2013年《随堂优化训练》物理人教版必修2第五章曲线运动《章末整合》

答案：B
【触类旁通】 3．(2010 年全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的
斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图 5－10 中虚 线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离
之比为( ) A．tan θ B．2tan θ
C.ta1n θ D.2ta1n θ
图 5－10
解析：如图 5 所示，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜 面倾角 θ，有 tan θ＝vg0t，则下落高度与水平射程之比为yx＝12vg0tt2＝ 2gvt0＝2ta1n θ，D 正确．
桥的顶端时的最大速度是 gR.
(2)小球在最高点时，受重力 mg 和绳子拉力 FT 的作用，两 力的合力提供向心力，即
mg＋FT＝mRv2，FT＝mRv2－mg v 越小，FT 越小，当 FT＝0 时，v 取得最小值 vmin＝ gR 若小球的速度小于该速度，则将在到达最高点之前就偏离 轨道而不能做完整的圆周运动，因此小球在最高点的最小速度 是 gR.
图4 答案：C
专题二 平抛运动的特征和解题方法 平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征是： 水平方向有初速度和不受外力，竖直方向只受重力而无初速度． 抓住平抛运动的这个初始条件，也就抓住了它的解题关键，现 将常见的几种解题方法介绍如下： (1)利用平抛运动的时间特点解题： 平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的 自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速 度就相同．
续表
类型 受力特点
小球在 竖直细 管内转 动
管对球的 弹力 FN 可以向上 也可以向 下
在最高点 球壳外 时弹力 FN 的小球 的方向向
上
图示
最高点的运动情况
依据 mg＝mRv20判断，若 v＝v0，FN ＝0；若 v<v0，FN 向上；若 v>v0， FN 向下
①如果刚好能通过球壳的最高点 A，则 vA＝0，FN＝mg ②如果到达某点后离开球壳面， 该点处小球受到壳面的弹力 FN＝ 0，之后改做斜抛运动，若在最高 点离开则为平抛运动
T＝ Δgy＝
FC － AF
FE
g ，v0＝ T ＝ FE
g FC － AF .
图 5－7
【例3】如图 5－8 所示为一物体做平抛运动的 x－y 图象，
物体从 O 点抛出，x、y 分别表示其水平位移和竖直位移．在物
体运动过程中的某一点 P(a，b)，其速度的反向延长线交于 x 轴
的 A 点(A 点未画出)，则 OA 的长度为( )
2πr T 2π T
v＝ωr
v2 r
ω2r
专题一 曲线运动和运动的合成与分解 1．曲线运动： (1)条件：物体所受合外力的方向与速度的方向不在同一直 线上，或物体的加速度的方向与速度的方向不在同一直线上． (2)现象：物体运动的轨迹为曲线，曲线向受力的方向一侧 弯曲，或合外力的方向指向轨迹的凹侧．
t＝
2R g
则轮子的角速度应满足条件
ω＝θt ＝(2n＋32)π 2gR，其中 n 为自然数．
(2)点 A 与质点 B 的速度相同时，点 A 的速度方向必然向下，
是恒力，那么物体的加速度为
a＝mF＝2
2
2 kg
N＝
2
m/s2，又因
为 F 与 v 的夹角 θ<90°，所以物体做速度
越来越大、加速度恒为 2 m/s2 的匀变速
曲线运动，故 B、C 正确．
答案：BC
图5－1
【例2】如图 5－2 所示，在水平地面上做匀速直线运动的 汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在
同一时刻的速度分别为 v1 和 v2，则下列说法正确的是( )
A．物体做匀速运动，且 v2＝v1
B．物体做加速运动，且 v2>v1
C．物体做加速运动，且 v2<v1
D．物体做减速运动，且 v2<v1
