山西省太原市2020届高三下学期模拟考试(三)数学(理)试题 Word版含解析

2020年太原市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1.已知集合A ＝{x |x 2
﹣3x +2≥0}，B ＝{x |x +1≥a }，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. [2，+∞） B. （﹣∞，2] C. [1，+∞） D. （﹣∞，1]
【★答案★】B 【解析】 【分析】
先化简集合A ，B ，再由A ∪B ＝R 求解.
【详解】∵集合A ＝{x |x 2
﹣3x +2≥0}＝{x |x ≤1或x ≥2}，
B ＝{x |x +1≥a }＝{x |x ≥a ﹣1}，
又因为A ∪B ＝R ， ∴a ﹣1≤1， 解得a ≤2，
∴实数a 的取值范围是（﹣∞，2]. 故选：B .
【点睛】本题主要考查集合运算的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2.若复数z 满足(12)z i i =-⋅，则复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【★答案★】D 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出． 【详解】解：(12)2z i i i =-⋅=+，
z ＝2﹣i 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．
故选：D ．
【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.已知1,0a b c >><，则（ ）
A.
c c a b
< B. a b c c <
C. c c a b <
D. log ()log ()a b b c a c ->-
【★答案★】C 【解析】 【分析】
利用不等式的性质、函数的单调性和赋值法可得正确的选项. 【详解】解：①由于1a b >>，所以11
0a b <
<，又0c <，故c c a b
>，选项A 错误. ②当2,4,2c a b =-==时，a b c c >，故选项B 错误. ③由于1,0a b c >><，c
y x =在()0,∞+上为减函数，
故c c a b <，选项C 正确.
④由于1,0a b c >><，所以0a c b c ->->， 故log ()log ()log ()a b b b c b c a c -<-<-，故D 错误. 故选：C.
【点睛】本题考查指数式、对数式、分式的大小比较，一般地，我们可利用不等式的性质或指数函数、对数函数、幂函数的单调性来讨论，而说明一个不等式不成立时，可举例说明. 4.已知sin cos 2αα-=，α∈(0, π)，则tan α= A. -1 B. 22
-
C.
22
D. 1
【★答案★】A 【解析】 【详解】
2sin cos αα-=，()0,απ∈，
12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34
πα=
1tan α∴=-
故选A
5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
【★答案★】B 【解析】 【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得★答案★． 【详解】解：当n ＝1时，a ＝339
22
+=，b ＝2，满足进行循环的条件， 当n ＝2时，a 9927244=
+=，b ＝4，满足进行循环的条件， 当n ＝3时，a 272781488=+=，b ＝8，满足进行循环的条件， 当n ＝4时，a 818124381616
=+=，b ＝16，不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4， 故选：B ．
【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2a =（ ） A. 3-
B. 3
C. 353
-
D. 3或353
-
【★答案★】D 【解析】 【分析】
设公比为q ,利用基本量法求解即可.
【详解】设公比为q ,易知1q ≠.由133813a a S =-⎧⎨=⎩得()
2113
181131a a q a q q ⎧=-⎪-⎨=⎪
-⎩,解得113a q =⎧⎨=⎩或1
25373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
当113a q =⎧⎨=⎩时,213a a q ==；当125373a q ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
时,2135
3a a q ==-,
所以23a =或2353
a =-, 故选：D .
【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解方法,属于中等题型. 7.平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A. a b a b ⋅=
B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量
C. ∃λ∈R ，b a λ=
D. 存在不全为零实数λ1，λ2，120a b λλ+= 【★答案★】D 【解析】 【分析】
根据共线向量基本定理，结合充分条件的定义进行求解即可.
【详解】A ：a b a b ⋅=成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是非零两个向量共线时，它们的夹角可以为平角，故本选项是错误的； B ：两个非零向量也可以共线，故本选项是错误的； C ：只有当a 不是零向量时才成立，故本选项是错误的；
D ：当平面向量a ，b 共线时，存在一个λ，使得b a λ=(0)a ≠成立，因此存在不全为零的实数
λ1，λ2，120a b λλ+=；
当存在不全为零的实数λ1，λ2，120a b λλ+=成立时，若实数λ1，λ2不都为零时， 则有2
1
a b λλ=-
成立，显然a ，(0)b b ≠共线，若其中实数λ1，λ2有一个为零时，不妨设 10λ=，则有200b b λ=⇒=，所以平面向量a ，b 共线，所以本选项是正确的.
故选：D
【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，属于基础题.
8.根据党中央关于“精准”脱贫的
要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A.
16
B.
14
C.
1
3
D.
12
【★答案★】A 【解析】 【分析】
每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.
