四动量
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t1
F
dt
于是得到积分形式 I p2 p1
动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲
量，等于该物体动量的增量。
动量定理的几点说明：
(1)冲量的方 向：
是所有冲元量冲I 量的方F向d一t的般合不矢是量某t一t12 F瞬 时d t力的方Fi向的。方向，而
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
2.若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量 为 0，这个方向上的动量守恒。
3.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果 系统的内力>>外力，可近似认为动量守恒。
例题2-8 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将 在何处相遇？
m2
m1 C
O x20
一、功的概念
1.恒力的功
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。
F
F
A Fr cos
F r
r
明确几点
f静
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参照系有关
2.变力的功
物体在变力的作
用下从a运动到b。
i
质点系 F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力
约定：系统内任一质点受力之和写成
外力之和
Fi fi
内力之和
二、 质心
对于N个质点组成的质点系：
mr11,,rm2,2,, ,rim,i ,rNmN
M mi
y mN
rc miri / M m1 rN
c ri
rc
xc mixi / M yc mi yi / M
r1
r2 O
zc mi zi / M
z
mi
m2 x
对于质量连续分布的物体
rc
rdm dm
rdm m
线分布 d m dl
面分布 d m d S
体分布 d m dV
y
c
rc dm
dy
Rx O
yc
y d m R y (R2 y2 ) d y m 0 2R3 / 3
R 0
R2 y2 d y2 4R3 / 3
3R 8
质心在距球心 3R/8处。
三、 质心运动定理
设有一个质点系，由 n个质点组成，它的质心
的位矢是：
rc
mi ri mi
解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：
锤对工件的冲力变化范围很大，采
用平均冲力计算，其反作用力用平均支
持力代替。
在竖直方向利用动量定理，取竖直 向上为正。
FN
(FN mg)t mv mv0
初状态动量为 m 2gh
末状态动量为0
mg
得到 (FN mg)t m 2gh 解得 FN mg m 2gh / t
vf dv u M f dM (6)
vi
M Mi
vf
vi
u ln
Mi Mf
(7)
火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。
与火箭始末质量的自然对数成正比。
提高火箭速度的途径有二：
第一条是提高火箭喷气速度u(选优质燃料 )
第二条是加大火箭质量比M0/M(采取多级火箭)
§2-3 功 动能 动能定理
1)v1dt
m1 m2 m2
t 0
－v1dt
即
t 0
v1dt
m2 x20 m1
m2 x10 m2
令x1=xc得
xc
x10
m2 x20 m2 x10 m1 m2
m2 x20 m1 x10 m1 m2
上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们 共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定 律求出
在火箭喷出气体 dm 前 ，系统动量： Mv 喷出气体 dm 后 ，火箭的动量：(M dM )(v dv)
喷出气体 dm 的动量： dm (u v dv)
由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统动量守恒：
dm (u v dv) (M dM )(v dv)
Mv
F
的大小，根据改变动量的等效性， 得到平均力。
t1 t2 t
将积分用平
均力代替
t2 Fdt Ft
t1
动量定 理写为
Ft P
平均力写为
F
P
t
t2 Fdt
平均力大小： F t1 t2 t1
例题2-2 质量m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间 (1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
F
i
ac
Fi mi
Fi
M
Fi Mac
质心运 动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力
作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
例 一船浮于静水中，船长 5 米，质量为 m。一个 质量亦为 m 的人从船尾走到船头，不计水和空气 的阻力，则在此过程中船将（A）不动（B）后退 5米（C）后退2.5米（D）后退5/3米。
选（C） x人 x船 2.5
人在船上行走
§2-2 动量定理 动量守恒定律
一、 动量定理
由牛顿第F二d定t 律的d微p分形式
考虑一tt12过F程d，t 时间从pp12dt1-pt2，两p端2 积分p1
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。
I
t2
A mg;
B
3m g
4
;
C 31 mg / 4; D 1 mg .
