勾股定理单元达标自检题学能测试

一、选择题
1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）
A．600m B．500m
C．400m D．300m
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（）
A．5 B．35C．332
+D．213
3．如图，已知圆柱的底面直径
6
BC
π
=，高3
AB=，小虫在圆柱侧面爬行，从C点爬到
A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（）
A．18 B．48 C．120 D．72
4．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则
DN+MN的最小值是（）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（）
A ．3
B ．3.3
C ．4
D ．4.5
6．已知x ，y 为正数，且2
2
4(3)0x y -+-=，如果以x ，y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A ．5
B ．25
C ．7
D ．15
7．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ︒
∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①1
2
CE BE =
；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．①⑤
D ．③④
8．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（ ）
A ．10
B ．5
C ．4
D ．3
9．如图， 在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ABC 的外角ACD ∠，且EF //BC 交AC 于M ，若CM 4=，则22CE CF +的值为（ ）
A ．8
B ．16
C ．32
D ．64
10．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（ ）
A．5 B．4 C．7D．4或5
二、填空题
11．如图，∠MON＝90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连接OC．若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则OC 的长度的最大值是________．
12．如图，在四边形ABCD中，AB =AD，BC=DC，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE 与BD交于点F，且CE∥AB，若 A =60°，AB=4，CE=3，则BC的长为_______．
13．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ＝∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是_____．
15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝1
3
S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．
16．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．
17．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．
18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2
2
22
()0c a b a b --+-=，则
△ABC 的形状为___________
19．四边形ABCD 中AB ＝8，BC ＝6，∠B ＝90°，AD ＝CD ＝52ABCD 的面积是_______．
20．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦
图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若
12315S S S ++=，则2S 的值是__________．
三、解答题
21．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？
分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点
C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明AC
D AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．
感悟与应用：
（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断
AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，
12DC BC ==，
①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．
22．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．
（2）求证：BED CDF △≌△．
（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．
23．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在
ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．
下列结论：
①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5； ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；
=5
32
ABD S ∆+③；
④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为
5+232-；
⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得
AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．
其中正确结论的序号是___．
24．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？ （2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，
①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值. ②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.
（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积. 25．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ． （1）补全图形.
（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).
（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 6m -n ﹣12）2＝0． （1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标； （3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．
27．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线
AB 于点H ．
（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．
28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在
ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .
（1）求点A 的坐标；
（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ∆的周长.
29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ． （1）如图1，求∠BGD 的度数；
（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；
（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．
30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：
的大小的形状
…
直角三角形
…
直角三角形
…
请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面
（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．
（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从
B 到E 的走法有两种，分别计算比较即可．
【详解】
解：如右图所示，
∵BC ∥AD ，
∴∠DAE=∠ACB ，
又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，
∴∠ABC=∠DEA=90°，
又∵AB=DE=400m ，
∴△ABC ≌△DEA ，
∴EA=BC=300m ，
在Rt △ABC 中，AC=22AB BC +=500m ，
∴CE=AC-AE=200，
从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700m ；②BC+CE=500m ，
∴最近的路程是500m ．
故选B ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法．
2．B
解析：B
【分析】
首先由PAB PCD S =3S △△，得知动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上，作点A 关于直线l 的对称点E ，连接AE 、BE ，则BE 的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形ABE 中，由勾股定理求得BE 的值，即PA+PB 的最小值．
【详解】
解：∵PAB PCD S =3S △△， 设点P 到CD 的距离为h ，则点P 到AB 的距离为(4-h ), 则
11AB (4-h)=3CD h 22
⋅⋅⨯⋅⋅，解得：h=1，∴点P 到CD 的距离1，到AB 的距离为3， ∴如下图所示，动点P 在与AB 平行且与AB 的距离为3的直线l 上，作点A 关于直线l 的对称点E ，连接AE 、BE ，且两点之间线段最短，
∴PA+PB 的最小值即为BE 的长度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°， 根据勾股定理：22222BE =AE AB =63=35++，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了轴对称—最短路线问题（两点之间线段最短），勾股定理，得出动点P 所在的位置是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，
点A ，C 的最短距离为线段AC 的长.