【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：23
4
336n C A == 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：212
2326m C C A ==
∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366
m p n =
== 本题正确选项：A
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 9.把函数f （x ）＝sin 2x 的图象向右平移12
π
个单位后，得到函数y ＝g （x ）的图象.则g （x ）的解析式是（ ） A. ()2
12g x sin x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B. ()12212g x cos x π⎛
⎫=-
- ⎪⎝
⎭ C. ()112262g x cos x π⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭
D. ()112262g x sin x π⎛
⎫=
-+ ⎪⎝
⎭ 【★答案★】C 【解析】 【分析】
利用函数sin()y A wx ϕ=+的图象变换规律，即可求解，得到函数的解析式.
【详解】由题意，把函数()2
11sin cos 222
f x x x ==
-的图象向右平移12π
个单位后，
得到函数()1111cos[2()]cos(2)2212226
y g x x x ππ
==--=--的图象.
故选：C .
【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中利用余弦的倍角公式，化简得到()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
10.已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足
()()212log log 21f a f a f ⎛⎫
+≤ ⎪⎝⎭
，则a 的取值范围是（ ）
A. 122⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
B. [1，2]
C. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
D. （0，2]
【★答案★】A 【解析】 【分析】
由偶函数的性质将()
()212
log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝
⎭
化为：2(log )(1)f a f ≤ ，再由f （x ）的单
调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围. 【详解】解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以
1222
(log )(log )(log )f a f a f a =-=，
则()()212log log 21f a f a f ⎛⎫
+≤ ⎪⎝⎭
为2(log )(1)f a f ≤，
因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增， 所以|log 2a |≤1，解得1
2
≤a ≤2， 则a 的取值范围是[1
2
，2]， 故选：A .
【点睛】此题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题.
11.已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣4 D. 不能确定
【★答案★】B 【解析】 【分析】
设出,A B 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解0y 的值． 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，12x x ≠， 由2
8x y =，可得4x
y '=
，所以14MA x k =，24
MB x k =， 因为过点00(,)M x y 作直线,MA MB 与抛物线C 分别切于点,A B ，且以AB 为直径的圆过点M ，
所以12
144
MA MB x x k k ⋅=⋅=-，可得1216x x =-， 直线MA 的方程为：()()1111144
x
y y x x x x y y -=-=+， ①，
同理直线MB 的方程为：()2224
x
y y x x -=-，()224x x y y =+②，
①2x ⨯-②1x ⨯，可得12
28
x x y ==-，即02y =-. 故选：B ．
【点睛】本题考查函数的导数的应用，曲线与方程相结合，考查计算能力． 12.点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1
y x
=
交于点N ，3
OM ON
OP +=
，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G
上的“水平黄金点”的个数为（ ） A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【★答案★】C 【解析】 【分析】
设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 3
3t
OP t t ⎛⎫=+
⎪⎝⎭,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用
导函数判断g t 的零点的个数,即为所求. 【详解】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫
⎪⎝⎭
,所以21,ln 33
3OM ON t OP t t +⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭, 依题意可得1
ln 03t t
+=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t
-'=-=, 当103
t <<
时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当1
3t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,
所以min
1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫
=-+>=> ⎪⎝⎭
,
1
()ln 03g t t t
∴=+
=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C
【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数()()12
2log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，
则
18f f ⎛
⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
_____. 【★答案★】8. 【解析】 【分析】 依题意得f （
18）＝3，从而f （f （18
））＝f （3），由此能求出结果. 【详解】解：∵函数()()12
2log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，
＞，
则1
2
11()log 388f ==； ∴18f f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f （3）＝32﹣1＝8. 故★答案★为：8.
【点睛】此题考查的是分段函数求值问题，属于基础题. 14.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为
()
22234
a b c --，则
A =____________.
【★答案★】23
π
（或120︒） 【解析】 【分析】
由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 【详解】解：由余弦定理可得a 2
﹣b 2
﹣c 2
＝﹣2bc cos A ， △ABC 的面积为
()
22234
a b c --＝﹣
3
cos 2
bc A ， 又因为S △ABC ＝
1sin 2bc A ＝﹣3cos 2
bc A ， 所以tan A ＝﹣3， 由A ∈（0，π）可得A ＝23
π
． 故★答案★为：
23
π. 【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．
15.设F 1，F 2分别是双曲线()22
22100x y a b a b
-=＞，＞的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2
＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为_____. 【★答案★】3. 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设|PF 2|=m ，则|PF 1|=2m ，显然点 P 在双曲线的右支上， 因此有122PF PF a -=，因此122,4,2m a PF a PF a =∴==， 而122F F c =，∠F 1PF 2＝60°，所以由余弦定理可知；
222
121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，
即2
2
2
141642422c a a a a =+-⋅⋅⋅，化简得：33c
c a e a
=⇒== 故★答案★为：3
【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了求双曲线的离心率，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
16.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记
B 1与F 的轨迹构成的平面为α.