图 5－2
解析：汽车向左运动，这是汽车的实际运动，故为汽车的 合运动．汽车的运动导致两个效果：一是滑轮到汽车之间的绳 变长了；二是滑轮到汽车之间的绳与竖直方向的夹角变大了． 显然汽车的运动是由沿绳方向的直线运动和垂直于绳改变绳与 竖直方向的夹角的运动合成的，故应分解车的速度，如图5－3 所示，沿绳方向上有速度v2＝v1sin θ.由于v1 是恒量，而θ逐渐 增大，所以 v2 逐渐增大，故被吊物体 做加速运动，且 v2＜v1，C 正确．
答案：D
图5
4．(2011 年海南卷)如图 5－11 所示，水平地面上有一个坑， 其竖直截面为半圆，ab 为沿水平方向的直径．若在 a 点以初速 度 v0 沿 ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的 c 点．已知 c 点与水平地面的距离为坑半径的一半，求坑的半径．
图 5－11
解：设坑的半径为 r，由于小球做平抛运动，则
A．物体做速度大小不变的曲线运动 B．物体做加速度为 2 m/s2 的匀变速曲线运动 C．物体做速度越来越大的曲线运动 D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
解析：物体原来所受到的合外力为零，当将与速度方向相
反的 2 N 的力水平旋转 90°后，其受力情况如图 5－1 所示，其
中 F 是 Fx、Fy 的合力，即 F＝2 2 N，且大小、方向都不变，
【例4】(1)如图 5－12 所示，凸形拱桥半径为 R，汽车过 桥的顶端时的最大速度是多少？
(2)如图 5－13 所示，长为 R 的轻绳一端系一小球绕另一端在 竖直平面内做圆周运动，则小球在最高点的最小速度是多少？
(3)如果图 5－13 为长为 R 的轻杆一端系一小球绕另一端在 竖直平面内做圆周运动，则小球在最高点的最小速度是多少？
(4)判断是否为直线运动的关键是确定合运动的速度和合加速 度(恒定)之间的方向关系，两者如果在一条直线上则做匀变速直线 运动，否则就做匀变速曲线运动．
【例1】(双选)在光滑水平面上有一质量为 2 kg 的物体， 受到几个共点力的作用做匀速直线运动．现突然将与速度方向 相反的2 N 的力水平旋转90°，则下列关于物体运动情况的叙述 正确的是( )
2.运动合成的常见类型： (1)不在一条直线上的两个匀速直线运动的合运动一定是匀速 直线运动． (2)不在一条直线上的两个分运动，一个为匀速直线运动，另 一个为匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动．
(3)不在一条直线上的两个分运动，分别做匀变速直线运动， 其合运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动．
(3)利用平抛运动的轨迹解题： 平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上任一段的运 动情况，就可求出水平初速度，其他物理量也就迎刃而解了． 设图 5－7 为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点 A 和 B，分别过 A 点作竖直线和过 B 点作水平线相交于 C 点， 然后过 BC 的中点 D 作垂线交轨迹于 E 点，过 E 点再作水平线 交 AC 于 F 点，由于小球经过 AE 和 EB 的时间相等，设为单位 时间 T，则有
x＝v0t
①
y＝0.5r＝12gt2
②
过 c 点作 cd⊥ab 于 d 点，则有 Rt△acd∽Rt△cbd
可得 cd 2＝ ad ·db
即为(2r)2＝x(2r－x)
③
又因为 x>r，联立①②③式解得 r＝47－g4 3v20.
专题三 圆周运动的典型类型
类型 受力特点
用细绳
拴一小 球在竖 直平面
A．a
B．0.5a
C．0.3a D．不能确定
图 5－8
解析：作出图示(如图 5－9 所示)，设 v 与竖直方向的夹角
为 α，根据几何关系得 tan α＝vv0y①
由平抛运动得水平方向有 a＝v0t②
竖直方向有 b＝12vyt③
由①②③式得 tan α＝2ab
图5－9
在 Rt△AEP 中， AE ＝b tan α＝a2，所以 OA ＝a2.
