g (x )＝x －3x 2
，当x ＝61时，g (x )max ＝121，∴b ≥121
.
(2)由题意，知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2.
x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．因f ′(x )
＝3x 2
－x －2，
令f ′(x )＝0，得x ＝1，或者x ＝－32
.
∵f (1)＝－23＋c ，f (－32)＝2722＋c ，f (－1)＝21
＋c ，f (2)＝2＋c ， ∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，
∴2＋c ＜c 2
，解得c ＞2，或者c ＜－1，
所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
19．(12分)．如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.M 是棱SB 的中点．
(1)求证：AM ∥平面SCD ；
(2) 设点N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值．
解：〔Ⅰ〕以点A 为原点建立如下图的空间直角坐标系，那么
，
，
，
，
，
.
那么
.
设平面SCD 的法向量是
那么
即
令
，那么
，于是.
，
.
AM ∥平面SCD . …………………………………………………
〔Ⅱ〕设
，那么
.
又，面SAB 的法向量为
，
所以，.
.
当，即时，.………………………………………………
20 (12分)函数f(x)＝(a －21)x 2
＋ln x(a ∈R)．
(1)当a ＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；
(2)假设在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝21x 2＋ln x ，f ′(x )＝x ＋x 1＝x x2＋1. 对于x ∈[1，e]有f ′(x )＞0， ∴f (x )在区间[1，e]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝1＋2e2，f (x )min ＝f (1)＝21
. (2)令g (x )＝f (x )－2ax ＝(a －21)x 2
－2ax ＋ln x ， 那么g (x )的定义域为(0，＋∞)．
在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方等价于g (x )＜0在区间(1，＋∞)上恒成立．
∵g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋x 1
＝x 2a －1x2－2ax ＋1 ＝x 2a －1x －1]，
①假设a ＞21，令g ′(x )＝0，得极值点x 1＝1，x 2＝2a －11
， 当x 2＞x 1＝1，即21
＜a ＜1时，在(x 2，＋∞)上有g ′(x )＞0，
此时g (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g (x )∈(g (x 2)，＋∞)，不符合题意；
当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g (x )在区间(1，＋∞)上，有g (x )∈(g (1)，＋∞)，也不符合题意；
②假设a ≤21
，那么有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．
要使g (x )＜0在此区间上恒成立，
只需满足g (1)＝－a －21≤0⇒a ≥－21
，。