①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1
②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[
2
4
，12] ③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为22
④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个. 其中正确命题的序号是_____.（写出所有正确的命题序号） 【★答案★】①②③④ 【解析】 【分析】
分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB 1∥平面A 1BE ，从而确定平面MNB 1就是平面α. 当F 为线段MN 的中点时，可证明①；
②利用平移的思想，将直线B 1F 与直线BC 所成角转化为B 1F 与B 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥平面MNC 1，所以tan∠FB 1C 1即为所求，进而求解即可；
③平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan∠B 1QC 1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断. 【详解】解：如图所示，
设正方体的棱长为2，分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，则MN ∥A 1B ，MB 1∥EA 1， ∵MN 、MB 1⊂平面MNB 1，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ，且MN ∩MB 1＝M ，A 1B ∩EA 1＝A 1， ∴平面MNB 1∥平面A 1BE ，
∴当F 在MN 上运动时，始终有B 1F ∥平面A 1BE ，即平面MNB 1就是平面α.
对于①，当F 为线段MN 的中点时，∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，∵MN ∥CD 1，∴B 1F ⊥CD 1，即①正确； 对于②，∵BC ∥B 1C 1，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角即为所求， ∵B 1C 1⊥平面MNC 1，C 1F ⊂平面MNC 1，∴B 1C 1⊥C 1F ， ∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角为∠FB 1C 1，且tan∠FB 1C 11
11
FC B C =
， 而FC 1的取值范围为212⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
，，B 1C 1＝2，所以tan∠FB 1C 1∈[24，1
2]，即②正确；
对于③，平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求， 取MN 的中点Q ，因为B 1C 1⊥平面MNC 1，所以∠B 1QC 1就是所求角，
而tan∠B 1QC 1
1112
22
2
2
B C QC =
==，即③正确； 对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC 1B 1，平面ADD 1A 1，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ，即④正确. 故★答案★为：①②③④.
【点睛】此题考查空间立体几何的综合，涉及空间线面的位置关系、异面直线的夹角和面面角等问题，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于难题.
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足12111
1,,2
n n n n b b a b b nb ++==+=. （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设1
2n n n
c b =
，求数列{c n }的前n 项和S n . 【★答案★】（1）1n b n =（2）12(2)2n
n S n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }是常数列，最后求得b n ； （2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n . 【详解】（1）由已知得：12211,1a b b b a +=∴= 又∵{a n }是公差为1的等差数列，n a n ∴=∴a n ＝n .
11n n n n a b b nb +++=
1(1)n n n b nb +∴+=，∴数列{nb n }是常数列，11
1,n n nb b b n
∴==∴=
（2）由（1）得：1122n
n n n c n b ⎛⎫
==⋅ ⎪⎝⎭
23
11111232222n
n S n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
∴=⨯+⨯+⨯+
+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
①
又2
3
4
1
1111112322222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
②
由①-②可得：23
1
111111222222n
n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++
+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
1112211212
n
n n +⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
-⋅ ⎪⎝⎭
- 1
11(2)2n n +⎛⎫
=-+⋅ ⎪
⎝⎭
1
2(2)
2
n
n
S n
⎛⎫
∴=-+⋅ ⎪
⎝⎭
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.
18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：
（1）填写下面2x2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；
（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考公式和数据K2
()
()()()()
2
n ad bc
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n＝a+b+c+d.
【★答案★】（1）填表见解析；不能（2）分布列见解析；期望为
4
5
【解析】
【分析】
（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值. 【详解】解：（1）根据题意填写2x2列联表，
计算K2
()2
50297113
40103218
⨯⨯-⨯
=≈
⨯⨯⨯
6.272＜6.635，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；
（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；
计算P（X＝0）
22
84
22
105
84
225
C C
C C
⋅
==
⋅
，
P（X＝1）
21112
84824
22
105
104
225 C C C C C
C C
⋅+⋅⋅
==
⋅
，
P（X＝2）
11122
82424
22
105
35
225 C C C C C
C C
⋅⋅+⋅
==
⋅
，
P（X＝3）
21
24
22
105
2
225
C C
C C
⋅
==
⋅
；
所以随机变量X的分布列为：
所以X的数学期望为E（X）＝0
84
225
⨯+1
104
225
⨯+2
35
225
⨯+3
24
2255
⨯=.