例如图示情况，设M >> m，当去掉支撑物后，分析
m的运动：
匀
速
率
M O· m v
M O· g vm
O·-mg
圆 周
m运
vT 动
支撑物 光滑轨道
光滑轨道
mg 在M参考系中观察
三个定理 三个守恒定律
mv d mu
m
末时刻
(m d m)(v d v)
F
dm u v
m+dm
v d v
t
t dt
对系统利用动量定理
(m
d
m)(v
d v)
mv
d mu
F
dt
m
d
v
d
m
d
v
d
mv
d
mu
F
d
t
略去二阶小量，两端除dt
d
(mv)
代入m、h、t的值，求得：
(1) FN = 1.92? 105 N
(2) FN = 1.9? 106 N
二、变质量物体的运动方程
物 体 m 与 质 元 dm 在 t 时 刻 的 速 度 以 及 在 t+dt 时 刻合并后的共同速度如图所示：
把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时
刻的动量分别为：
初始时刻
动量定理 角动量定理 动能定理
动量守恒定律 角动量守恒定律 机械能守恒定律
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统-- 研究对象称为质点系。
内力：系统内部各质点间的相互作用力
f'
特点：成对出现；大小相等方向相反
f
结论：质点系的内力之和为零 fi 0
例. 如图所示系统置于以 g /2 的加速度上升的升降机内，
A、B 两木块质量均为 m，A 所处桌面是水平的，绳子和
定滑轮质量均不计。
A
（1） 若忽略一切摩擦，则绳中张 力为 （A） mg;（B）mg/2;
（C）2mg;（D）3mg/4.
g
B
2
（2）若 A 与桌面间的摩擦系数为
（系统仍加速滑动），则绳中张力为
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
质心的加速度为
ac
d vc
dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛mm顿21a第a12二定mm律12 dd得ddvvt1t2
F1 f12 f13 f1n
F2 f22 f23 f2n
mn an
mn
d vn dt
Fn
fn2
fn3
fnn
对于内力 f12 f21 0,, fin fni 0,
ac
mi
ai miai mi
Ix
t2 t1
Fx d t
mv2 x
mv1x
Iy
t2 t1
Fy
d
t
mv2 y
mv1y
Iz
t2 t1
Fz
dt
mv2 z
mv1z
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
打
击或
碰撞
，力
F
的
方向
保
F
持 就是不t变1到，t曲2这线段与时t轴间所内包力围F 的的面冲积量
t
x2 x20 0 v2dt
在相遇时，x1=x2=xc，于是有
t
t
x10 0 v1dt x20 0 v2dt
即
t
x10 x20 0 (v2 v1)dt
因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式上式得
x10 x20
t－( m1 0 m2
dm(v dv u) (M dM )(v dv)
Mv (1)
dm dM (2)
dM dv 0 (3)
将（2）、（3）式代入（1）式中并整理得到：
udM Mdv 0 (4)
dv u dM (5) M
设火箭在点火前质量为Mi，初速度为 vi
设火箭在燃料烧完后质量为Mf，速度为 vf
dm dl
xc 0 , yc 2R /
yc
ydl
m
0 R sin Rd
m
2 R 2
m
2 R 2 R
例 确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标
y
已知薄圆盘的质心位于圆心，取 厚度为dy的薄圆盘为质量微元。
d m dV R2 y2 d y
四、火箭飞行原理
X
选地面参考系，并建立直角坐标系
v+dv
t +dt 时刻火箭的速度
t+dt
M+dM
t +dt 时刻火箭的质量
u t +dt 时刻喷出气体相对于火箭的速度 dm t +dt 时刻喷出气体的质量
v t 时刻 火箭的速度
t
O
M t 时刻 火箭的质量
选 t 时刻火箭及内部气体为系统，对于地面参考系
薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量
dm 2x dx
三角形质心坐标xc是
y a
xc
xdm
a/
2
2
x2dx
0
2a
m
1 a2
3
O
x
x
2
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R,求此半圆 形铁丝的质心。
解：建立如图坐标系 任取一小段铁丝， 其 长 度 为 dl ， 质 量 为 dm ， 以 λ 表 示 铁 丝的线密度
r
O
x
z
注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心 与重心位置重合。
例题2-1求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
解:建立图示坐标, 在离原点x处取宽度为dx的面积元， 由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设
x10 x
解:把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受
外力，此方向的动量守恒。
建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右
为x轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为x10, 质量为m2的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分 别v1为v2,相应坐标为x1和x2由运动学公式得
t
x1 x10 0 v1dt
dm
u
F
dt
dt
变质量物 体运动微 分方程
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时， 表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，
d m u 为尾气推力。 dt
三、动量守恒定律
如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0 ），则 系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律.
