人教版数学高二B版必修5自我小测1.2应用举例

自我小测
1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系是( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180°
2． 如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为( )
A ．50 2 m
B ．50 3 m
C ．25 2 m
D ．2522
m
3．如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点测得树尖的仰角分别为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )
A ．(30+303) m
B ．(30＋153) m
C ．(15＋303) m
D ．(15＋33) m 4．在船A 上测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半个小时后，于B 处看得灯塔在船的正西方向，则这时船和灯塔相距⎝
⎛
⎭⎪⎫sin 15°＝
6－24( ) A ．15(6－2)2海里 B ．152－56
2海里
C ．15(6－2)4海里
D ．152－56
4
海里
5．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔S 在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A ．20(6＋2)海里/时
B ．20(6－2)海里/时
C ．20(6＋3)海里/时
D ．20(6－3)海里/时
6．在湖面上高h 米处，测得天空中一朵云的仰角为α，测得云在湖中之影的俯角为β，则云距湖面的高度为________米．
7．如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，
且DC＝ 3 km，当目标出现在B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，则炮兵阵地与目标的距离为________(精确到0．01 km)．
8．如图所示，飞机的航向和山顶在同一个平面内，已知飞机的高度为海拔h km，速度为v km/s，飞行员先看到山顶的俯角为α，经过t s后又看到山顶的俯角为β，求山顶的海拔高度．(用h，v，α，β等表示)
9．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin B sin C的值．
参考答案
1. 解析：要正确理解仰角、俯角的含义，准确地找出仰角、俯角的确切位置，如图，在A 处望B 处的仰角α与从B 处望A 处的俯角β是内错角(根据水平线平行)，即α＝β．
答案：B
2. 解析：在△ABC 中，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴∠ABC ＝30°．又AC ＝50 m ，由正弦定理，得AB ＝AC sin ∠ABC
×sin ∠ACB ＝50sin 30°×sin 45°＝100×2
2＝502(m)．
答案：A
3. 解析：设树高为h m ．由正弦定理，得60sin(45°－30°)＝PB sin 30°，∴PB ＝60×
1
2sin 15°＝30
sin 15°，
∴h ＝PB ·sin 45°＝30＋30 3 (m)． 答案：A
4. 解析：如图所示，设灯塔为C ，由题意可知，在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠B ＝45°，∠C ＝120°，AB ＝30×0．5＝15(海里)，所以由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝AB
sin C
，可求得
BC ＝15sin 120°·sin 15°＝15
3
2
×6－24＝152－562(海里)．
答案：B 5. 答案：B
6. 解析：如图，设湖面上高h 米处为A ，测得云C 的仰角为α，测得C 在湖中之影D 的俯角为β，CD 与湖面交于M ，过A 的水平线交CD 于E ．
设云高CM ＝x ，则CE ＝x －h ，DE ＝x ＋h ，AE ＝x －h
tan α．
又AE ＝x ＋h tan β，∴x －h tan α＝x ＋h
tan β
．
整理，得x ＝tan β＋tan αtan β－tan α·h ＝－sin(α＋β)
sin(α－β)h ．
答案：－sin(α＋β)
sin(α－β)
h
7. 解析：在△BCD 中，∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，
∴∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°． 由正弦定理，得BD ＝CD sin 75°sin 60°＝1
2(6＋2)．
在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°，
由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 105°＝3＋14(6＋2)2＋2×3×12(6
＋2)×1
4(6－2)＝5＋23．
∴AB ＝5＋23≈2．91(km)．
∴炮兵阵地与目标的距离约是2．91 km ． 答案：2．91 km
8. 解：根据题设条件，在△ABC 中，∠BAC ＝α，∠ABC ＝180°－β，AB ＝v t (km)．设山顶的海拔高度为x km ，则AB 边上的高为(h －x ) km ．
在△ABC 中，根据正弦定理可得AC sin(180°－β)＝AB
sin C ，
∴
AC sin β＝AB
sin(β－α)＝v t sin(β－α)
， ∴AC ＝sin β
sin(β－α)
v t ，
∴h －x ＝AC ·sin α＝sin β·sin α
sin(β－α)v t ，
∴x ＝h －sin αsin β
sin(β－α)
v t ．
∴山顶的海拔高度为⎣⎡⎦⎤h －sin αsin β·
v t sin(β－α) km ．
9. 解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，
得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝1
2或cos A ＝－2(舍去)．
因为0<A <π，所以A ＝π
3
．
(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝3
4bc ＝53，得bc ＝20．又b ＝5，知c ＝4．
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21． 又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝5
7
．。