答案：C
图 5－3
【触类旁通】
1．(2011 年上海卷)如图 5－4 所示，人沿平直的河岸以速
度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进．此 过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为α时，船的速率
为( )
A．vsin α
B. v sin α
C．vcos α
D. v cos α
图 5－4
当小球在最高点的速度分别为 v1＝2 gR和 v2＝ 2gR时，求杆对 小球的作用力．
图 5－12
图5－13
解：(1)汽车在桥顶时，受重力 mg 和支持力 FN 的作用，两 力的合力提供向心力，则
mg－FN＝mRv2，FN＝mg－mRv2 v 越大，FN 越小，当 FN＝0 时，v 取得最大值 vmax＝ gR 若汽车在桥顶时速度超过此值，将飞离桥面，因此汽车过
(2)利用平抛运动的偏转角度解题：
图 5－6
设做平抛运动的物体，当下落高度为 h 时，水平位移为 s，
速度 vA 与初速度 v0 的夹角为θ，则由图 5－6 可得
tan θ＝vvyx＝vg0t＝vv0g20 t＝gvs20
①
将 vA 反向延长与 s 相交于 O 点，设 A′O＝d，则有 tan θ＝hd＝12gdvs02，代入①式解得 d＝12s tan θ＝hd，tan α＝hs＝2hd，所以 tan θ＝2tan α② ①②两式揭示了偏转角和其他各物理量的关系，是平抛运 动的一个规律，运用这个规律能巧解平抛运动的问题．
(3)当小球在最高点的速度小于 gR时，小球所需向心力小 于 mg，杆对小球的作用力 FN 竖直向上，满足
mg－FN＝mRv2 故小球在最高点的速度大于或等于零即可，因此小球在最 高点的最小速度是 0. 当 mg＝mRv20时，v0＝ gR 当 v>v0 时，杆对小球的作用力向下，反之当 v>v0 时向上．
(1)轮子的角速度ω满足什么条件时， 点 A 才能与质点 B 相遇？
(2)轮子的角速度ω′满足什么条件时， 点 A 与质点 B 的速度才有可能在某时刻相同？ 图 5－14
解：(1)点 A 只能与质点 B 在 d 处相遇，即轮子的最低处， 则点 A 从 a 处转到 d 处所转过的角度应为
θ＝2nπ＋32π，其中 n 为自然数． 由 h＝12gt2 知，质点 B 从 O 点落到 d 处所用的时间为
解析：依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的速度总是 沿着绳子的，根据绳子两端连接的物体在绳子方向上的投影速 度相同，可知人的速度 v 在绳子方向上的分量等于船速，故v船 ＝vcos α，C 正确．
答案：C
2．(2011 年江苏卷)如图 5－5 所示，甲、乙两同学从河中
O 点出发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返回
当 v1＝2 gR时，mg＋FN1＝mRv21，FN1＝3mg，杆对小球的作 用力方向向下．
当 v2＝ 2gR时，mg－FN2＝mRv22，FN2＝34mg，杆对球的作用 力方向向上．
【触类旁通】 5．(2012 年中山高一期末)如图 5－14 所示，按顺时针方向
在竖直平面内做匀速转动的轮子其边缘上有一点 A，当 A 通过 与圆心等高的 a 处时，有一质点 B 从圆心 O 处开始做自由落体 运动．已知轮子的半径为 R，求：
(3)分类： ①若物体所受的合外力为变力，则物体做一般的曲线运动； ②若物体所受的合外力为恒力，则物体做匀变速曲线运动． (4)合外力对速度大小的影响： ①合外力 F 与速度 v 之间的夹角为锐角时，速度增大； ②合外力 F 与速度 v 的方向总垂直时，速度大小不变； ③合外力 F 与速度 v 之间的夹角为钝角时，速度减小．
到 O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OA＝OB.
若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t甲、
t乙的大小关系为( )
A．t甲<t乙
B．t甲＝t乙
C．t甲>t乙 D．无法确定
图 5－5
解析：设游速为 v，水速为 v0，OA＝OB＝l，则 t 甲＝v＋l v0 ＋v－l v0；乙沿 OB 运动，乙的速度矢量图如图 4 所示，合速度 必须沿 OB 方向，则 t 乙＝2· v2l－v20，联立解得 t 甲>t 乙，C 正 杆对球可 杆的一 以是拉力 端在竖 也可以是 直平面 支持力 内转动
图示
最高点的运动情况
①若 F＝0，则 mg＝mRv2，v＝ gR ②若 F≠0，则 v> gR
①若 F＝0，则 mg＝mRv2，v＝ gR ②若 F 向下，则 mg＋F＝mvR2， v> gR ③若 F 向上，则 mg－F＝mRv2或 mg－F＝0，则 0≤v< gR