平面向量 复习课件

又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.
解答
数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以 解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y12.
向量运算 向 量 的 线 性 运 算
法则（或几何意义）
加 三角形 法
平行四边形
坐标运算
a＋b＝(_x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2_)
向减 量法 的
三角形
源自文库
a－b＝ （_x_1－__x_2_，__y_1_－__y_2）_
线
性
(1)|λa|＝|λ||a|；
运 数 (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向
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解析 答案
4.若向量→OA＝(1，－3)，|→OA|＝|→OB|，O→A·→OB＝0，则|A→B|＝ 2 5 .
解析 由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形， 且腰长|O→A|＝|O→B|＝ 10， 由勾股定理得|A→B|＝ 20＝2 5.
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解析 答案
5.平面向量 a＝( 3，－1)，b＝12， 23，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t，使 x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且 x⊥y，试求函数关系式 k＝f(t).
第2章 平面向量 复习课件
学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征. 2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质. 3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法. 4.进一步理解向量的“工具”性作用.
内容索引
知识梳理 题型探究 达标检测
知识梳理
1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
类型三 向量坐标法在平面几何中的应用
例3 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′， 求顶角A的余弦值的大小.
解答
反思与感悟
把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐 标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的 解题方法具有普遍性.
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果 b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝ λa .
3.向量的平行与垂直
a，b为非零向量， 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b 有唯一实数λ使得b_＝__λ__a_(_a_≠__0_) x1y2－x2y1＝0
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解析 答案
2.设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4.若点 M，N 满足→BM＝ 3M→C，→DN＝2N→C，则A→M·→NM＝ 9 . 解析 ▱ABCD的图象如图所示，由题设知，
→ AM＝A→B＋B→M＝→ AB＋34A→D，→ NM＝13A→B－14A→D，
解 由 a＝( 3，－1)，b＝21， 23，得 a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1， 由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，
即－4k＋t3－3t＝0，
所以 k＝14(t3－3t)，令 f(t)＝14(t3－3t)， 所以函数关系式为 k＝f(t)＝14(t3－3t).
λa＝
算 乘 _相__同_；当λ＜0时，λa的方向与a的方 （_λ__x_1_，__λ__y_1_）_
向 相反 ；当λ＝0时，λa＝0
向量的 a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角) 数量积 规定0·a＝0，数量积的几何意义是a 运算 的模与b在a方向上的投影的积
a·b＝ _x_1x_2_＋__y_1_y_2
提示 答案
题型探究
类型一 向量的线性运算
例 1 如图所示，在△ABC 中，A→N＝13→ NC，P 是 BN 上的一点，若→ AP＝mA→B＋
121→ AC，则实数 m 的值为
3 11
.
解析 设B→P＝λB→N，
则B→P＝B→A＋A→P＝－A→B＋mA→B＋121A→C＝(m－1)A→B＋121A→C.
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解答
规律与方法
1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不 同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两 个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做 题时要善于从不同的角度考虑问题. 2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定 要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.
B→N＝B→A＋→ AN＝－→ AB＋14A→C.
∵→ BP与B→N共线，
∴14(m－1)＋121＝0，∴m＝131.
解析 答案
反思与感悟
向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向 量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.
跟踪训练 1 如图，在△ABC 中，E 为线段 AC 的中点，试问在线段 AC 上
a⊥b
a_·__b_＝__0_
_x_1_x_2＋__y_1_y_2_＝__0
[思考辨析 判断正误]
1.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × ) 提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底.
2.若向量A→B和向量C→D 共线，则A，B，C，D四点在同一直线上.( × ) 提示 也可能AB∥CD. 3.若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( × ) 4.若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.( × ) 提示 当a，b同向共线时，a·b>0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时， a·b<0，但a和b的夹角为π.
所以当点 D 为 AC 的三等分点C→D＝31C→A时，B→D＝13B→C＋23→BE.
解答
类型二 向量的数量积运算
例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，3且|ka＋b|＝ |a－kb|(k>0). (1)用k表示数量积a·b； 解 由|ka＋b|＝ 3 |a－kb|， 得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝ cos2α＋sin2α＝1，|b|＝ cos2β＋sin2β＝1，
2.两个定理
(1)平面向量基本定理 ①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平 面内的 任意 向量a，有且只有一对 实数λ1，λ2，使a＝_不__共__线__. ②基底：把 所有 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 λ1e1＋λ2e2 向量的 一组基底.
(2)向量共线定理
跟踪训练 3 如图，半径为 3的扇形 AOB 的圆心角为 120°，点 C 在 »AB上， 且∠COB＝30°，若→ OC＝λ→ OA＋μ→ OB，则 λ＋μ＝ 3 .
解析 答案
达标检测
1.在菱形 ABCD 中，若 AC＝2，则C→A·A→B＝ －2 . 解析 如图，设对角线AC与BD交于点O， ∴→AB＝A→O＋O→B. C→A·A→B＝→CA·(A→O＋→OB)＝－2＋0＝－2.
∴－3m≠－m－1，解得 m≠12， ∴当实数 m≠12时满足条件.
解答
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值. 解 若△ABC为直角三角形，且∠A为直角， 则→ AB⊥A→C，而A→B＝(3，1)，A→C＝(2－m，1－m)， ∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得 m＝74.
解答
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π) cos θ＝|aa· ||bb|＝ x21＋x1xy212＋yx1y22＋2 y22.
反思与感悟
跟踪训练 2 已知向量O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C＝(5－m，－(3＋m)).
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线， ∵→ OA＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C＝(5－m，－(3＋m))， ∴→ AB＝(3，1)，→ BC＝(－m－1，－m)， ∵→ AB与B→C不平行，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝2k82＋ k 2＝k24＋k 1.
解答
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小. 解 a·b＝k24＋k 1＝14k＋k1.
由对勾函数的单调性可知，
f(k)＝14k＋k1在(0，1]上单调减，在[1，＋∞)上是单调增， ∴当 k＝1 时，f(k)min＝f(1)＝14×(1＋1)＝12， 此时 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值 cos θ＝|aa· ||bb|＝12，
谢谢
∴→ AM·N→M＝A→B＋43A→D·31A→B－14A→D
＝13|A→B|2－136|→ AD|2＋14A→B·→ AD－14A→B·→ AD＝13×36－136×16＝9.
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解析 答案
3.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值
为 －2 .
解析 ma＋4b＝(2m－4，3m＋8)，a－2b＝(4，－1). ∵ma＋4b与a－2b共线， ∴(2m－4)×(－1)－(3m＋8)×4＝0，解得m＝－2.
是否存在一点 D，使得B→D＝13→BC＋23B→E，若存在，说明 D 点位置；若不存在，
说明理由.
解 假设存在 D 点，使得→ BD＝13B→C＋23B→E. B→D＝13→ BC＋23B→E⇒B→D＝13→ BC＋23(→ BC＋C→E)＝→ BC＋23C→E
⇒B→D－B→C＝23C→E⇒→CD＝23C→E⇒C→D＝23×12→CA⇒→CD＝13C→A.