【点睛】此题考了独立性检验的应用，考查了随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60°，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D.
（1）求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； （2）求二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）317
17
【解析】 【分析】
（1）过点D 作DE ∥AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ，设AD ∩CE ＝O ，连接BO ，推导出DE ⊥AE ，四边形
AEDC 为正方形，CE ⊥AD ，推导出△BAC ≌△BAE ，从而BC ＝BE ，CE ⊥BO ，从而CE ⊥平面BAD ，由此
能证明平面BAD ⊥平面AA 1C 1C.
（2）推导出BO ⊥AD ，BO ⊥CE ，从而BO ⊥平面AA 1C 1C ，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，利用向量法能求出二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值.
【详解】解：（1）如图，过点D 作DE ∥AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ， 设AD ∩CE ＝O ，连接BO ，∵AC ⊥AA 1，∴DE ⊥AE ，
又AD 为∠A 1AC 的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，∴CE ⊥AD ， 又∵AC ＝AE ，∠BAC ＝∠BAE ，BA ＝BA ，∴BAC ≌BAE ，∴BC ＝BE ， 又∵O 为CE 的中点，∴CE ⊥BO ，
又∵AD ，BO ⊆平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴CE ⊥平面BAD. 又∵CE ⊆平面AA 1C 1C ，∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C.
（2）在ABC 中，∵AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60°，∴BC ＝4， 在Rt BOC 中，∵1
222
CO CE ==，∴22BO =， 又AB ＝4，1
222
AO AD =
=，∵BO 2+AO 2＝AB 2，∴BO ⊥AD ， 又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊆平面AA 1C 1C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，
则A （2，﹣2，0），A 1（2，4，0），C 1（﹣2，4，0），()
10622B ，，， ∴()
112222C B =，
，，()1460AC =-，，，()11400C A =，，，
设平面AB 1C 1的一个法向量为
()111m x y z =，，，
则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴111
11460
22220x y x y z -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩，
令x 1＝6，得()
6452m =-，
，， 设平面A 1B 1C 1的一个法向量为()222n x y z =，，，
则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴22
224022220x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，
令22y =，得()
021n =-，，
， ∴92317
171023
m n cos m n m n ⋅=
==⋅⋅＜，＞，
故二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值为
31717
.
【点睛】本题考查面面垂直的证明和求二面角，求空间角通常用向量法求解，考查运算能力，属于中档题.
20.已知椭圆C ：22
1x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值.
【★答案★】（1）22143x y +=（2）
3
2
【解析】 【分析】
（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由椭圆过点31
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；
（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出
O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值.
【详解】解：（1）由题意可得：椭圆的焦距为2，则1c =，又椭圆过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 222221
914a
b c a b
⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：a 2＝4，b 2
＝3， 所以椭圆的方程为：2243
x y +=1；
（2）设B ()m n ，，记线段MN 中点D ，
因为O 为BMN 的重心，所以BO =2OD ，则点D 的坐标为：2
2，n m ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭， 若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为
2
m ，即为1，
若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ，
又221143x y +=1，22
2243
x y +=1，
两式相减
()()()()121212124
3
x x x x y y y y +-+-+=0，
可得：k MN 1212y y x x -=
=-34m n
-，
故直线MN 的方程为：y 34m n =-
（x 2m +）2n
-，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0，
则点O 到直线MN 的距离d 222
2
343664m n m n
+=
+，
将2
243
m n +=1，代入得d 239
n =+，
因为0＜n 2
≤3，所以d min 3
2=
，又32
＜1， 故原点O 到直线MN 的距离的最小值为
3
2
.
【点睛】本题考查求椭圆的方程，点到直线的距离，考查椭圆中的最值问题，注意直线的斜率的讨论，属于难题.
