获得三维曲面相对大小高斯曲率的方法与实现

获得三维曲面相对大小高斯曲率的方法与实现
作者：丁一
来源：《价值工程》2014年第35期
摘要：本方法在不使用任何参照物的前提下，从对象图像中获得曲面的三维表面重建信息。

通过物体自身的多角度旋转并拍摄多枚照片，并从多枚照片中获得的数据使用神经网络的学习数据。

从而最终获得相对的高斯曲率大小值、曲率的符号以及曲面的类型。

从而达到无任何参照物的前提下，获得对象物体的三维形状复原信息。

关键词：高斯曲率；无参照物；形状复原
中图分类号：TP751；O186.1 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）35-0204-02
1 光度立体法的基本原理
传统的光度立体法可以从对象图像中获得曲面的三维表面重建信息，即法线向量。

这是首先由Woodham[1]提出的，之后的工作中也出现了类似的相关研究，包括相对光度立体法[2]以及其他方法[3]，相对光度立体法使用一个校准用的球体，可以把从对象图像中获得的灰度值加以分析，得到三维表面重建信息。

最简单的方法是要还原的三维对象物体的某一点的坐标（xobj，yobj）上，该点的灰度值是（E1obj，E2obj，E3obj）。

与之相对的是校准球上的点（xsph，ysph）也对应一个灰度值（E1sph，E2osph，E3sph）。

在校准球和目标物体的反射率相同的前提下，我们可以找到校准球和目标物体的灰度值满足以下公式
E1obj（xobj，yobj）=E1sph（xsph，ysph）E2obj（xobj，yobj）=E2sph（xsph，ysph）
E3obj（xobj，yobj）=E3sph（xsph，ysph）（1）
在这里，对象待测物体某点（xobj，yobj）的法线向量值就正好和校准球该对应点（xsph，ysph）的法线向量值相同。

同时，我们可以利用该点附近的点的对应关系得到相对大小的高斯曲率的值。

2 高斯曲率
高斯曲率实际反映的是曲面的弯曲程度，设曲面在P点处的两个主曲率为k1（曲率最大值），k2（曲率最大值），它们的乘积k=k1·k2称为曲面于该点的总曲率或高斯曲率。

这里面曲率k1≥k2。

假设有任意一个曲面方程z=f（x，y），那么高斯曲率的公式实际上就是
这里fx和fy分别是z对于x或y的偏导数。

高斯曲率不依照视观测点的改变而发生变化。

这一点对于物体曲面检测、模式识别等方面十分重要。

对于两个曲率的来说，k1≥k2。

这里大致可以得出六种k1和k2的关系。

分别对应曲面的六种形态：凸面、凹面、平面、双曲面、凸抛物面、凹抛物面，如表1。

这里，对象物体的灰度值在神经网络中得到的结果都会有一个校准球上的某点坐标（xsph，ysph）来对应。

3 去除反射率
对于某个光源方向第j个光源，Ej（x，y）是点（x，y）的数字图像灰度值。

Rj（nx，ny，nz）是对象物体的反射率，这里（nx，ny，nz）是（x，y）的法线向量。

假设有三个光源，对于本方法来说，存在以下的等式关系
去除了反射率的影响之后，利用神经网络就可以决定球的映射，也就是从（e1'，e2'，
e3'）到（xsph，ysph）的映射。

从而为之前的方法做好了充分的数据准备。

4 利用神经网络确定映射关系
神经网络可以得出球与对象物体之前的对应关系，并从而得到周边四点包围的面积以及周边四点符号。

这里使用的数据都由上面的公式消除了反射率的影响，而给定的ej'就是神经网络的输入数据。

那么，神经网络通过学习球上某点灰度值ej'到（x，y），ej'作为输入数据，（x，y）作为输出数据。

之后泛化所得到的结果就可以计算出相对大小的高斯曲率，这里的输入数据是对象物体某点的灰度值，输出数据就是该灰度值在球上的映射点。

神经网络如图1所示。

5 不使用校准球的前提下获得高斯曲率
有的时候，往往获得和物体反射率相同的校准球也不是一个简单的事情，但这个问题可以通过物体自身的多角度旋转并拍摄多枚照片来解决。

本方法具体使用一个立体的旋转台，如图2，把物体放置在台上，横向0-180度，纵向0-180度的旋转。

每隔5度拍摄一张照片。

并利用几何关系确定从照片上计算出对应某点的位置，把该位置的坐标信息和灰度值都记录下来。

这就组成了一组神经网络学习数据。

使用以上方法进行多光源拍摄，分别从不同的光源下就可以获得多组学习数据。

从而最终确定相对的高斯曲率大小值，这四点的位置关系也就决定了曲率的符号以及曲面的类型。

6 实验及结果
本方法使用横纵两个方向的旋转台，横向0-180度与纵向0-180度的旋转物体并且每隔5度获取一枚数字图像。

利用几何位置与角度和半径的对应关系，就可以计算出某特征点具体在某角度的位置，从而形成一组神经网络的学习数据。

我们分别使用三个角度的光源方向上拍摄
获得多组学习数据。

这样我们再使用本文提出的方法就可以获得相对的高斯曲率大小值、曲率的符号以及曲面的类型。

如图3所示，其中曲面分类所对应的各曲面对应的种类如图4所示。

参考文献：
[1]R. J.Woodham， Photometric Method for Determining Surface Orientation from Multiple Images[J]. Optical Engineering， 1980， 19（1）： 139-144.
[2]R. J.Woodham. Gradient and curvature from the photometric stereo method， including local confidence estimation[J]. J. of the Optical Society of America， A，1994， 11： 3050-3068.
[3]T. Okatani and K. Deguchi， Determination of Sign of Gaussian Curvature of Surface from Photometric Data[J]. Trans. of IPSJ， 1998， 39（5）： 1965-1972.。