∵已知圆柱的底面直径6BC π=
， ∴6
23AD ππ
=⋅÷=， 在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒ ，3CD AB ==，
∴22218AC AD CD =+=，
∴从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程的平方为()222472AC AC ==.
故选D.
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故选：C．
【点睛】
此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
5．A
解析：A
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据勾股定理求出BD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，
解得，BD＝5，
∴CD＝8﹣5＝3，
∴△BCD的面积＝1
2
×CD×BC＝
1
2
×3×4＝6，
∵P是BD的中点，
∴S △PBC ＝12
S △BCD ＝3， 故选：A ．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0解出x 、y 的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．
【详解】
依题意得：2240,30x y -=-=，
∴2,x y ==，
斜边长==
所以正方形的面积27==．
故选C ．
考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质
点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
7．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．
【详解】
解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，
∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；
∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE
∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；
∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，
∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，
∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确
故选B ．
【点睛】
本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．
【详解】
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴，
根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，
∴A′C=10-6=4．
设CD=x，则A′D=8-x，
根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，
解得x=5，
故CD=5．
故答案为：B．
【点睛】
本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．
【详解】
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=1
2
∠ACB，∠ACF=
1
2
∠ACD，即∠ECF=
1
2
（∠ACB+∠ACD）=90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=4，EF=8，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64．
故选：D．
【点睛】
此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义.
10．D
解析：D
【分析】
根据题意，可分为已知的两条边的长度为两直角边，或一直角边一斜边两种情况，根据勾股定理求斜边即可．
【详解】
当3和4为两直角边时，由勾股定理，得：
22
+=；
345
当3和4为一直角边和一斜边时，可知4为斜边．
∴斜边长为4或5．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，关键是根据题目条件进行分类讨论，利用勾股定理求解．
二、填空题
11．5
【解析】
试题分析：取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．
考点：勾股定理的逆定理，
12．7
【分析】
连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．
【详解】
连接AC，交BD于点O，
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，
∴∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ＝4，BO ＝OD ＝2，
∵CE ∥AB ，
∴∠BAO ＝∠ACE ＝30°，∠CED ＝∠BAD ＝60°，
∴∠DAO ＝∠ACE ＝30°，
∴AE ＝CE ＝3，
∴DE ＝AD−AE ＝1，
∵∠CED ＝∠ADB ＝60°，
∴△EDF 是等边三角形，
∴DE ＝EF ＝DF ＝1，
∴CF ＝CE−EF ＝2，OF ＝OD−DF ＝1，
OC ∴=
∴
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
13．1或
78
【分析】 分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】
解：分为3种情况：
①当PB PQ =时，
4=OA ，3OB =，
∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，
BAO BCO ∴∠=∠，
BPQ BAO ∠=∠，
BPQ BCO ∴∠=∠，
APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，
APQ CBP ∴∠=∠，
在APQ 和CBP 中，
BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩
， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，
∴5AP BC ==，
1OP AP OA ∴=-=；
②当BQ BP =时，
BPQ BQP ∠=∠，
BPQ BAO ∠=∠，
BAO BQP ∴∠=∠，
根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，
∴这种情况不存在；
③当QB QP =时，
QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，
PB PA ∴=，
设OP x =，则4PB PA x ==-
在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，
222(4)3x x ∴-=+， 解得：78
x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或
78； 【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．
14．（0，21009）
【解析】
【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．
【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，
∴OA 1，OA 2=）2，…，OA 2018=）2018，
∵A 1、A 2、…，每8个一循环，
∵2018=252×8+2
∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=
2018=21009，
故答案为（0，21009）.