21.已知函数2
()ln ()f x x x ax a R =-∈. （1）讨论函数的极值点个数；
（2）若()()g x f x x =-有两个极值点12,x x ，试判断12x x +与12x x ⋅的大小关系并证明. 【★答案★】（1）★答案★不唯一，具体见解析（2）1212x x x x +<，详见解析 【解析】 【分析】
（1）由已知令'
)0f x =（，得1ln 2x a x +=
，记1ln ()x
Q x x
+=，则函数()f x 的极值点个数转化为函数()Q x 与y ＝2a 的交点个数，再利用导数得到()Q x 在(0,1)上是增函数，在1
+，上是减
函数，且max ()=(1)1Q x Q =，对a 分情况讨论，即可得到函数()f x 的极值点个数情况； （2）由已知令'
()0g x =，可得ln 2x a x =
，记ln ()x h x x
=，利用导数得到()h x 的单调性，可得max 1()h x e =，当x e >时，()0f x >，所以当1
02a e <<即102a e
<<时()g x 有2个极值点
12,x x ，从而得到1212
ln()
2x x a x x =
+，所以1212ln()ln()x x x x +<，即1212x x x x +<．
【详解】解：（1）'
1
()ln 2ln 21(0)f x x x ax x ax x x
=+⋅
-=-+>，
令'
)0f x =（，得1ln 2x a x +=
，记1ln ()x Q x x +=，则'
2
ln ()x Q x x -=， 令()0Q x '
>，得01x <<；令()0Q x '
<，得1x >，
∴()Q x 在(0,1)上是增函数，在1
+，上是减函数，且max ()=(1)1Q x Q =，
∴当21a >即12
a >
时，'
()0f x =无解，∴()f x 无极值点， 当21a =即12a =时，'
()0f x =有一解，1ln 2x a x +≥，即ln 210x ax -+≤，
'()0f x ≤恒成立，()f x ∴无极值点，
当021a <<，即102
a <<
时，'
()0f x =有两解，()f x ∴有2个极值点， 当20a ≤即0a ≤时，'
()0f x =有一解，()f x 有一个极值点.
综上所述：当12
a ≥
，()f x 无极值点；1
02a <<时，()f x 有2个极值点；
当0a ≤，()f x 有1个极值点；
（2）2
()ln g x x x ax x =--，()ln 2(0)g x x ax x '
=->, 令'
()0g x =，则ln 20x ax -=，ln 2x a x
∴=, 记ln ()x h x x =
，则'
21ln ()x h x x
-=, 由'()0h x >得0x e <<，由'
()0h x <，得x e >，
()h x ∴在(0,)e 上是增函数，在(,)e +∞上是减函数,
max 1
()()h x h e e
==，当x e >时，()0f x >,
∴当1
02a e <<即102a e
<<时,
()g x 有2个极值点12,x x , 由11
2
2ln 2ln 2x ax x ax =⎧⎨=⎩,
得121212ln()ln ln 2()x x x x a x x =+=+,
1212
ln()
2x x a x x ∴=
+,
不妨设12x x <则121x e x <<<，122x x x e ∴+>>,
又()h x 在(,)e +∞上是减函数,
1221212212
ln()ln ln()
2x x x x x a x x x x x +∴
<==++,
1212ln()ln()x x x x ∴+<, 1212x x x x ∴+<.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，考查学生转化问题和分析问题的能力，是一道难题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22.已知曲线C
的
极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面
直角坐标系，直线l 过点()0,2M ，倾斜角为
3
π4
． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11
MA MB
+的值． 【★答案★】（1）22(3)9x y -+=，22222x t y t
⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数)；（2）52
4.
【解析】 【分析】
（1）将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，根据公式即可化简为直角坐标方程；根据已知信息，直接写出直线的参数方程，整理化简即可；
（2）联立曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程，得到关于t 的一元二次方程，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得结果.
【详解】（1）因为6cos ρθ=，所以2
6cos ρρθ=，
所以22
6x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为：22(3)9x y -+=，
直线l 的参数方程3πcos 43π2sin 4x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数)， 即22222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数).
（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，
将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 得2222(3)(2)922
t t --++=， 整理，得24052t t +=+， 所以121252·
4t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩， 因为1212210,0,0,0t t t t t t <>∴<⋅<+ 所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=52， MA MB ⋅12t t ==4， 所以11MA MB +=MA MB MA MB +⋅524
=. 【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，以及直线参数方程的求解，涉及利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题，属综合基础题.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数()|1||2|f x x x a =++-．
（1）若1a =，解不等式()4f x <；
（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得2
24()m m f x -+=，求实数a 的取值范围． 【★答案★】（1）35(,)22
-（2）[2,1]-
【解析】
【分析】
（1）分类讨论求解绝对值不等式，即可求得结果；
（2）求得()f x 的值域以及224y m m =-+的值域，根据二次函数的值域是()f x 值域的子集，
求参数的范围即可.
【详解】（1）当1a =时，()4|1||2|4f x x x <⇒++-<，
化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩
解得312x -
<<-或12x -≤≤或522
x <<， 3522
x ∴-<<. 即不等式()4f x <的解集为35(,)22-. （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.
2224(1)33m m m -+=-+≥ 又由于()1221f x x x a a =++-≥+，
()f x ∴的值域为[|21|,)a ++∞
故|21|3a +≤，21a ∴-≤≤.
即实数a 的取值范围为[2,1]-.
【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式，以及由绝对值三角不等式求解绝对值函数的最小值，属综合性基础题.
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