山西省太原市2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题

山西省太原市2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A ．12B ．14C ．16D ．182．三棱锥O ABC -中，点D 在棱BC 上，且2BD DC =，则AD 为（ ） A.2133AD OA OB OC =+- B.2133AD OA OB OC =-++ C.1233AD OA OB OC =--D.1233AD OA OB OC =-++3．若实数x ，y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A.52B.0C.53D.14．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且2POF ∆为等边三角形，则C 的离心率e =（ ）A1B．2C ．12D．5．已知集合{}{}2|05,|340A x x B x x x =<<=--<，则AB =（ ）A.()0,4B.()1,4-C.()0,5D.()1,5-6．已知{}n a 为等差数列，2812a a +=，则5a 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．77．抛物线24y x ＝的一条焦点弦为AB ，若8AB =，则AB 的中点到直线2x =-的距离是（）A.4B.5C.6D.78．已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，则F 到C 的右顶点M 的距离是A ．2B ．3C1D29．在下列命题中，下列选项正确的是（ ）A ．在回归直线0.585y x =-中，变量200x =时，变量y 的值一定是15.B ．两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1.C ．在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关.D ．若,a b 是两个相等的非零实数，则()()a b a b i -++是纯虚数.10．直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ） A.423y x =+ B.123y x =-+ C.2y =D.y=423x +或y=2 11．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A.3B.2C.1D.012．已知函数()(](]111,1,012,0,1x x f x x x -⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()2g x f x mx m =-+在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.11,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦B.(]1,1,4⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭ C.11,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D.()1,1,4⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在”即代表无限次重复，但原式却是个定值x.这可以通过方程x =确定x ＝2，则11111+=++_______.14______.15．已知抛物线上一点与该抛物线的焦点的距离，则点的横坐标__________．16．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________． 三、解答题 17．已知抛物线：的焦点为，准线为，三个点，，中恰有两个点在上． （1）求抛物线的标准方程；（2）过的直线交于，两点，点为上任意一点，证明：直线，，的斜率成等差数列．18．（1）已知焦点在轴上的双曲线的离心率为2，虚轴长为，求该双曲线的标准方程；（2）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，若的面积为4，求的值.19．已知长方体中，棱，棱，连结，过点作的垂线交于，交于.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20．选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）作出函数的图象；（Ⅱ）不等式的解集为，若实数，满足，求的最小值.21．请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？22．已知函数，.（1）当时，求的最值；（2）使在区间上是单调函数，求实数的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1314．&gt; 15．316．58.三、解答题17．(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）由对称关系可知，两点在上，求得抛物线的标准方程为；（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到韦达定理，表示出直线的斜率，证明满足等差中项公式即可。

试题解析：（I）因为抛物线：关于x轴对称，所以中只能是两点在上，带入坐标易得，所以抛物线的标准方程为（II）证明：抛物线的焦点的坐标为，准线的方程为.设直线的方程为，.由，可得，所以，于是，设直线的斜率分别为，一方面，.另一方面，.所以，即直线的斜率成等差数列点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系。

本题中要证明直线的斜率满足等差数列，则需要表示三个斜率，所以只需设出直线方程，写出三个斜率，证明其满足等差中线公式即可，中间利用韦达定理计算。

18．（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据双曲线的离心率为2，虚轴长为，这句话列出表达式，即可得到双曲线的方程；（2），FC为定值，联立直线和曲线得到二次方程，根据韦达定理，弦长公式，求出弦长，代入即可。

解析：（1）∵双曲线的虚轴长为，∴，∴，∴双曲线的离心率为2，∴又，∴，所以双曲线的标准方程为.（2）∵抛物线的焦点为，∴∴由得，设，则，设直线与轴交于，则，∴，解得，∴.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．19．（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）根据三垂线定理证线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；（2）利用线面平行，利用三棱锥的等体积法求高即可．详解：（1）证明：由已知面又∴∵面是正方形，∴∴∴平面（2）连结到平面的距离，即三棱锥的高，设为，，由得：，∴点到平面的距离是.点睛：本题考查线面垂直的判定及点到平面的距离．利用转化思想与三棱锥的换底性求点到平面的距离是常用方法．20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析：（1）先把函数化简得到分段函数，再画图.(2)先利用零点分类讨论法求不等式的解集，得到t的值，再利用基本不等式求的最小值.详解：（Ⅰ）设.其图象如图所示：（Ⅱ）解.当时，，得；当时，，得；当时，，得.综上，.可知.（当且仅当，即，等号成立）.所以的最小值为.点睛：（1）本题主要考查分段函数图像的画法，考查零点讨论法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和转化能力.(2) 本题的解题关键是常量代换，即把化成，再利用基本不等式求函数的最小值.21．为2m时，帐篷的体积最大【解析】【分析】先设为m，则，根据题意表示出帐篷的体积为，再由导数方法求其最值即可得出结果.【详解】设为m，则，由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：），于是底面正六边形的面积为（单位：m2）.帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令，解得（不合题意，舍去），.当时,为增函数；当时，为减函数.所以当时，最大，答：当为2m时，帐篷的体积最大.【点睛】本题主要考查导数在生活中的应用问题，根据题意求出函数解析式，用导数方法求最值即可，属于常考题型.22．（1）最小值，最大值35；（2）.【解析】【分析】（1）利用二次函数的单调性求函数的最值；（2）由题得函数的图象开口向上，对称轴是，所以或，即得a的取值范围.【详解】（1）当时，，由于，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值是，又，，故的最大值是35.（2）由于函数的图象开口向上，对称轴是，所以要使在上是单调函数，应有或，即或.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.。