条件
解：系统（人、船）质心保持静止。以岸为参照系，
开始时：
m
m人 x人 m船 x船 2mxc
c
mm
m ( 1.25 ) m 1.25 0 m c
x
o
运动过程质心位置不变：
m人 x人 m船 x船 2mxc 0
x人 x船 0
x人 x船 1.25m
å 定律
Fi 0 r P=
mi
r vi
=常量
直角坐标系下的分i 量形式
Fix 0 时
px mivix
Fiy 0时 Fiz 0时
py miviy =常量
pz miviz
明确几点
1.对于一个质点系，若合外力为 0，系统的总动量 保持不变，但系统内的动量可以相互转移。
F
dt
于是得到积分形式 I p2 p1
动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲
量，等于该物体动量的增量。
动量定理的几点说明：
(1)冲量的方 向：
是所有冲元量冲I 量的方F向d一t的般合不矢是量某t一t12 F瞬 时d t力的方Fi向的。方向，而
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
2.若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量 为 0，这个方向上的动量守恒。
3.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果 系统的内力>>外力，可近似认为动量守恒。
例题2-8 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将 在何处相遇？
m2
m1 C
O x20
一、功的概念
1.恒力的功
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。
F
F
A Fr cos
F r
r
明确几点
f静
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参照系有关
2.变力的功
物体在变力的作
用下从a运动到b。
i
质点系 F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力
约定：系统内任一质点受力之和写成
外力之和
Fi fi
内力之和
二、 质心
对于N个质点组成的质点系：
mr11,,rm2,2,, ,rim,i ,rNmN
M mi
y mN
rc miri / M m1 rN
c ri
rc
xc mixi / M yc mi yi / M
r1
r2 O
zc mi zi / M
z
mi
m2 x
对于质量连续分布的物体
rc
rdm dm
rdm m
线分布 d m dl
面分布 d m d S
体分布 d m dV
y
c
rc dm
dy
Rx O
yc
y d m R y (R2 y2 ) d y m 0 2R3 / 3
R 0
R2 y2 d y2 4R3 / 3
3R 8
质心在距球心 3R/8处。
三、 质心运动定理
设有一个质点系，由 n个质点组成，它的质心
的位矢是：
rc
mi ri mi
解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：
锤对工件的冲力变化范围很大，采
用平均冲力计算，其反作用力用平均支
持力代替。
在竖直方向利用动量定理，取竖直 向上为正。
FN
(FN mg)t mv mv0
初状态动量为 m 2gh
末状态动量为0
mg
得到 (FN mg)t m 2gh 解得 FN mg m 2gh / t
vf dv u M f dM (6)
vi
M Mi
vf
vi
u ln
Mi Mf
(7)
火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。
与火箭始末质量的自然对数成正比。
提高火箭速度的途径有二：
第一条是提高火箭喷气速度u(选优质燃料 )
第二条是加大火箭质量比M0/M(采取多级火箭)
§2-3 功 动能 动能定理
1)v1dt
m1 m2 m2
t 0
－v1dt
即
t 0
v1dt
m2 x20 m1
m2 x10 m2
令x1=xc得
xc
x10
m2 x20 m2 x10 m1 m2
m2 x20 m1 x10 m1 m2
上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们 共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定 律求出
在火箭喷出气体 dm 前 ，系统动量： Mv 喷出气体 dm 后 ，火箭的动量：(M dM )(v dv)
喷出气体 dm 的动量： dm (u v dv)
由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统动量守恒：
dm (u v dv) (M dM )(v dv)
Mv
F
的大小，根据改变动量的等效性， 得到平均力。
t1 t2 t
将积分用平
均力代替
t2 Fdt Ft
t1
动量定 理写为
Ft P
平均力写为
F
P
t
t2 Fdt
平均力大小： F t1 t2 t1
例题2-2 质量m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间 (1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
F
i
ac
Fi mi
Fi
M
Fi Mac
质心运 动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力
作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
例 一船浮于静水中，船长 5 米，质量为 m。一个 质量亦为 m 的人从船尾走到船头，不计水和空气 的阻力，则在此过程中船将（A）不动（B）后退 5米（C）后退2.5米（D）后退5/3米。
选（C） x人 x船 2.5
人在船上行走
§2-2 动量定理 动量守恒定律
一、 动量定理
由牛顿第F二d定t 律的d微p分形式
考虑一tt12过F程d，t 时间从pp12dt1-pt2，两p端2 积分p1
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。
I
t2
A mg;
B
3m g
4
;
C 31 mg / 4; D 1 mg .
