山西晋中2019年高三第二次四校联考数学(理)试题

山西晋中 2019 年高三第二次四校联考数学（理）试题
〔总分值 150 分，考试时间 120 分〕
【一】选择题 (5 × 12＝ 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号 )
1、设全集 U ＝ R ，会合 A { x | 2 x 4}, B {3, 4}, 则A (C U B) ＝
A.(2,3)
B.(2,4]
C.(2,3) ∪ (3,4)
D.(2,3) ∪ (3,4]
2、复数
(1
i) 2 ＝ 1 i
A. 1 i
B. 1 i
C.
1 i
D. 1
i
3、等差数列
{ a n } 各项都不相等，
a 1
2且 a 4
a 8 a 3 2，则 d
A.0
B.
1
2
C.2
D.0或
1
2
4、阅读以下列图的程序框图，那么输出的
S ＝
A 、14
B 、 20
C 、 30
D 、 55 5、从 2,4 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字， 构成无重复数字的三位数，
此中奇数的个数为
A 、 6
B 、 12
C 、 18
D 、 24
6、设 F 1 , F 2 分别为双曲线
x 2 y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点，假定在 a
2
b
2
双曲线右支上存在一点 P ，知足 | PF 2 |
| F 1F 2 |, 且 F 2 到直线 PF 1 的距离等于双曲线的实轴长，那么双曲线离
心率为
A.
4
B.
5 C.
3
D.
5
5
4
5
3
7、向量 a, b 知足 | a |
1,| a b |
7 ，
a,b
，那么｜｜b ＝
3
A.2
B.3
C. 3
D.4
8、假定椭圆
x 2
y 2
1 过抛物线 y
2 8x 的焦点，且与双曲线 x 2 y 2
1有同样的焦点，那么该椭圆的方
程
a 2
+
b 2
为
A.
x 2 y 2 1 B.
x 2
2
x 2
y 2
2
y 2 1
+
2
3 +y 1 C.
+
1
D. x +
3
4
2
4
9、将函数 y
sin( x
6 )( x R) 的图象上全部的点向左平移
个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到
4
本来的 2 倍，那么所得的图象的分析式为
A. y
sin(2 x 5 )( x R) B. y
sin(
x
5
)(x
R)
12
2 12
C. y
sin( x
)( x R) D. y sin( x
5 )( x R)
2 12
2
24
10 、函数 y log 2 | x |
x
的图象大概是
y
y
y
y
A.B.C.D.
O
x
xOy
O
x O x
O
x -2 ≤ OM · OA ≤ 2 11 、在平面直角坐标系
中， O (0,0), A (1,-2), B (1,1), C (2,-1)
，动点 M ( x , y ) 知足条件 ，
1≤ OM · OB ≤2 那么
· OC 的最大值为
OM
12、定义域为 R 上的函数
f ( x)知足 f (2 x)
f (2 x),当 x
2时, f (x) 单一递加，若是
x 1
x 2 4,且 ( x 1 2 )( x 2
2) 0, 则 f ( x 1 )
f ( x 2 ) 的值
A 、可能为 0
B 、恒大于 0
C 、恒小于 0
D 、可正可负
【二】填空题 :( 本大题共 4 小题,每题 5
分 , 共 20 分 , 把答案填在答题卡的相应地点上
)
13 、那么
实数 k 的取值范围为、
14、在
x 2 (1 2x)
6
的睁开式中， x 5 的系数为、
15 、在△ 中，角 、 、 C 所对的边分别为
a 、 、 c .假定( 3 －
)cos ＝ cos ，那么 cos ＝ ________ 、
ABC
A B
b
b
c A a C A
16 、 f
x
是定义在
2,2 上的函数，且对随意实数
x 1 , x 2 (x 1
f (x 1)
f (x 2 )
x 2 ) ，恒有
x 1 x 2
0 ，且 f x 的最
大值为 1，那么知足
f lo
g 2 x
1的解集
为、
17、〔本小题总分值 10 分〕
函数 f (x)
3
sin 2x cos 2
x
1
, x R 、
2
2
( Ⅰ ) 求函数 f (x) 的对称轴方程和最小正周期；
( Ⅱ) 求函数
4 , 上的最大值和最小值、
4
18 、〔本小题总分值 12 分〕
数列 { a n } 的各项均为正数，前
n 项和为 S n ，且 S n a n ( a n 1) ( n
N * )
2
〔Ⅰ〕求数列
{ a n } 的通项公式；
〔Ⅱ〕设 b n
1 ,T n
b 1 b 2 ... b n ，求 T n 、
2S n
19 、〔本小题总分值 12 分〕
高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，第一小组与第二小组各有六位同学
. 每位同学都只选了一
个科目，第一小组选《数学运算》的有
1 人，选《数学解题思想与方法》的有
5 人，第二小组选《数学运算》
的有 2 人，选《数学解题思想与方法》的有 4 人，现从第【一】第二两小组各任选
2 人剖析选课状况 .