【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．
15．
【分析】
根据S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接DE ，BE ，则DE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到PA+PD 的最小值．
【详解】 设△PAD 中AD 边上的高是h ．
∵S △PAD ＝
13S 矩形ABCD ， ∴12 AD •h ＝13
AD •AB ， ∴h ＝
23AB ＝4， ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，
如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．
在Rt △ADE 中，∵AD ＝8，AE ＝4+4＝8，
DE 22228882AE AD ++=
即PA +PD 的最小值为2 ．
故答案2．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．
16．163
【分析】
延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出43AE =．同理，在Rt DEC ∆中求出283CE CD ==2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．
【详解】
解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，
∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，
∴60C ∠=°，
∴30E ∠=︒，
在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，
∴28BE AB ==， 2243AE BE AB ∴=-=． 在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，43CD =，
283CE CD ∴==，
2212DE CE CD ∴=-=， ∴1443832
ABE S ∆=⨯⨯=， 143122432
CDE S ∆=⨯⨯=， 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形．
故答案为：163．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．258
【分析】
先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】
∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴2222AB +BC =3+4=5；
∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ，
∴FA=12AC=52
，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ，
∴△AFD ∽△CBA ，
∴AD AC =FA BC ，即AD 5=2.54，解得AD=258；故答案为258．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
18．等腰直角三角形
【解析】
根据非负数的意义，由()2222
0c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.
19．49
【解析】
连接AC ，在Rt △ABC 中，∵AB =8，BC =6，∠B =90°，∴AC =22AB BC + =10． 在△ADC 中，∵AD =CD =52，∴AD 2+CD 2=（52）2+（52）2=100．
∵AC 2=102=100，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴S 四边形
ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB •BC +12AD •DC =12×8×6+12
×52×52=24+25=49．
点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．5
【分析】
根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．
【详解】
解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=，
∴得出1
8S y x ，24S y x ，3S x =， 12331215S S S x y ，故31215x y
，
15
4=5
3
x y，
所以
245
S x y，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出1S，2S，3S，再利用
12315
S S S
++=求出是解决问题的关键．
三、解答题
21．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14
【分析】
（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；
（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；
②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．
【详解】
解：（1）BC−AC＝AD．
理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
又CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠CED＝2∠CBA，
∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，
∴∠CBA＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴AD＝BE，
∵BE＝BC−CE＝BC−AC，
∴BC−AC＝AD．
（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，
∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC ＝∠MAC ，
∵AC ＝AC ，
∴△ADC ≌△AMC （SAS ），
∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，
∵CD ＝BC ＝12，
∴CM ＝CB ，
∴∠B ＝∠CMB ，
∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，
∴∠B ＋∠D ＝180°；
②设BN ＝a ，
过点C 作CN ⊥AB 于点N ，
∵CB ＝CM ＝12，
∴BN ＝MN ＝a ，
在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，
在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝
， 则2222
1216(8)a a --+＝
， 解得：a ＝3，
即BN ＝MN ＝3，
则AB ＝8+3+3=14，
∴AB=14．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
22．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．
【分析】
（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求
DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；
（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；
（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．
【详解】
解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD=DE
∴∠DAE=∠DEA=30°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，
故答案为：90°；
（2）∵AD=DE=DF ，
∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，
∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，
∴∠DEA+∠DFA=60°，
∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，
∴∠EDB=∠DFA ，
∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，
∴∠CDF=∠DEA ，
在△BDE 和△CFD 中
∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△BDE ≌△CFD （ASA ）
（3）∵△BDE ≌△CFD ，
∴BE=CD ，
∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，
当D 点在C 或B 点时，
AD=AC=AB=2,
此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；
当D 点在BC 的中点时，
∵AB=AC ，
∴BD=112
BC =
，AD ==
此时22l AD =+=
综上可知24l +≤<．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．
23．②③⑤
【分析】
①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利
用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；
②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；
⑤先证得
ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利
