第八章：整数规划

11
分枝定界法
例 maxZ= 6x1 +5 x2
2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
• 第一步,不考虑变量的整数约束,求相应LP(问题1)的最优解：
x1=28/9，x2 =25/9，Z1=293/9
• 第二步,定界过程
这个解不满足整数约束，这时目标函值Z1是整数规划的目标上界； 因为x1=x2=0是整数规划问题的可行解，所以下界为0。
16
分枝定界法
问题6：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x2 ≥3 x1≤2 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数 问题7： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1 ≥ 3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
• 第六步，定界过程
LP4的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是28， 小于原有下界29，则下界仍为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为159/5。 LP5的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值159/5大于 现有下界29，则应继续分枝。
• 第七步，分枝过程
将不满足整数约束的变量x1 进行分枝，构造两个新的约束条件： x1≤ [14/5]=2，x1≥ [14/5] +1=3
3 2 1
• • •
1
• • பைடு நூலகம் •
2x1 + 3 x2 =14.66
• •
• •
2x1 +3 x2 =14
2 +3 x =6 2x1 3 2 4
x1
6
整数规划的特点及图解法
• 例 设整数规划问题如下
m ax Z x1 x 2 14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
• 第十步，定界过程
LP8的最优解，满足整数约束，不必再分枝，下界仍为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为29。 虽然LP9的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值142/5 小于现有下界29，则不再继续分枝。
• 上界=下界，得整数规划问题的最优解： x1=4，x2 =1，Z=29
• 不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题。
不考虑整数约束的最优解：x1 *=2.44， x2 * =3.26，Z * =14.66
• 舍入化整
x1 =2， x2 =3，Z =13，满足约束条件，是可行解，但不是最优解； x1 =4， x2 =1，Z =29，满足约束条件，才是最优解。
x2 x1=2
5 4 3
x1=3 x1=4
• • • •
1
• • •
2
x2=3
2
1
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35
2x1 + x2 =9
x2 =2
x1
17
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解：
问题6相应的线性规划的最优解： x1=2，x2 =25/7，Z6=209/7 问题7相应的线性规划的最优解：无最优解
x2≤3
问题8： x1 2, x2 3, Z 27
x2 ≥4
问题9： x1 1 2 2 , x2 4, Z 28 5 5
上界： 29 下界： 29
21
分支定界法
• 例 用分枝定界法求解整数规划问题
m i nZ x1 5 x 2 x 1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x 1 , x 2 0且 全 为 整 数
3
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
目标函数值最大，即为Z=4。
x1
整数规划的特点及图解法
性质1：在纯整数规划或者混合函数规划中： • 任何求最大目标函数的的最大目标函数值小于或等于相 应的线性规划的最大目标函数值； • 任何求最小目标规划的的最小目标函数值大于或者等于
相应的线性规划的最小目标函数。
9
然后，再在缩小的可行域中求解新构造的线性规划的最优 解，这样通过求解一系列线性规划问题，最终得到原整数 规划的最优解。
10
分枝定界法
• 定界的含义：
整数规划是在相应的线性规划的基础上增加变量为整数的
约束条件，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最 优解。 对极大化问题来说，相应线性规划的目标函数最优值是原 整数规划函数值的上界； 对极小化问题来说，相应线性规划的目标函数的最优值是 原整数规划目标函数值的下界。
设yic是非负整数变量并规定第2年投资c项目8万元时取值为4第2年投资c项目6万元时取值3第2年投资c项目4万元时取值2第2年投资c项目2万元时取值1第2年不投资c项目时取值0这样我们建立如下的决策变量第1年x1a第2年x2a第3年x3a第4年x4a第5年abx3bcx2c20000y2cdx1dx2dx3dx4dx5d2008管理运筹学讲义管理学院吉格迪183整数规划的应用2约束条件第一年年初有100000元d项目在年末可收回投资故第一年年初应把全部资金投出去于是x1ax1d100000第二年a的投资第二年末才可收回故第二年年初的资金为106x1d于是x2ax2cx2d106x1d第三年年初的资金为115x1a106x2d于是x3ax3bx3d115x1a106x2d第四年年初的资金为115x2a106x3d于是x4ax4d115x2a106x3d第五年年初的资金为115x3a106x4d于是x5d115x3a106x4d
18
分枝定界法
问题8：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x2 ≥3 x1≤2 x2≤3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数 x2
5 4 3
问题9： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1≤2 x2 ≥4 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数 x1=2 x1=3 x1=4
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
m ax Z x1 x 2 14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0 1 2
整数规划的特点及图解法
• 用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6 现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的
14
x2 ≥ [20/7] +1=3
分枝定界法