〔Ⅰ〕求选出的 4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；
〔Ⅱ〕设
为选出的 4 个人中选《数学运算》的人数，求
的散布列和数学希望、
20 、〔本小题总分值
12 分〕
1 a ln( x 1) 、
函数 f (x)
x
〔Ⅰ〕当 a 2 时，求 f ( x) 的单一区间和极值；
〔Ⅱ〕假定
f (x) 在 [2 ， 4] 上为增函数，务实数
a 的取值范围、
21 、〔本小题总分值 12 分〕
椭圆 C :
x 2
y 2
1( a b 0)
上的随意一点到它的两个焦点
F 1 ( c,0) ， F 2 (c,0) (c
0) 的距离之和为
a 2
b 2
2 2 ，且其焦距为 2 、〔Ⅰ〕
求椭圆 C 的方程；
〔Ⅱ〕直线
x y m 0 与椭圆 C 交于不一样的两点Ａ，Ｂ、问能否存在以Ａ，Ｂ为直径的圆过椭圆的右焦
点 F 2 、假定存在，求出
m 的值；不存在，说明原因、
22 、〔本小题总分值 12 分〕
函数 f x ln( e
x a )〔 a 为常数， e 是自然对数的底数〕 是实数集 R 上的奇函数， 函数 g (x)f ( x) sin x
( )
是区间 [ － 1， 1] 上的减函数、
〔Ⅰ〕求 a 的值；
〔Ⅱ〕假定
2
t 的取值范围；
g ( x)
tt 1
x [
1,1]
及 所在的取值范围上恒建立，求
在
〔Ⅲ〕试议论函数
h( x)
ln x x 2
ex m 的零点的个数、
f ( x)
2
2018 届高三年级第二次四校联考
数学参照答案〔理〕
【一】选择题 1、 C 2、 D 3、 B 4、 C 5、 D 6、 D 7、 A 8、 A 9、 B 10、A 11、C 12、C
13. ［1，3］
14.-160
15 、
16 、
3
3
1
, 4
4
17. 解 ( Ⅰ ) f ( x)
3
sin 2x 1 cos2x 1 sin(2x ) 1〔3 分〕
2 2
2
6
那么 f ( x) 的 称 是 x
， k ∈ Z, 最小正周期是是
2
2T
3
2
( Ⅱ〕 x
,
2x
2 , 〔8 分〕
4
4 6
3
3
.〔5分〕
sin(2 x
) 1,
3 ，所以最大 3
1，最小 -2.
〔10分〕
2
6
2
18. 解：〔Ⅰ〕∵ S n
a n (a n 1) ，∴ 2S n a n 2 a n ①
2
2S n 1 a n 1
2
a
n 1
(a 2) ②
由①－②得：
2a n
a n 2
a n 1
2
a n a n 1 (2 分 ) (a n a n 1 )( a n
a
n 1
1) 0 ，∵ a n 0
∴
a n
a
n 1
1
(n
2) ，又∵ a 1 a 1 (a 1 1) ，∴ a 1 1
S 1 2
∴ a n a 1 ( n 1)d n (n 2) ---------------(5
分 )
当 n
1 ， a 1
1，切合 意 . a n n ----------
〔6 分〕
〔Ⅱ〕∵ S n a n (a n 1) n(n 1)
1 1 1
----- 〔 10 分〕
2
2
∴ b n
n(n 1)
n n 1
那么 T n
1 1
1 1 1 1 1
1
1
n ---------(12 分 )
2
2 3
n n 1
n n
1
19、解：〔Ⅰ〕 “从第一小 出的
2 人 《数学解 思想与方法》
” 事件 A ，“从第二小 出的
2 人
《数学解 思想与方法》 ” 事件 B. 因为事件 A 、B 互相独立，
且 p( A)
C 52
2 , P(B) C 42
2
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
2
32
5
C 6
C 6
所以 出的
4 人均考《数学解 思想与方法》的概率
P(A B)
P( A) P( B)
2 2
4
6 分
3
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
15
〔Ⅱ〕 可能的取 0,1,2,3.
得
P(
0)
4
,
15
P( 1)
C 52 C 21 C 41 C 51 C 42 22
C 62
C 62
C 62 C 62
,
45
p( 3)
c 51
1
1
2 .