用互余的关系即可证得结论．
【详解】
①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，
∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，
∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴222PE BE PB +=，
∵2AE AP ==
，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE =
=， ∴()22227BE +=， 解得：3BE =，
作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，
∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，
∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴26sin 453HB BE =︒==，
∴点B 到直线AE 的距离为62，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =，
∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+
AEP BEP S S ∆∆=+
1122
AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322
=⨯⨯+⨯⨯ 13=+，故②正确；
③在Rt AHB 中，由①知：6EH HB ==
， ∴622
AH AE EH =+=+， 22
222256623AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 21153222
ABD S AB AD AB ∆=
⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，
∵A C 、关于 BD 的对称，
∴523AB BC ==+
∴225231043AC BC ==+=+
∴ min PC AC AP =-，
10432=+
⑤∵
ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，
∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，
在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABP ADE SAS ≅，
∴ABP ADE ∠=∠，
∵AN BN =，
∴ABP NAB ∠=∠，
∴EAN ADE ∠=∠，
∵90EAN DAN ∠+∠=︒，
∴90ADE DAN ∠+∠=︒，
∴AN DE ⊥，故⑤正确；
综上，②③⑤正确，
故答案为：②③⑤．
【点睛】
本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．
24．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92
；②k 的取值范围为13k ≤<；（3）ABC ∆203123． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；
（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；
②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；
（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．
【详解】
（1）该命题是真命题，理由如下：
设等边三角形的三边边长为a
则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形
又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1
故该命题是真命题；
（2）①90,6CB b A ∠=︒=
c ∴=
根据优三角形的定义，分以下三种情况：
当2a b c +=时，6a +=，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根
当2a c b +=时，12a =，解得92
a =
当2b c a +=时，62a =，解得86a =>，不符题意，舍去
综上，a 的值为
92
； ②由题意得：,,a b c 均为正数 根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a ≥≥）
当2a b c +=时，则1b k a
=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+ 则2a b b a a b +-<<+，解得3b a <，即3b k a
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2a c b +=时，则1c k a =
≥ 由三角形的三边关系定理得c a b a c -<<+ 则2a c c a a c +-<<+，解得3c a <，即3c k a
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2b c a +=时，则1c k b =
≥ 由三角形的三边关系定理得c b a b c -<<+ 则2b c c b b c +-<<+，解得3c b <，即3c k b
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤<
综上，k 的取值范围为13k ≤<；
（3）如图，过点A 作AD BC ⊥，则180********ABC ABD ∠=︒-︒∠-==︒︒ 设BD x =
2222,3AB BD x AD AB BD x ∴===-=
22222(3)(4)224AC AD CD x x x x =+=++=++
11432322
ABC S BC AD x x ∆=⋅=⨯⨯= ABC ∆是优三角形，分以下三种情况：
当2AC BC AB +=时，即222444x x x +++=，解得103x =
则10203232333
ABC S x ∆==⨯= 当2AC AB BC +=时，即222428x x x +++=，解得65x =
则6123232355
ABC S x ∆==⨯= 当2BC AB AC +=时，即242424x x x +=++，整理得234120x x ++=，此方程没有实数根
综上，ABC ∆的面积为2033或1235
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键．
25．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，
∴∠PAD=α，AB=AD ，
∵90BAC ∠=︒，
∴902DAC α∠=︒-，
又∵AB=AC ，
∴AD=AC ，
∴∠ADC=1[180(902)]2
α⨯︒-︒-=45α︒+； （3）如图，连接BE ，
由（2）知：∠ADC=45α︒+，
∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，
∴∠AED=45°，
∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，
∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，
∴∠BED=90°，
∴△BED 是等腰直角三角形，
∴22222BD BE DE DE =+=，
∴2BD DE =
. 【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.
26．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，
0）；（3）点P的坐标（
14
3
-，
64
3
）
【分析】
（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；
（2）画出图象，由CD⊥AB知1
AB CD
k k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；
（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.
【详解】
解：（1）∵6
m-＋（n﹣12）2＝0，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，
则有
12
60
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
12
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，
∵直线AB过点C（a，a），
∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，
设直线CD解析式为y＝1
2
x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y＝1
2
x＋2，
∴点D坐标（－4，0）．
（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，
图2
∵直线EC 解析式为y ＝
32x －2，直线CF 解析式为y ＝－23x ＋203， ∵32×（－23
）＝－1， ∴直线CE ⊥CF ，
∵EC ＝13CF ＝13
∴EC ＝CF ，
∴△FCE 是等腰直角三角形，
∴∠FEC ＝45°，
∵直线FE 解析式为y ＝－5x －2，
由21252y x y x =-+⎧⎨=--⎩解得143643x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴点P 的坐标为（1464,33-
）. 【点睛】
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.
27．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.
【分析】
（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.
（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理。