问题4：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x2≤2 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数 问题5： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤ 3 x2 ≥3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数 x1=3 x1=4
整数线性规划数学模型的一般形式：
max Z (或 minZ ) c j x j
j 1 n
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n ) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
整数规划的特点及图解法
• 整数线性规划问题的种类：
5
整数规划的特点及图解法
二、 整数规划的图解法
• 步骤：
在线性规划的可行域内列出所有决策变量可能取的整数值， 求出这些变量所有可行的整数解， 比较它们相应的目标函数值，最优的目标函数值所对应的 解就是整数规划的最优解。 x2
• 实用性：
只有两个决策变量， 可行的整数解较少。
5
4
这样就把相应的线性规划的可行域分成两个部分，如图所示。 x2
5 4 3
x1=3 x1=4
• • • •
1
• • •
2
2
1
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35
2x1 + x2 =9
x1
13
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题2相应的线性规划的最优解：x1=3，x2 =20/7，Z2=226/7 问题3相应的线性规划的最优解：x1=4，x2 =1，Z3=29
x2≤2
问题4： x1 3, x2 2, Z 28
x2 ≥3
问题5： x1 2 4 4 , x2 3, Z 31 5 5
上界： 31 下界： 29 4 5
x1≤2
问题6： x1 2, x2 3 4 6 , Z 29 7 7
x1 ≥3
问题7： 无可行解
上界： 29 下界： 29 6 7
20
分枝定界法
• 分枝定界过程
x1 3 问题1 ： 1 7 5 , x2 2 , Z 32 9 9 9
上界： 32 下界： 0 5 9
x1≤3
问题2 ： x1 3, x2 2 6 2 , Z 32 7 7
x1 ≥4
问题3 ： x1 4, x2 1, Z 29
上界： 32 下界： 29 2 7
• 第四步，定界过程
LP3的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是29， 大于原有下界0，则新的下界为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为226/7。 LP2的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值226/7大于 现有下界，则应继续分枝。
• 第五步，分枝过程
将不满足整数约束的变量x2 进行分枝，构造两个新的约束条件： x2≤ [20/7]=2，
x2
5
4
3 2 1
•
• • •
1
• • •
2
x2=3
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35 2x1 + x2 =9
x2 =2
x1
15
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题4相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 问题5相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5
• 第三步,分枝过程
将不满足整数约束的变量x1 进行分枝，x1 称为分枝变量，构造两个新 的约束条件： x1≤ [28/9]=3，
12
x1 ≥ [28/9] +1=4
分枝定界法
问题2：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数 问题3： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≥4 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
甲 乙 托运限制 195 273 1365 每件重量/百千克 4 40 140 每件利润/百元 2 3
甲种货物至多托运4件， 问两种货物各托运多少件，
4
使利润为最大。
整数规划的特点及图解法
• 解：设x1、x2 分别为甲、乙两种货物托运的件数。 maxZ= 2x1 +3 x2 195x1 + 273 x2 ≤1365 4x1 +40 x2 ≤140 x1 ≤4 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数 线性规划。 混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及图解法
一、问题的提出
• 为了满足整数要求，似乎可以把线性规划的小数最优解进行 “舍入化整”以得到与最优解相近的整数解。 • “舍入化整”一般是不可行的： 化整后的解有可能成为非可行解； 虽是可行解，却不是最优解。 • 例如 货物 每件体积/立方英尺
Chapter8 整数规划
( Integer Programming )
本章主要内容：
整数规划的特点及图解法
分支定界法 0－1型整数规划 分配问题与匈牙利法 整数规划的应用
第一节：整数规划的特点及图解法
• 整数规划（简称：IP）
• 要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整 数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条 件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若 该松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线 性规划。
• 第八步，定界过程
LP7的无最优解，不必再分枝，下界仍为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为209/7。 LP6的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值209/7大于 现有下界29，则应继续分枝。
• 第九步，分枝过程
将不满足整数约束的变量x2 进行分枝，构造两个新的约束条件： x 2≤ 3 ， x2≥ 4
• • • •
1
x2 =4
• • •
2
x2=3
2
1
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35
2x1 + x2 =9
x2 =2
x1
19
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题8相应的线性规划的最优解： x1=2，x2 =3，Z8=27 问题9相应的线性规划的最优解：x1=7/5，x2 =4，Z9=142/5
第二节
分枝定界法
• 分枝定界法(Branch and Bound Method) • 基本思想：
先求出整数规划相应的LP(即不考虑整数限制)的最优解， 若求得的最优解符合整数要求，则是原IP的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件的变量来 构造新的约束，在原可行域中剔除部分非整数解。