例如图示情况，设M >> m，当去掉支撑物后，分析
m的运动：
匀
速
率
M O· m v
M O· g vm
O·-mg
圆 周
m运
vT 动
支撑物 光滑轨道
光滑轨道
mg 在M参考系中观察
三个定理 三个守恒定律
mv d mu
m
末时刻
(m d m)(v d v)
F
dm u v
m+dm
v d v
t
t dt
对系统利用动量定理
(m
d
m)(v
d v)
mv
d mu
F
dt
m
d
v
d
m
d
v
d
mv
d
mu
F
d
t
略去二阶小量，两端除dt
d
(mv)
代入m、h、t的值，求得：
(1) FN = 1.92? 105 N
(2) FN = 1.9? 106 N
二、变质量物体的运动方程
物 体 m 与 质 元 dm 在 t 时 刻 的 速 度 以 及 在 t+dt 时 刻合并后的共同速度如图所示：
把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时
刻的动量分别为：
初始时刻
动量定理 角动量定理 动能定理
动量守恒定律 角动量守恒定律 机械能守恒定律
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统-- 研究对象称为质点系。
内力：系统内部各质点间的相互作用力
f'
特点：成对出现；大小相等方向相反
f
结论：质点系的内力之和为零 fi 0
例. 如图所示系统置于以 g /2 的加速度上升的升降机内，
A、B 两木块质量均为 m，A 所处桌面是水平的，绳子和
定滑轮质量均不计。
A
（1） 若忽略一切摩擦，则绳中张 力为 （A） mg;（B）mg/2;
（C）2mg;（D）3mg/4.
g
B
2
（2）若 A 与桌面间的摩擦系数为
（系统仍加速滑动），则绳中张力为
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
质心的加速度为
ac
d vc
dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛mm顿21a第a12二定mm律12 dd得ddvvt1t2
F1 f12 f13 f1n
F2 f22 f23 f2n
mn an
mn
d vn dt
Fn
fn2
fn3
fnn
对于内力 f12 f21 0,, fin fni 0,
ac
mi
ai miai mi
Ix
t2 t1
Fx d t
mv2 x
mv1x
Iy
t2 t1
Fy
d
t
mv2 y
mv1y
Iz
t2 t1
Fz
dt
mv2 z
mv1z
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
打
击或
碰撞
，力
F
的
方向
保
F
持 就是不t变1到，t曲2这线段与时t轴间所内包力围F 的的面冲积量
t
x2 x20 0 v2dt
在相遇时，x1=x2=xc，于是有
t
t
x10 0 v1dt x20 0 v2dt
即
t
x10 x20 0 (v2 v1)dt
因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式上式得
x10 x20
t－( m1 0 m2
dm(v dv u) (M dM )(v dv)
Mv (1)
dm dM (2)
dM dv 0 (3)
将（2）、（3）式代入（1）式中并整理得到：
udM Mdv 0 (4)
dv u dM (5) M
设火箭在点火前质量为Mi，初速度为 vi
设火箭在燃料烧完后质量为Mf，速度为 vf
dm dl
xc 0 , yc 2R /
yc
ydl
m
0 R sin Rd
m
2 R 2
m
2 R 2 R
例 确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标
y
已知薄圆盘的质心位于圆心，取 厚度为dy的薄圆盘为质量微元。
d m dV R2 y2 d y
四、火箭飞行原理
X
选地面参考系，并建立直角坐标系
v+dv
t +dt 时刻火箭的速度
t+dt
M+dM
t +dt 时刻火箭的质量
u t +dt 时刻喷出气体相对于火箭的速度 dm t +dt 时刻喷出气体的质量
v t 时刻 火箭的速度
t
O
M t 时刻 火箭的质量
选 t 时刻火箭及内部气体为系统，对于地面参考系
薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量
dm 2x dx
三角形质心坐标xc是
y a
xc
xdm
a/
2
2
x2dx
0
2a
m
1 a2
3
O
x
x
2
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R,求此半圆 形铁丝的质心。
解：建立如图坐标系 任取一小段铁丝， 其 长 度 为 dl ， 质 量 为 dm ， 以 λ 表 示 铁 丝的线密度
r
O
x
z
注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心 与重心位置重合。
例题2-1求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
解:建立图示坐标, 在离原点x处取宽度为dx的面积元， 由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设
x10 x
解:把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受
外力，此方向的动量守恒。
建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右
为x轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为x10, 质量为m2的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分 别v1为v2,相应坐标为x1和x2由运动学公式得
t
x1 x10 0 v1dt
dm
u
F
dt
dt
变质量物 体运动微 分方程
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时， 表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，
d m u 为尾气推力。 dt
三、动量守恒定律
如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0 ），则 系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律.
条件
解：系统（人、船）质心保持静止。以岸为参照系，
开始时：
m
m人 x人 m船 x船 2mxc
c
mm
m ( 1.25 ) m 1.25 0 m c
x
o
运动过程质心位置不变：
m人 x人 m船 x船 2mxc 0
x人 x船 0
x人 x船 1.25m
å 定律
Fi 0 r P=
mi
r vi
=常量
直角坐标系下的分i 量形式
Fix 0 时
px mivix
Fiy 0时 Fiz 0时
py miviy =常量
pz miviz
明确几点
1.对于一个质点系，若合外力为 0，系统的总动量 保持不变，但系统内的动量可以相互转移。