最全的高中数学数列练习题附答案与解析

数列
1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，若是a n ＝2 005，那么序号n 等于( )．
A ．667
B ．668
C ．669
D ．670
2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，那么a 3＋a 4＋a 5＝( )．
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
3．若是a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )．
A ．a 1a 8＞a 4a 5
B ．a 1a 8＜a 4a 5
C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5
D ．a 1a 8＝a 4a 5
4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为
41的等差数列，那么 ｜m －n ｜等于( )．
A ．1
B ．43
C ．21
D ． 8
3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，那么{a n }的前4项和为( ).
A ．81
B ．120
C ．168
D ．192
6．假设数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，那么使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．
A ．4 005
B ．4 006
C ．4 007
D ．4 008
7．已知等差数列{a n }的公差为2，假设a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )．
A ．－4
B ．－6
C ．－8
D ． －10
8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设
35a a ＝95，那么59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2
1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，那么
212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4
1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，假设S 2n －1＝38，那么n ＝( )．
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
二、填空题
11．设f (x )＝221
+x ，利用讲义中推导等差数列前n 项和公式的方式，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋
f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .
12．已知等比数列{a n }中，
(1)若a 3·a 4·a 5＝8，那么a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ．
(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，那么a 5＋a 6＝ ．
(3)若S 4＝2，S 8＝6，那么a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .
13．在3
8和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的乘积为 ． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，那么此数列前13项之和为 .
15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，那么a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .
16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线只是同一点．假设用f (n )表示这n 条直线交点的个数，那么f (4)＝ ；当n ＞4时，f (n )＝ ．
三、解答题
17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.
(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，c
b a +也成等差数列. 18．设{a n }是公比为 q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．
(1)求q 的值；
(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．
19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝
n n 2+S n (n ＝1，2，3…)． 求证：数列{n
S n }是等比数列． 20．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.
数列
参考答案
一、选择题
1．C
解析：由题设，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．
2．C
解析：此题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．
设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，
即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．
解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，
∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．
3．B ．
解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．
又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，
∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．
4．C
解析：
解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝4
1＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2
－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，
∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，
∴d ＝
21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，16
15别离为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝
21，应选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．
由等差数列的性质：假设γ＋s ＝p ＋q ，那么a γ＋a s ＝a p ＋a q ，假设设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，4
7， ∴m ＝167，n ＝16
15， ∴｜m －n ｜＝
21． 5．B
解析：∵a 2＝9，a 5＝243，2
5a a ＝q 3＝9243＝27， ∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，
∴S 4＝3－13－35＝2
240＝120． 6．B
解析：
解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，那么公差为负数，不然各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.
∴S 4 006＝
2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0， ∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝2
0074·2a 2 004＜0， 故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ．
解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同
解法1的分析
得a 2 003＞0，a 2 004＜0，
∴S 2 003为S n 中的最大值．
∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，
∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，
∴20074在对称轴的右边． 依照已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右边
零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右边，S n ＞0的最大自然数是4 006．
7．B
解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，
又由a 1，a 3，a 4成等比数列，(第6题)
∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，
∴a 2＝－8＋2＝－6．
8．A 解析：∵59S S ＝2
)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1，∴选A ． 9．A
解析：设d 和q 别离为公差和公比，那么－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，
∴d ＝－1，q 2＝2， ∴212b a a -＝2q d -＝2
1． 10．C
解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，
又a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，
而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，
∴n ＝10．
二、填空题
11．23．
解析：∵f (x )＝2
21+x ， ∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222⋅+＝x x 2
2221+， ∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x
x 22221+⋅＝x x 222211+⋅+＝x x 22)22(21++＝22． 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，
则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，
∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，
∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．
12．（1）32；（2）4；（3）32．
解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，
∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．
（2）9136)(324222
121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ， ∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．
（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q q
S S a a a S a a a a S ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．
13．216． 解析：此题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因其中间数必与3
8，227同号，由等比中项的中间数为
22738⋅＝6，∴插入的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．
解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，
∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，
∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2
＋13104)(a a ＝2413⨯＝26． 15．－49．
解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，
∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝
2
＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )
＝－49．
16．5，2
1(n ＋1)(n －2)． 解析：同一平面内两条直线假设不平行那么必然相交，故每增加一条直线必然与前面已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．
由f (3)＝2，
f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，
f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，
……
f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，
相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝
21(n ＋1)(n －2)． 三、解答题
17．分析：判定给定数列是不是为等差数列关键看是不是知足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，
n ＝1时，亦知足，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．
首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，
∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．
（2）∵
a 1，
b 1，
c 1成等差数列， ∴b 2＝a 1＋c
1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2
＋＋2)()(c a b c a ＝2·b
c a ＋， ∴a c b ＋，b
a c ＋，c
b a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，
∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，
∴q ＝1或－2
1． （2）假设q ＝1，那么S n ＝2n ＋2
1－)(n n ＝23＋2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝2
2＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ． 若q ＝－21，那么S n ＝2n ＋2
1－)(n n (－21)＝49＋－2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4
－11－)0)((n n ， 故关于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．
19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n
n 2＋S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ， 因此
1＋1＋n S n ＝n S n 2． 故{n
S n }是以2为公比的等比数列． 20．证明：由a 1，2a 7，3a 4成等差数列，得4a 7＝a 1＋3a 4，即4 a 1q 6＝a 1＋3a 1q 3， 变形得(4q 3＋1)(q 3－1)＝0，
∴q 3＝－4
1或q 3＝1(舍)． 由3612S S ＝q
q a q q a ----1)1(121)
1(3161＝12
13q +＝161； 6612S S S -＝612S S －1＝q
q a q q a ----1)1(1)
1(61121－1＝1＋q 6－1＝16
1； 得3
612S S ＝6612S S S -． ∴12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．。