2
45
c 6 c 6
p(
2) 1
p( 0) p(
1)
p(
3)
2
⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
9
的散布列
1
2
3
P
4
22
2
1
45
9
45
15
∴ 的数学希望
E
0 4
1 22
2 2 3
1 1⋯⋯⋯ 1
2 分
15
45 9 45
20. 解：〔 1〕由 x 0且 x 1 0得函数 f ( x)的定义域为 ( 1,0) (0, ) ，〔 2 分〕 又 f ( x)
1
1 2x
2 x 1 ( x 1)(2 x 1) ，由 f ( x) >0 得
x 2
x 1
x 2 ( x 1) x 2 ( x 1)
，
所以 f ( x) 的 增区
( 1, 1)和(1, ) ， 减区 (
1
，0)和(0，1) . 〔 4 分〕
2
2
f ( x) 和 f ( x) 随 x 的 化状况以下表：
x
(1,1
)
1
( 1
,0) 〔0，1〕
1
(1, )
2
2
2
f ( x) + 0 －
－ 0 +
f ( x)
极大
极小
由表知 f ( x) 的极大 极小 f (1) 1 2ln 2 .-- 〔 6 分〕
〔Ⅱ〕
f (x)
ax 2 x 1
，假 f ( x) 在区 [2 ， 4] 上 增函数，那么当 x [2,4] ，
x 2 ( x
1)
ax 2 x 1 ，
〔 8
f (x) 0 恒建立，即
2 ( x
0 x 1)
分〕
21、解：〔Ⅰ〕依题意可知 2a 2
2
2c 2
又∵ b
2
a 2 c 2 ，解得
a 2
——————————————————〔
2 分〕
b 1
那么椭圆方程为
x 2 y 2
1、—————————————————————〔
4 分〕
2
x 2
y 2
1,
消去 y 整理得： 3x 2
4mx 2m 2
2 0〔6分〕
〔Ⅱ〕联立方程
2
x y m 0,
那么
16 m 2 12(2 2 2)
8(
m 2
3)
m
解得
3 m
3 ①————————————————————〔 7 分〕
2
7
解得 m
—〔 11 分〕
3
查验都知足①，
m
2
7
3
〔 12 分〕
22. 解：〔Ⅰ〕 f (x)
ln( e x a) 是奇函数，那么 ln( e x
a)
ln( e x a) 恒建立、
∴ (e x a)(e x a) 1. 即 1 ae x
ae x
a 2
1,
∴ a(e x e x
a) 0, a
0. ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
〔Ⅱ〕由〔 I 〕知 f ( x)
x, ∴ g( x)
x sin x ∴ g ' (x)
cos x
又 g (x) 在 [ － 1， 1] 上 减，
g (x) 0 在 [ － 1， 1] 上恒建立。

∴
cosx x
[ －1，1] 恒建立， [-cosx] min
=-1, ∴
1 ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
∵
g( x) t 2 t 1 在 x
[ 1,1] 上恒建立 , 即 g( x) max t 2
t 1⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
g( x) max
g ( 1) =
sin1
∴
sin1 t 2
t 1, 即 (t 1) t 2
sin1 1 0
1 恒建立
令 h(
)
(t
1)
t
2
sin1
1( 1), 那么
t 1 0
⋯⋯⋯⋯ 8 分
t 1 t 2
sin1
1
0,
t
1
， 而t
2
t sin1
恒建立 , t
1
∴
t
sin1 、⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
t 2
〔Ⅲ〕由〔 I
〕知 f ( x)
x, 函数为 h( x) ln x x 2 2ex m,
ln x
x ln x
∴ 函数 h(x) x 2 ex m 的零点的个数 , 即 方程 x 2
2ex m 根的
x 2
x
个数。

令 f 1 (x)
ln x
, f 2 ( x)
x 2 2ex m ，
f 1 ( x) 1 ln x ，
x
x 2 当 x (0, e)时, f 1 ( x) 0,
f 1 ( x)在 (0, e) 上 增函数；
当 x (e,
)时 , f 1 ( x) 0, f 1 ( x)在( e,
) 上 减函数，
∴当 x
e ，
f 1 ( x) max
f 1 (e)
1
. 而 f 2 (x) (x e)2
m e 2 ，
e
函数 f 1 ( x) 、 f 2 ( x) 在同一坐 系的大概 象以下 ，
∴①当 m
e
2
1
,即 m
e 2 1 ，方程无解、函数
h(x) 没有零点； ---10 分
1 e
1 e
②当 m
e 2
,即 m e 2 ，方程有一个根、函数 h(x) 有 1 个零点⋯⋯ 11 分
e
e
③当 m
e
2
1
,即m e 2
1 ，方程有两个根、函数
h(x) 有 2 个零点 . ⋯12 分
e
e。